Ojciec i syn zbierają jabłka. Razem zebranie wszystkich jabłek zajęło im 6 godzin. Gdyby ojciec zbierał jabłka sam

Ojciec i syn zbierają jabłka. Razem zebranie wszystkich jabłek zajęło im \(6\) godzin. Gdyby ojciec zbierał jabłka sam, to zajęłoby mu to o \(5\) godzin mniej, niż gdyby zbierał je sam jego syn. W jakim czasie ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka?

Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(p\) - praca do wykonania
\(x\) - czas pracy ojca (w godzinach)
\(x+5\) - czas pracy syna (w godzinach)

Krok 2. Ułożenie równania.
Do zadania podejdziemy dokładanie tak jak podchodzimy do zadań z prędkością, gdzie korzystamy ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\). Tutaj też mamy tak jakby prędkość zbierania, zamiast drogi mamy wielkość pracy do wykonania, a zamiast czasu jazdy mamy czas zbierania. Jeżeli tak przystąpimy do tego zadania, to możemy zapisać, że prędkość zbierania jabłek przez ojca jest równa \(\frac{p}{x}\), prędkość zbierania jabłek przez syna to \(\frac{p}{x+5}\), a prędkość zbierania jabłek przez ojca i syna jednocześnie to \(\frac{p}{6}\). W związku z tym możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{p}{x}+\frac{p}{x+5}=\frac{p}{6}$$

Krok 3. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie najprościej jest zacząć od wymnożenia wszystkiego przez wartości znajdujące się w mianownikach. Najlepiej jest to zrobić powoli i po kolei:
$$\frac{p}{x}+\frac{p}{x+5}=\frac{p}{6} \quad\bigg/\cdot6 \\
\frac{6p}{x}+\frac{6p}{x+5}=p \quad\bigg/\cdot x \\
6p+\frac{6px}{x+5}=px \quad\bigg/\cdot(x+5) \\
6p\cdot(x+5)+6px=px\cdot(x+5) \quad\bigg/:p \\
6\cdot(x+5)+6x=x\cdot(x+5) \\
6x+30+6x=x^2+5x \\
12x+30=x^2+5x \\
x^2-7x-30=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które policzymy oczywiście korzystając z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-7,\;c=-30\)
$$Δ=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-30)=49-(-120)=49+120=169 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{169}=13$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)-13}{2\cdot1}=\frac{7-13}{2}=\frac{-6}{2}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)+13}{2\cdot1}=\frac{7+13}{2}=\frac{20}{2}=10$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo czas pracy ojca oznaczony jako \(x\) nie może być ujemny, zatem zostaje nam \(x=10\). To oznacza, że ojciec samodzielnie zebrałby jabłka w ciągu \(10\) godzin.

Odpowiedź

\(10\) godzin

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments