Okres T drgań wahadła w pewnym zegarze dany jest wzorem

Okres $T$ drgań wahadła w pewnym zegarze dany jest wzorem:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

gdzie $l$ oznacza długość wahadła, a $g$ oznacza przyśpieszenie grawitacyjne. Przyjmij do obliczeń, że przyśpieszenie grawitacyjne na Ziemi wynosi $g_{Z}=9,81\frac{m}{s^2}$, a przyśpieszenie grawitacyjne na Księżycu wynosi $g_{K}=1,62\frac{m}{s^2}$.

Oblicz $\frac{T_{K}}{T_{Z}}$ - stosunek okresu drgań tego wahadła, gdyby znajdowało się ono na Księżycu, do okresu drgań tego samego wahadła znajdującego się na Ziemi. Wynik podaj z dokładnością do $0,01$.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że przyśpieszenie grawitacyjne na Ziemi jest równe $9,81\frac{m}{s^2}$, zatem podstawiając tą daną do wzoru na okres, otrzymamy:
$$T_{Z}=2\pi\sqrt{\frac{l}{9,81}}$$

I analogicznie, podstawiając przyśpieszenie grawitacyjne na Księżycu równe $1,62\frac{m}{s^2}$, otrzymamy:
$$T_{K}=2\pi\sqrt{\frac{l}{1,62}}$$

Krok 2. Obliczenie stosunku okresu drgań.
Celem zadania jest obliczenie stosunku drgań wahadła na Księżycu, względem drgań na Ziemi, zatem musimy podzielić $T_{K}$ przez $T_{Z}$, otrzymując:
$$\frac{T_{K}}{T_{Z}}=\frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{1,62}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{9,81}}}=\frac{\sqrt{\frac{l}{1,62}}}{\sqrt{\frac{l}{9,81}}}= \\
=\sqrt{\frac{l}{1,62}}:\sqrt{\frac{l}{9,81}}=\sqrt{\frac{l}{1,62}:\frac{l}{9,81}}= \\
=\sqrt{\frac{l}{1,62}\cdot\frac{9,81}{l}}=\sqrt{\frac{9,81}{1,62}}\approx\sqrt{6,056}\approx2,46$$

Odpowiedź

$\frac{T_{K}}{T_{Z}}\approx2.46$