Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4

Okręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek).

okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:

\(14\)
\(2\sqrt{33}\)
\(4\sqrt{33}\)
\(12\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(PO_{1}\).

Musimy dostrzec, że powstały trójkąt jest prostokątny. Skoro tak, to będziemy mogli skorzystać w nim z Twierdzenia Pitagorasa. Musimy też zauważyć, że odcinek \(PO_{2}\) ma długość równą \(4\), bo jest to po prostu promień naszego okręgu. Skoro tak, to możemy teraz wyznaczyć długość przyprostokątnej \(PO_{1}\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|PO_{2}|^2+|PO_{1}|^2=|O_{1}O_{2}|^2 \\
4^2+|PO_{1}|^2=7^2 \\
16+|PO_{1}|^2=49 \\
|PO_{1}|^2=33 \\
|PO_{1}|=\sqrt{33}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni.

Obliczona przez nas długość odcinka \(|PO_{1}|=\sqrt{33}\) jest jednocześnie wysokością naszego trójkąta prostokątnego o podstawie \(|PO_{2}|=4\). Pole powierzchni tej figury jest więc równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|PO_{2}|\cdot|PO_{1}| \\
P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{33} \\
P=2\sqrt{33}$$

Odpowiedź:

B. \(2\sqrt{33}\)

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!