Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który został zaznaczony na rysunku. Mamy informację, że \(tg\alpha=\frac{4}{3}\) i to będzie nasz punkt wyjścia do zapisania pewnych oznaczeń. Moglibyśmy zapisać, że w takiej sytuacji przyprostokątna będąca jednocześnie wysokością ostrosłupa ma długość \(4x\), a przyprostokątna przy kącie \(\alpha\) (która jest połową długości krawędzi podstawy) będzie miała długość \(3x\). Od razu też możemy dodać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa), że przeciwprostokątna tego trójkąta (która jest jednocześnie poszukiwaną wysokością ściany bocznej) będzie miała długość \(5x\).
I tu dość ważna uwaga. Nie możemy zapisać, że nasze przyprostokątne mają długość \(4\) oraz \(3\), bo równie dobrze mogłyby to być miary \(40\) oraz \(30\) i dla nich też mielibyśmy tangens równy \(\frac{4}{3}\). Dlatego właśnie tak ważne (zwłaszcza w tego typu zadaniach) jest zapisywanie tych miar jako \(4x\) oraz \(3x\).
Krok 2. Zapisanie długości krawędzi podstawy i pola podstawy.
Krawędź podstawy będzie dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej analizowanego przed chwilą trójkąta prostokątnego, zatem zapisalibyśmy, że:
$$a=2\cdot3x \\
a=6x$$
W podstawie naszego ostrosłupa znajduje się kwadrat (ponieważ jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny), zatem od razu możemy zapisać, że jego pole jest równe:
$$P_{p}=(6x)^2 \\
P_{p}=36x^2$$
Krok 3. Wyznaczenie długości \(x\).
Z treści zadania wynika, że objętość naszej bryły jest równa \(384\). Wiemy już, że \(P_{p}=36x^2\) oraz \(H=4x\), zatem korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
384=\frac{1}{3}\cdot36x^2\cdot4x \\
384=12x^2\cdot4x \\
384=48x^3 \\
x^3=8 \\
x=2$$
Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Na koniec została już tylko formalność. Celem zadania jest poznanie wysokości ściany bocznej, a skoro ta ma długość \(5x\), to możemy zapisać, że:
$$h_{b}=5\cdot2 \\
h_{b}=10$$
