Odcinek BD jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego ABC trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne AC i BC

Odcinek \(BD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego \(ABC\) trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne \(AC\) i \(BC\) mają długości odpowiednio \(5\) i \(3\).

matura z matematyki



Wówczas miara \(φ\) kąta \(DBC\) spełnia warunek:

Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Spójrzmy na kąt \(ABC\) i załóżmy że ma on miarę \(α\). O tym kącie wiemy, że jest dwukrotnie większy od poszukiwanego kąta \(φ\), czyli:
$$|\sphericalangle ABC|=α=2φ$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Znamy długości przyprostokątnej \(AC\) oraz \(BC\). Możemy więc posłużyć się funkcjami trygonometrycznymi i wyznaczyć miarę kąta \(ABC\), który umownie oznaczyliśmy jako \(α\). Korzystając z tangensa możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{5}{3} \\
tgα\approx1,67$$

Z tablic matematycznych musimy odczytać dla jakiego kąta tangens przyjmuje wartość bliską \(1,67\). Z takich tablic wynika, że dla kąta \(59°\) tangens przyjmuje wartość \(1,6643\) i jest to najlepsze przybliżenie jakie możemy otrzymać, zatem możemy zapisać, że:
$$α\approx59°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(φ\).
Wiemy, że kąt \(α\) jest dwukrotnie większy od kąta \(φ\), zatem:
$$φ\approx59°:2\approx29,5°$$

W związku z tym prawidłową odpowiedzią jest nierówność \(25°\lt φ \lt30°\).

Odpowiedź

B

Dodaj komentarz