Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra \(7\) i dokładnie jedna cyfra parzysta.
Podzielmy sobie nasze cyfry na trzy grupy:
I grupa: Cyfra \(\{7\}\) – w naszej liczbie musi znaleźć się dokładnie jedna siódemka. Jej miejsce możemy określić na \(5\) różnych sposobów:
$$7■■■■ \\
■7■■■ \\
■■7■■ \\
■■■7■ \\
■■■■7$$
II grupa: Cyfry \(\{2,4,6,8\}\) – to wszystkie cyfry parzyste. Wiemy, że w zapisie na dowolnym miejscu musi znaleźć się jedna z nich. Jedno miejsce mamy już obsadzone siódemką, pozostają nam już tylko cztery możliwości. Mamy więc sytuację w której cztery liczby mogą zająć jedno z czterech miejsc, a to z kolei oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia mamy \(4\cdot4=16\) możliwości.
III grupa: Cyfry \(\{1,3,5,9\}\) – to pozostałe cyfry, którymi musimy obsadzić trzy pozostałe miejsca w naszej pięciocyfrowej liczbie. Pierwsze z wolnych miejsc możemy obsadzić na \(4\) sposoby (bo mamy cztery cyfry do wyboru), drugie miejsce także możemy obsadzić na \(4\) sposoby (bo liczby mogą się powtarzać), trzecie wolne miejsce także możemy obsadzić na \(4\) sposoby. Z reguły mnożenia wynika, że mamy \(4\cdot4\cdot4=64\) możliwości.
Teraz musimy ponownie zastosować regułę mnożenia i wymnożyć przez siebie wszystkie otrzymane możliwości, otrzymując w ten sposób:
$$5\cdot16\cdot64=5120$$
Istnieje więc \(5120\) liczb pięciocyfrowych, które spełniają warunki naszego zadania.
\(5120\) liczb pięciocyfrowych.
