Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr \(1, 2, 3, 4\) (cyfry mogą się powtarzać).

Rozwiązanie

To zadanie jest jednym z tych, które jest dość czasochłonne, bo paradoksalnie najlepszym (a już na pewno najbezpieczniejszym) sposobem byłoby wypisanie tych liczb, a następnie zsumowanie ich wartości. Cyfry mogą się powtarzać, więc skoro na każdym miejscu może się znaleźć jedna z czterech cyfr, to będziemy mieli aż \(4\cdot4\cdot4=64\) kombinacje.

Musielibyśmy więc wypisywać po kolei:
$$111, 112, 113, 114, 121, 122, 123, 124, 131, 132, 133, 134, 141, 142, 143, 144 \\
211, 212, 213, 214...$$

Podczas tego wypisywania możemy jednak dostrzec tutaj pewną prawidłowość, która skróci nasze obliczenia. Tak naprawdę kiedy będziemy wypisywać teraz liczby z cyfrą setek równą \(2\), to każda kolejna liczba będzie o \(100\) większa od analogicznej liczby z cyfrą setek równą \(1\). Przykładowo: \(213-113=100\), albo \(214-114=100\). Możemy więc policzyć sumę tych wszystkich \(16\) liczb z cyfrą setek równą \(1\) i zapisać, że suma liczb z cyfrą setek równą \(2\) będzie o \(16\cdot100=1600\) większa. Analogicznie jak będziemy wypisywać liczby z cyfrą setek równą \(3\), to ich suma będzie o \(16\cdot200=3200\) większa od tych z cyfrą setek równą \(1\) itd. Zatem:
Suma liczb z cyfrą setek równą \(1\) wynosi: \(111+112+113+...+144=2040\)
Suma liczb z cyfrą setek równą \(2\) wynosi: \(2040+16\cdot100=3640\)
Suma liczb z cyfrą setek równą \(3\) wynosi: \(2040+16\cdot200=5240\)
Suma liczb z cyfrą setek równą \(4\) wynosi: \(2040+16\cdot300=6840\)

Suma tych wszystkich liczb jest więc równa:
$$2040+3640+5240+6840=17760$$

Odpowiedź

\(17760\)

Dodaj komentarz