Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+3, gdzie a≠0, jest prosta o równaniu x=-2

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+3\), gdzie \(a\neq0\), jest prosta o równaniu \(x=-2\). Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu \(y=-x+2\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej lub kanonicznej.

Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Na początek wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Jedną z własności paraboli jest to, że jej oś symetrii przechodzi zawsze przez wierzchołek. To oznacza, że skoro osią symetrii jest prosta o równaniu \(x=-2\), to pierwszą współrzędną wierzchołka będzie \(p=-2\).
matura z matematyki

Wiemy też, że wierzchołek leży na prostej o równaniu \(y=-x+2\). Skoro tak, to obliczmy wartość dla \(x=-2\), czyli wartość przyjmowaną w wierzchołku:
$$y=-(-2)+2 \\
y=2+2 \\
y=4$$

To oznacza, że współrzędne wierzchołka to \(W=(-2;4)\).

Krok 2. Wyznaczenie wzoru w postaci kanonicznej.
Skoro znamy współrzędne wierzchołka paraboli to możemy skorzystać z postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\). Podstawiając zatem \(p=-2\) oraz \(q=4\) otrzymamy:
$$y=a(x-(-2))^2+4 \\
y=a(x+2)^2+4$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze tylko poznania współczynnika \(a\). Aby poznać pełny wzór tej funkcji musimy podstawić do powyższej postaci współrzędne jakiegoś punktu (innego niż wierzchołek) przez który ta parabola przechodzi.

Tu z pomocą przyjdzie nam ciekawa informacja, która jest zaszyta w postaci ogólnej, która pojawiła się w treści zadania. Wiemy, że funkcja ta w postaci ogólnej przybiera postać \(f(x)=ax^2+bx+3\). Niezależnie od tego jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\), to podstawiając \(x=0\) otrzymamy informację, że:
$$f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+3 \\
f(0)=0+0+3 \\
f(0)=3$$

To oznacza, że parabola na pewno przechodzi przez punkt \(A\), o współrzędnych \(A=(0;3)\). Podstawiając teraz te współrzędne do postaci \(y=a(x+2)^2+4\) wyznaczymy brakujący współczynnik \(a\):
$$3=a\cdot(0+2)^2+4 \\
3=a\cdot2^2+4 \\
3=a\cdot4+4 \\
4a=-1 \\
a=-\frac{1}{4}$$

Możemy więc już zapisać, że wzór funkcji w postaci kanonicznej to \(y=-\frac{1}{4}(x+2)^2+4\).

Odpowiedź

\(y=-\frac{1}{4}(x+2)^2+4\)

Dodaj komentarz