Na rysunku przedstawiono trapez ABCD i trójkąt AFD. Punkt E leży w połowie odcinka BC

Na rysunku przedstawiono trapez \(ABCD\) i trójkąt \(AFD\). Punkt \(E\) leży w połowie odcinka \(BC\). Uzasadnij, że pole trapezu \(ABCD\) i pole trójkąta \(AFD\) są równe.

egzamin ósmoklasisty

Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisanie pól powierzchni.
Spójrzmy najpierw na pole trapezu \(ABCD\). Jest on sumą pól trapezu \(ABED\) oraz trójkąta \(ECD\). Możemy więc zapisać, że:
$$P_{ABCD}=P_{ABED}+P_{ECD}$$

Teraz spójrzmy na trójkąt \(AFD\). Tutaj także jedną z części składowych jest trapez \(ABED\) oraz trójkąt \(BFE\):
$$P_{AFD}=P_{ABED}+P_{BFE}$$

Skoro tak, to wystarczyłoby udowodnić że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi, czyli że mają jednakowe wymiary i pole powierzchni.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego i przeprowadzenie dowodzenia.
Spróbujmy wprowadzić oznaczenia kątów na naszym rysunku:
egzamin ósmoklasisty

Kąty \(CED\) oraz \(FEB\) są kątami wierzchołkowymi, więc na pewno mają tą samą miarę.
Kąty \(EBF\) oraz \(ECD\) to kąty naprzemianległe, więc także mają jednakową miarę.
Dodatkowo z treści zadania wiemy, że \(|CE|=|EB|\).

Na podstawie tych informacji możemy stwierdzić, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi na podstawie cechy przystawania trójkątów kąt-bok-kąt. Skoro są to trójkąty przystające to miara ich pól powierzchni jest jednakowa, co ostatecznie powoduje że \(P_{ABCD}=P_{AFD}\).

Odpowiedź

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów przystających.

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments