Objętość kuli

Przykład 1. Oblicz objętość kuli, której promień ma długość \(r=3\).

Korzystając ze wzoru na objętość kuli możemy zapisać, że:
$$V=\frac{4}{3}πr^3 \\
V=\frac{4}{3}π\cdot3^3 \\
V=\frac{4}{3}π\cdot27 \\
V=36π$$

Przykład 2. Oblicz objętość kuli, której pole powierzchni całkowitej jest równe \(100π\).

Krok 1. Obliczenie długości promienia kuli.
To zadanie sprytnie łączy wiedzę na temat pola powierzchni i objętości bryły. Pole powierzchni całkowitej kuli możemy obliczyć ze wzoru \(P_{c}=4πr^2\). Skoro to pole jest równe \(100π\), to:
$$P_{c}=4πr^2 \\
100π=4πr^2 \quad\bigg/:π \\
4r^2=100 \\
r^2=25 \\
r=5 \quad\lor\quad r=-5$$

Długość promienia nie może być ujemna, zatem zostaje nam jedynie \(r=5\).

Krok 2. Obliczenie objętości kuli.
Znając już długość promienia \(r=5\) możemy bez przeszkód obliczyć objętość kuli:
$$V=\frac{4}{3}πr^3 \\
V=\frac{4}{3}π\cdot5^3 \\
V=\frac{4}{3}π\cdot125 \\
V=\frac{500}{3}π=166\frac{2}{3}π$$

Przykład 3. Objętość kuli jest równa \(V=32cm^3\). Oblicz długość promienia kuli. Do obliczeń przyjmij przybliżenie \(π\approx3\).

Korzystając ze wzoru na objętość kuli możemy zapisać, że:
$$V=\frac{4}{3}πr^3 \\
32cm^3=\frac{4}{3}\cdot3\cdot r^3 \\
32cm^3=4\cdot r^3 \\
r^3=8cm^3 \\
r=2cm$$