Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f, którą opisują wzory

A

Krok 1. Wyznaczenie współczynników \(a\) oraz \(b\) funkcji liniowej.
Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Widzimy po wykresie, że na pewno są dwa takie miejsca zerowe - jedno jest ujemne, drugie jest dodatnie. Nas interesuje tylko to ujemne.

Spójrzmy zatem na wzór funkcji. Widzimy, że jest on podzielony na dwie części. Dla argumentów \(x\) od \(-1\) aż do \(0\) obowiązuje wzór \(f(x)=ax+b\), natomiast dla argumentów od \(0\) do \(2\) mamy wzór \(f(x)=x^2-1\). Nas interesuje ten pierwszy wzór, ponieważ to tam są ujemne argumenty, więc i tam będzie ujemne miejsce zerowe.

Wzór \(f(x)=ax+b\) to klasyczny przykład funkcji liniowej. Zadanie jest o tyle podchwytliwe, że tak naprawdę musimy samodzielnie ustalić pełny zapis tego wzoru (obliczając współczynniki \(a\) oraz \(b\)), a dokonamy tego korzystając z informacji zapisanej pod wzorem, czyli że do wykresu należą punkty o współrzędnych \((-1,4)\), \((0,-1)\) (i możemy być pewni, że te dwa punkty należą właśnie do tej funkcji liniowej, bo mają odpowiednie argumenty).

Aby wyznaczyć wzór funkcji możemy skorzystać albo z bardzo rozbudowanego wzoru z tablic, albo też z metody układu równań. W sumie najprościej byłoby zauważyć, że skoro funkcja przechodzi przez punkt \((0,-1)\), to na pewno współczynnik \(b=-1\). Jeśli jednak nie dostrzegliśmy tego, to np. korzystając z metody układu równań i podstawiając tym samym współrzędne punktów \((-1,4)\) oraz \((0,-1)\) do wzoru, otrzymamy:
\begin{cases}
4=-1\cdot a+b \\
-1=0\cdot a+b
\end{cases}

\begin{cases}
4=-a+b \\
-1=b
\end{cases}

Z drugiego równania wprost wynika, że \(b=-1\), zatem podstawiając tę wartość np. do równania \(4=-a+b\) obliczymy brakujący współczynnik \(a\):
$$4=-a+(-1) \\
-a=5 \\
a=-5$$

To oznacza, że pierwsza część funkcji jest opisana wzorem \(f(x)=-5x-1\).

Krok 2. Wyznaczenie miejsca zerowego.
Chcąc poznać miejsce zerowe musimy sprawdzić, kiedy funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), zatem musimy rozwiązać następujące równanie:
$$-5x-1=0 \\
-5x=1 \\
x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

To oznacza, że poszukiwanym ujemnym miejscem zerowym jest właśnie \(x=-0,2\).

\(Y=\langle-1;4\rangle\)

Zbiór funkcji odczytujemy z osi \(OY\) i po rysunku widać, że funkcja przyjmuje wartości od \(-1\) aż do \(4\) włącznie, stąd też zapisalibyśmy, że \(Y=\langle-1;4\rangle\).

Tak na marginesie, jeśli mamy taką możliwość, to dobrze jest jeszcze sprawdzić, czy faktycznie obserwacja z rysunku idealnie pokrywa się z tym, co wyjdzie nam ze wzorów. Teoretycznie, mogłoby być przecież tak, że największą wartością tej funkcji nie jest \(4\), tylko np. \(3,85\). W przypadku tego zadania mamy informację, że funkcja przechodzi przez punkty \((-1,4)\), \((0,-1)\) i tak się akurat składa, że to właśnie te punkty decydują o zbiorze wartości, więc możemy być pewni, że nasz odczyt jest poprawny.

D

Nastąpiło przekształcenie względem osi \(OY\), więc funkcję \(h\) moglibyśmy zapisać jako \(h(x)=f(-x)\). Ale to nie koniec, bo funkcja została jeszcze przesunięta o \(1\) jednostkę w górę, stąd też ostatecznym wzorem będzie \(h(x)=f(-x)+1\).