Objętość beczki oblicza się wg wzoru: V=1/12*pi*(2D^2+d^2)*h, gdzie

Objętość beczki oblicza się wg wzoru: \(V=\frac{1}{12}\cdot π\cdot(2D^2+d^2)\cdot h\), gdzie:

\(D\) - średnica w miejscu najszerszym

\(d\) - średnica dna

\(h\) - wysokość beczki



Wojtek obmierzył beczkę w ogrodzie. Ma ona wysokość \(12dm\) i średnicę dna równą \(7dm\). Z powodu trudności ze zmierzeniem średnicy w najszerszym miejscu Wojtek zmierzył obwód w najszerszym miejscu. Jest on równy \(33dm\). Oblicz objętość beczki. Dla ułatwienia obliczeń przyjmij \(π=\frac{22}{7}\).

egzamin ósmoklasisty

Rozwiązanie

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Stosując proponowane oznaczenia możemy zapisać, że:
\(d=7dm\)
\(h=12dm\)
\(Obw=33dm\) (obwód beczki w najszerszym miejscu)

Przyglądając się wzorowi zapisanemu na początku zadania widzimy, że brakuje nam znajomości długości \(D\), czyli średnicy w miejscu najszerszym. Do jej wyznaczenia wykorzystamy obwód beczki w jej najszerszym miejscu.

Krok 2. Obliczenie średnicy w miejscu najszerszym (\(D\)).
Wykorzystamy tutaj wzór na obwód okręgu:
$$Obw=2πr$$

Podstawiając dane do tego wzoru otrzymamy:
$$33dm=2πr \\
r=\frac{33dm}{2π} \\
r=\frac{33dm}{2\cdot\frac{22}{7}} \\
r=\frac{33dm}{\frac{44}{7}} \\
r=33dm\cdot\frac{7}{44} \\
r=5\frac{1}{4}dm$$

To jeszcze nie jest koniec, bo w ten sposób obliczyliśmy promień okręgu (tak naprawdę jest to promień przekroju poprzecznego beczki w jej najszerszym miejscu), a my potrzebujemy znać długość średnicy (czyli naszego \(D\)). Średnica jest dwukrotnie większa od promienia, zatem:
$$D=2\cdot r \\
D=2\cdot5\frac{1}{4}dm \\
D=10,5dm$$

Krok 3. Obliczenie objętości beczki.
Mamy już wszystkie potrzebne dane, więc możemy bez przeszkód obliczyć objętość naszej beczki, wykorzystując wzór z treści zadania:
$$\require{cancel}
V=\frac{1}{\cancel{12}}\cdot π\cdot(2\cdot(10,5)^2+(7)^2)\cdot\cancel{12} \\
V=(2\cdot110,25+49)π \\
V=(220,5+49)π \\
V=269,5π \\
V=269,5\cdot\frac{22}{7} \\
V=847[dm^3]$$

Odpowiedź

Objętość beczki wynosi \(V=847dm^3\).

Dodaj komentarz