Na ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych różnej wielkości. Najmniejszy trójkąt ma bok długości \(1m\), a bok każdego z następnych trójkątów jest o \(10cm\) dłuższy niż bok poprzedzającego go trójkąta. Ostatni trójkąt ma bok długości \(5,9m\). Ile trójkątów przedstawia mural?
\(49\)
\(50\)
\(59\)
\(60\)
Rozwiązanie:
Długości boków trójkątów tworzą tak naprawdę ciąg arytmetyczny. Zapiszmy sobie kilka przykładowych wyrazów tego ciągu, zamieniając od razu metry na centymetry (dzięki temu pozbędziemy się ułamków):
$$a_{1}=100 \\
a_{2}=110 \\
a_{3}=120 \\
… \\
a_{n}=590$$
Naszym zadaniem jest wyznaczenie liczby wszystkich wyrazów tego ciągu, wiedząc że \(a_{1}=100\) oraz \(r=10\). Do tego celu wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
590=100+(n-1)\cdot10 \\
590=100+10n-10 \\
590=90+10n \\
10n=500 \\
n=50$$
To oznacza, że nasz ciąg ma \(50\) wyrazów, czyli na muralu pojawiło się \(50\) trójkątów.
Odpowiedź:
B. \(50\)
