Okrąg o środku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x-3

Okrąg o środku w punkcie \(S=(3,7)\) jest styczny do prostej o równaniu \(y=2x-3\). Oblicz współrzędne punktu styczności.

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

okrąg o środku w punkcie S jest styczny

Z rysunku musimy dostrzec, że prosta przechodząca przez środek okręgu i punkt \(A\) jest prostopadła do naszej prostej o równaniu \(y=2x-3\) (wynika to bezpośrednio z własności stycznych do okręgu). To będzie nasz punkt wyjścia do dalszych obliczeń.

Krok 2. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej do prostej \(y=2x-3\).

Aby proste opisane wzorem ogólnym \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(a=2\), to współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej \(p\) będzie równy:
$$2\cdot a=-1 \\
a=-\frac{1}{2}$$

Wiemy już, że nasza prosta ma więc postać: \(y=-\frac{1}{2}x+b\).

Krok 3. Obliczenie współczynnika \(b\).

Jesteśmy już bardzo blisko poznania pełnego wzoru prostej, brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonego przed chwilą wzoru współrzędne punktu \(S=(3,7)\) przez które ta prosta przechodzi.
$$y=-\frac{1}{2}x+b \\
7=-\frac{1}{2}\cdot3+b \\
7=-1,5+b \\
b=8\frac{1}{2}$$

Wzór naszej prostej prostopadłej to: \(y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}\).

Krok 4. Obliczenie współrzędnych punktu \(A\).

Skoro znamy pełne wzory dwóch prostych, to możemy stworzyć z nich układ równań, którego rozwiązaniem będą współrzędne miejsca ich przecięcia, czyli współrzędne punktu \(A\).
\begin{cases}
y=2x-3 \\
y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}
\end{cases}

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymujemy:
$$2x-3=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2} \\
2\frac{1}{2}x=11\frac{1}{2} \\
\frac{5}{2}x=\frac{23}{2} \\
x=\frac{23}{5}=4\frac{3}{5}$$

Znając wartość współrzędnej \(x\) możemy podstawić ją do jednego z równań i wyznaczyć w ten sposób brakującą współrzędną \(y\).
$$y=2x-3 \\
y=2\cdot4\frac{3}{5}-3 \\
y=9\frac{1}{5}-3 \\
y=6\frac{1}{5}$$

Współrzędne punktu styczności to: \(A=\left(4\frac{3}{5};6\frac{1}{5}\right)\).

Odpowiedź:

\(A=\left(4\frac{3}{5};6\frac{1}{5}\right)\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.