Okręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek).
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:
Musimy dostrzec, że powstały trójkąt jest prostokątny. Skoro tak, to będziemy mogli skorzystać w nim z Twierdzenia Pitagorasa. Musimy też zauważyć, że odcinek \(PO_{2}\) ma długość równą \(4\), bo jest to po prostu promień naszego okręgu. Skoro tak, to możemy teraz wyznaczyć długość przyprostokątnej \(PO_{1}\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|PO_{2}|^2+|PO_{1}|^2=|O_{1}O_{2}|^2 \\
4^2+|PO_{1}|^2=7^2 \\
16+|PO_{1}|^2=49 \\
|PO_{1}|^2=33 \\
|PO_{1}|=\sqrt{33}$$
Obliczona przez nas długość odcinka \(|PO_{1}|=\sqrt{33}\) jest jednocześnie wysokością naszego trójkąta prostokątnego o podstawie \(|PO_{2}|=4\). Pole powierzchni tej figury jest więc równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|PO_{2}|\cdot|PO_{1}| \\
P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{33} \\
P=2\sqrt{33}$$
B. \(2\sqrt{33}\)
