Paweł i Grzegorz postanowili zagrać w grę losową

Paweł i Grzegorz postanowili zagrać w grę losową. Ich wspólny kolega będzie kolejno rzucał sześcienną symetryczną kostką do gry, której ścianki są oznaczone od $1$ do $6$. Gdy na kostce wypadnie liczba oczek mniejsza od $4$, to Grzegorz daje Pawłowi $10$ żetonów, a gdy na kostce wypadnie liczba oczek równa $6$, to Paweł daje Grzegorzowi $x$ żetonów. W pozostałych przypadkach żaden z graczy nie zyskuje ani nie traci żetonów. Paweł i Grzegorz sprawiedliwie ustalili liczbę żetonów tak, aby wartość oczekiwana zysku z gry Pawła była równa wartości oczekiwanej zysku z gry Grzegorza. Oblicz ustaloną przez Pawła i Grzegorza liczbę $x$ żetonów.

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy standardową sześcienną kostką do gry, zatem liczba zdarzeń elementarnych będzie równa $|Ω|=6\cdot6=36$.

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Dla Pawła zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której na kostce padnie wypadnie liczba mniejsza od $4$ (wtedy otrzyma $10$ żetonów), więc Pawła interesują wyniki: $1, 2$ oraz $3$. To oznacza, że $|A|=3$.

Dla Grzegorza zdarzeniem sprzyjającym będzie wyrzucenie jedynie wartości $6$, stąd też $|B|=1$.

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
W przypadku Pawła $P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
W przypadku Grzegorza $P(B)=\frac{|B|}{|Ω|}=\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$

Krok 4. Obliczenie wartości oczekiwanej.
Chcąc obliczyć wartość oczekiwaną możemy posłużyć się dość skomplikowanym wzorem z tablic. Prościej jednak będzie wykonać to metodą prostej analizy. Skoro prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia sprzyjającego Grzegorzowi jest $3$ razy mniejsza niż Pawła, to wartość oczekiwana powinna być $3$ razy większa niż nagroda Pawła (mówiąc wprost - Grzegorz ma $3$ razy mniejsze szanse na wygraną, więc jego nagroda musi być $3$ razy większa). W związku z tym:
$$x=3\cdot10=30$$

Odpowiedź

$30$