Na rysunku przedstawiono prostokąt ABCD, w którym bok BC ma długość 4 cm

Na rysunku przedstawiono prostokąt $ABCD$, w którym bok $BC$ ma długość $4 cm$. Na bokach prostokąta zaznaczono punkty $E$ i $F$ oraz narysowano odcinki $EF$ i $FC$ tak, że powstały dwa jednakowe trójkąty $EAF$ i $FBC$. W obu trójkątach zaznaczono kąty o takiej samej mierze $\alpha$. Odcinek $AE$ ma długość $3 cm$.

Oblicz pole prostokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości boków $AF$ oraz $FB$.
Z treści zadania wynika, że trójkąty $EAF$ oraz $FBC$ są jednakowe, czyli że mają te same miary boków i kątów. Dodatkowo możemy stwierdzić, że obydwa trójkąty są prostokątne. Widzimy, że w trójkącie $FBC$ przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta $\alpha$ ma miarę $4cm$, więc analogicznie tak samo musi być w przypadku trójkąta $EAF$. To prowadzi nas do wniosku, że $|AF|=4cm$.

I dokładnie te same wnioski pozwolą nam wyznaczyć długość boku $FB$. Jeśli spojrzymy na trójkąt $FBC$ to zauważymy, że bok $FB$ jest przyprostokątną leżącą przy kącie $\alpha$, więc długość tego boku musi być taka sama jak boku $AE$, zatem możemy stwierdzić, że $|FB|=3cm$.

Krok 2. Obliczenie długości boku $AB$.
Długość boku AB będzie sumą długości boków $AF$ oraz $FB$, zatem:
$$|AB|=4cm+3cm \\
|AB|=7cm$$

Krok 3. Obliczenie pola prostokąta $ABCD$.
Wiemy już, że dłuższy bok $AB$ ma miarę $7cm$, z rysunku odczytujemy, że drugi bok prostokąta $BC$ ma długość $4cm$, zatem pole tej figury wyniesie:
$$P=7cm\cdot4cm \\
P=28cm^2$$

Odpowiedź

$P=28cm^2$