Na stole leżą płytki w kształcie trójkątów równobocznych o bokach długości 3cm i płytki kwadratowe

Na stole leżą płytki w kształcie trójkątów równobocznych o bokach długości \(3cm\) i płytki kwadratowe, których boki także mają długość \(3cm\). Marysia ułożyła z nich figurę taką, jak na rysunku.

egzamin ósmoklasisty



Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Otrzymana figura to dwunastokąt foremny.
Łączna powierzchnia trójkątnych płytek jest większa niż łączna powierzchnia płytek kwadratowych.
Rozwiązanie

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
To, że figura nasza jest dwunastokątem nie podlega raczej wątpliwości - wystarczy policzyć boki lub kąty. Pytanie jednak, czy jest to dwunastokąt foremny (czyli czy wszystkie boki są jednakowej długości). Jak najbardziej jest to dwunastokąt foremny, bo zarówno kwadraty jak i trójkąty równoboczne (z których zbudowana jest figura) mają krawędź o długości \(3cm\), czyli każdy bok naszego dwunastokąta ma długość \(3cm\). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Aby się przekonać o tym, czy jest to prawda, musimy obliczyć pola powierzchni kwadratów i trójkątów. Zacznijmy od kwadratów. Z rysunku wynika, że mamy \(6\) kwadratów o boku \(3cm\). Pole pojedynczego kwadratu obliczamy ze wzoru \(P=a^2\), zatem skoro takich kwadratów mamy \(6\) to otrzymamy:
$$P_{k}=6\cdot3^2 \\
P_{k}=6\cdot9 \\
P_{k}=54$$

Teraz obliczmy łączną powierzchnię trójkątów. Widzimy, że mamy \(12\) trójkątów równobocznych o boku \(3cm\). Pole każdego pojedynczego trójkąta możemy obliczyć ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), zatem łączne pole wszystkich trójkątów będzie równe:
$$P_{t}=12\cdot\frac{3^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{t}=12\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4} \\
P_{t}=3\cdot9\sqrt{3} \\
P_{t}=27\sqrt{3}$$

Jeżeli przyjmiemy, że \(\sqrt{3}\approx1,73\), to możemy wtedy zapisać, że \(P_{t}\approx27\cdot1,73\approx46,71\). To oznacza, że pole powierzchni trójkątów jest mniejsze od pola powierzchni kwadratów, zatem to zdanie jest fałszem.

Odpowiedź

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments