Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej to tak naprawdę odcinek, który łączy punkt z prostą w taki sposób, że jest prostopadły do tej prostej. Wszystko wyjaśni poniższy rysunek:
odległość punktu od prostej

Jak obliczyć odległość punktu od prostej?
Istnieją tak naprawdę dwa sposoby na obliczenie tej odległości:

I sposób – możemy skorzystać z wiedzy na temat prostych prostopadłych. W tym celu, kiedy mamy podany punkt oraz prostą, należy:
– wyznaczyć wzór prostej prostopadłej (do danej prostej), która przechodzi przez nasz punkt
– obliczyć miejsce przecięcia się tych dwóch prostych prostopadłych (czyli tej którą mamy i tej, którą przed chwilą wyznaczyliśmy)
– obliczyć długość odcinka, którego jednym końcem jest miejsce przecięcia się prostych, a drugim końcem nasz punkt

II sposób – możemy skorzystać ze wzoru:

Wzór na odległość punktu od prostej
$$d=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

gdzie:
\(d\) – odległość punktu od prostej
\(A, B\) oraz \(C\) – współczynniki danej prostej zapisanej w postaci ogólnej
\(x_{0}\) oraz \(y_{0}\) – współrzędne danego punktu

Sprawdźmy, jak to wygląda w praktyce.

Przykład 1. Oblicz odległość punktu \(P=(6;3)\) od prostej \(y=2x-4\).

Rozwiązanie:
Zadanie rozwiążemy sobie na dwa sposoby:

I sposób – korzystając z wiedzy na temat prostych prostopadłych.

Krok 1. Wyznaczenie wzoru prostej prostopadłej.

Nasza prosta jest wyrażona wzorem \(y=2x-4\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc nasza prosta ma współczynnik \(a=2\), to prosta do niej prostopadła będzie mieć \(a=-\frac{1}{2}\). Możemy więc zapisać sobie wstępnie, że prosta prostopadła wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+b\).

Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\). Poznamy go, podstawiając do wyznaczonej przed chwilą postaci \(y=-\frac{1}{2}x+b\), współrzędne punktu \(P\), czyli \(x=6\) oraz \(y=3\), zatem:
$$3=-\frac{1}{2}\cdot6+b \\
3=-3+b \\
b=6$$

To oznacza, że prosta prostopadła wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+6\).

Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się dwóch prostych prostopadłych.
Aby poznać miejsce przecięcia się naszych dwóch prostych prostopadłych, musimy rozwiązać układ równań składający się ze wzorów tych dwóch prostych:
\begin{cases}
y=2x-4 \\
y=-\frac{1}{2}x+6
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, możemy zapisać, że:
$$2x-4=-\frac{1}{2}x+6 \\
2\frac{1}{2}x=10 \\
x=4$$

Znamy współrzędną \(x\), zatem możemy teraz obliczyć współrzędną \(y\), korzystając np. z równania pierwszej prostej \(y=2x-4\), czyli:
$$y=2\cdot4-4 \\
y=8-4 \\
y=4$$

To oznacza, że nasze dwie proste prostopadłe przecinają się w punkcie \(A=(4;4)\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AP\).
Na koniec musimy obliczyć odległość punktu od prostej, czyli długość odcinka \(AP\). Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AP|=\sqrt{(x_{P}-x_{A})^2+(y_{P}-y_{A})^2} \\
|AP|=\sqrt{(4-6)^2+(4-3)^2} \\
|AP|=\sqrt{(-2)^2+1^2} \\
|AP|=\sqrt{4+1} \\
|AP|=\sqrt{5}$$

To oznacza, że odległość punktu od prostej jest równa \(\sqrt{5}\).

II sposób – korzystając ze wzoru.

Krok 1. Zapisanie równania w postaci ogólnej.
Nasza prosta \(y=2x-4\) jest zapisana w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). Aby móc skorzystać ze wzoru, musimy zapisać nasze równanie w postaci ogólnej. Aby przekształcić to równanie do postaci ogólnej, wystarczy przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę (np. odejmując obustronnie \(y\)), zatem:
$$y=2x-4 \quad\bigg/-y \\
2x-y-4=0$$

Krok 2. Obliczenie odległości od punktu od prostej.
Z wyznaczonej przed chwilą postaci ogólnej wynika, że \(A=2\), \(B=-1\), \(C=-4\). Odległość mierzymy od punktu \(P=(6;3)\), zatem \(x_{0}=6\) oraz \(y_{0}=3\). Podstawiając te wszystkie dane do wzoru na odległość punktu od prostej, otrzymamy:
$$d=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\
d=\frac{|2\cdot6+(-1)\cdot3+(-4)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} \\
d=\frac{|12+(-3)+(-4)|}{\sqrt{4+1}} \\
d=\frac{|12-3-4|}{\sqrt{4+1}} \\
d=\frac{|5|}{\sqrt{5}} \\
d=\frac{5}{\sqrt{5}}$$

Otrzymany wynik jest już poprawny, ale powinniśmy pamiętać jeszcze o tym, by usunąć niewymierność z mianownika. W tym celu należy licznik i mianownik ułamka pomnożyć przez \(\sqrt{5}\), otrzymując:
$$d=\frac{5\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$$

Zobacz także: Długość odcinka
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments