Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie długości promienia podstawy.
Znamy wysokość naszej bryły, wiemy też jest jaka jest jej objętość, a to pozwoli nam obliczyć pole podstawy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
8\pi=\frac{1}{3}P_{p}\cdot2 \\
4\pi=\frac{1}{3}P_{p} \\
P_{p}=12\pi$$
W podstawie stożka mamy koło, którego pole wyrażamy wzorem \(P=\pi r^2\). Skoro tak, to możemy bez problemu obliczyć promień podstawy naszego stożka:
$$\pi r^2=12\pi \\
r^2=12 \\
r=\sqrt{12} \quad\lor\quad r=-\sqrt{12}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ promień musi być liczbą dodatnią, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{12}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(r=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\).
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby obliczyć miarę kąta rozwarcia tego stożka, dobrze będzie zacząć od narysowania prostego szkicu całej tej sytuacji:
Krok 3. Obliczenie kąta rozwarcia stożka.
Powinniśmy dostrzec, że na rysunku powstał nam trójkąt prostokątny o kątach \(30°, 60°, 90°\). Skąd to wiemy? Jedna przyprostokątna (wysokość stożka) ma długość \(2\), a druga przyprostokątna (promień podstawy) jest \(\sqrt{3}\) razy większa i ma długość \(2\sqrt{3}\). Jest to właśnie charakterystyczna cecha trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Jeśli tego nie dostrzegamy, to odpowiednie miary kątów możemy obliczyć z użyciem funkcji trygonometrycznych, w tym przypadku z tangensa.
Skoro tak, to interesujący nas górny kąt \(\alpha\) (który jest połową kąta rozwarcia stożka), ma miarę \(60°\). Kąt rozwarcia stożka będzie kątem dwa razy większym, czyli tym samym będzie miał on miarę \(120°\).
