Okrąg o środku w punkcie \(S=(3,7)\) jest styczny do prostej o równaniu \(y=2x-3\). Oblicz współrzędne punktu styczności.
Z rysunku musimy dostrzec, że prosta przechodząca przez środek okręgu i punkt \(A\) jest prostopadła do naszej prostej o równaniu \(y=2x-3\) (wynika to bezpośrednio z własności stycznych do okręgu). To będzie nasz punkt wyjścia do dalszych obliczeń.
Aby proste opisane wzorem ogólnym \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(a=2\), to współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej \(p\) będzie równy:
$$2\cdot a=-1 \\
a=-\frac{1}{2}$$
Wiemy już, że nasza prosta ma więc postać: \(y=-\frac{1}{2}x+b\).
Jesteśmy już bardzo blisko poznania pełnego wzoru prostej, brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonego przed chwilą wzoru współrzędne punktu \(S=(3,7)\) przez które ta prosta przechodzi.
$$y=-\frac{1}{2}x+b \\
7=-\frac{1}{2}\cdot3+b \\
7=-1,5+b \\
b=8\frac{1}{2}$$
Wzór naszej prostej prostopadłej to: \(y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}\).
Skoro znamy pełne wzory dwóch prostych, to możemy stworzyć z nich układ równań, którego rozwiązaniem będą współrzędne miejsca ich przecięcia, czyli współrzędne punktu \(A\).
\begin{cases}
y=2x-3 \\
y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}
\end{cases}
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymujemy:
$$2x-3=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2} \\
2\frac{1}{2}x=11\frac{1}{2} \\
\frac{5}{2}x=\frac{23}{2} \\
x=\frac{23}{5}=4\frac{3}{5}$$
Znając wartość współrzędnej \(x\) możemy podstawić ją do jednego z równań i wyznaczyć w ten sposób brakującą współrzędną \(y\).
$$y=2x-3 \\
y=2\cdot4\frac{3}{5}-3 \\
y=9\frac{1}{5}-3 \\
y=6\frac{1}{5}$$
Współrzędne punktu styczności to: \(A=\left(4\frac{3}{5};6\frac{1}{5}\right)\).
\(A=\left(4\frac{3}{5};6\frac{1}{5}\right)\)
