Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AD\).
W tym zadaniu musimy skorzystać z twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej. Z tego twierdzenia wynika, że między poszczególnymi bokami na siecznej oraz stycznej zajdzie następująca równość:
$$|DC|\cdot|DB|=|AD|^2$$
Podstawiając teraz dane z treści zadania do wzoru, otrzymamy:
$$3\cdot7=|AD|^2 \\
21=|AD|^2 \\
|AD|=\sqrt{21} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{21}$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok ma zawsze dodatnią miarę, zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{21}\).
Krok 2. Obliczenie długości odległości punktu \(A\) od prostej \(l\).
Odległość punktu od prostej zawsze mierzymy w linii, która przechodzi przez punkt i która jest prostopadła do analizowanej prostej. W naszym przypadku odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest jednocześnie długością odcinka \(AC\). A skąd wiemy, że odcinek \(AC\) jest prostopadły do prostej \(l\)? Z treści zadania wynika, że odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu, a to oznacza, że trójkąt \(ABC\) jest klasycznym trójkątem wpisanym w okrąg, który oparty jest na średnicy - takie trójkąty zawsze są prostokątne.
Korzystając zatem z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ACD\), moglibyśmy zapisać, że:
$$|AC|^2+3^2=(\sqrt{21})^2 \\
|AC|^2+9=21 \\
|AC|^2=12 \\
|AC|=\sqrt{12} \quad\lor\quad |AC|=-\sqrt{12}$$
Długość odcinka musi być oczywiście dodatnia, stąd też wynika, że \(|AC|=\sqrt{12}\).
