Na zabawę karnawałową Beata wykonała kartonowe czapeczki w kształcie brył narysowanych poniżej

Na zabawę karnawałową Beata wykonała kartonowe czapeczki w kształcie brył narysowanych poniżej:

egzamin ósmoklasisty



Ile papieru zużyła na każdą z czapeczek? Na którą czapeczkę zużyła więcej papieru?

Rozwiązanie

Musimy obliczyć ile papieru zużyto na każdą z czapeczek, czyli tak naprawdę musimy obliczyć pole powierzchni bocznej obydwu brył.
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni bocznej pierwszej czapki.
Pierwsza czapka jest w kształcie ostrosłupa sześciokątnego foremnego. W ścianach bocznych mamy trójkąty o podstawie \(10cm\) i wysokości \(30cm\). Zatem każdy taki trójkąt ma pole powierzchni równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot30cm \\
P=150cm^2$$

Z racji tego iż powierzchnią boczną stanowi sześć takich trójkątów to pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b1}=6\cdot150cm^2 \\
P_{b1}=900cm^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej drugiej czapki.
Druga czapka jest w kształcie stożka. Jego pole powierzchni bocznej wyliczymy ze wzoru:
$$P_{b}=πrl$$

Potrzebujemy więc znać długość promienia \(r\) oraz długość tworzącej stożka \(l\). Długość tworzącej jest znana: \(l=30cm\). Pułapką jest natomiast długość promienia, bo na rysunku mamy podaną długość średnicy. Skoro średnica jest równa \(20cm\), to promień będzie równy: \(r=10cm\).

Mając komplet danych możemy je podstawić do wzoru:
$$P_{b2}=π\cdot10cm\cdot30cm \\
P_{b2}=300π\;cm^2$$

Krok 3. Porównanie pól powierzchni bocznych obydwu czapek.
Musimy porównać teraz otrzymane pola powierzchni, gdyż musimy odpowiedzieć na pytanie która czapka zużyła więcej papieru. Aby dokonać tego porównania musimy obliczyć przybliżenie pola powierzchni bocznej drugiej czapki, stosując przybliżenie \(π=3,14\). Zatem:
$$P_{b2}=300π cm^2=300cm^2\cdot3,14=942cm^2$$

Teraz wyraźnie widzimy, że większą powierzchnię boczną ma druga czapka, bo:
$$942cm^2\gt900cm^2\\
P_{b2}\gt P_{b1}$$

Odpowiedź

Większą powierzchnię boczną ma druga czapeczka.

Dodaj komentarz