Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Chcąc obliczyć długość drogi z punktu \(A\) do \(B\), musimy obliczyć współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\). I tu ważna uwaga - moglibyśmy w sumie odczytać te punkty z wykresu, choć prawdę mówiąc nie ma za bardzo pewności, czy np. punkt \(B\) faktycznie ma współrzędne \((3;0)\), bo równie dobrze mogłyby tam się pojawiać jakieś ułamkowe wartości. Z tego też względu dobrze byłoby te współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) po prostu wyliczyć.
Współrzędne punktu \(A\) są akurat proste do wyliczenia, bo wystarczy sprawdzić jaka jest wartość funkcji \(f(x)=-x^2+2x+3\) dla argumentu \(x=0\), zatem:
$$f(0)=-0^2+2\cdot0+3 \\
f(0)=3$$
To oznacza, że \(A=(0;3)\).
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Punkt \(B\) jest nieco trudniejszy do wyznaczenia, ponieważ tutaj musimy sprawdzić kiedy funkcja \(f(x)=-x^2+2x+3\) przyjmie wartość równą \(0\), czyli powstanie nam do rozwiązania następujące równanie:
$$-x^2+2x+3=0$$
Jest to równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=2,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-1)\cdot3=4-(-12)=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-4}{2\cdot(-1)}=\frac{-6}{-2}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+4}{2\cdot(-1)}=\frac{2}{-2}=-1$$
Nas interesuje dodatnie miejsce zerowe, czyli \(x=3\), zatem wiemy już, że \(B=(3;0)\).
Krok 3. Obliczenie długości i czasu pokonania trasy \(AB\) (po skosie).
Z tego co wyliczyliśmy do tej pory wynika, że od punktu \(A\) do \(C\) mamy \(3\) jednostki i tak samo od punktu \(C\) do \(B\) mamy \(3\) jednostki. To oznacza, że długość odcinka \(AC\) w terenie to \(3km\) i tak samo \(CB\) to także \(3km\).
Skoro tak, to trasa \(AB\) liczona po skosie (czyli przez łąkę) jest niczym innym jak przekątną kwadratu o boku \(3\):
Kwadrat o boku \(a\) ma zawsze przekątną o długość \(a\sqrt{2}\), stąd też \(|AB|=3\sqrt{2}\). Teraz musimy obliczyć ile czasu potrwa pokonanie tej trasy. Z pomocą przyjdzie nam wzór na prędkość, czyli:
$$v=\frac{s}{t} \\
t=\frac{s}{v}$$
Wiemy już, że ta trasa ma długość \(s=3\sqrt{2}km\), a skoro poruszamy się z prędkością \(v=3\frac{km}{h}\), to czas pokonania trasy wyniesie:
$$t=\frac{3\sqrt{2}km}{3\frac{km}{h}} \\
t=\sqrt{2}h \\
t\approx1,41\cdot60min \\
t\approx84,6min\approx85min$$
Krok 4. Obliczenie długości i czasu pokonania trasy \(AB\) (przez punkt \(C\)).
Długość odcinka \(AC\) (po łące) to \(3km\) i tak samo \(CB\) (po szosie) też jest to \(3km\). Po łące poruszamy się z prędkością \(v=3\frac{km}{h}\), natomiast po szosie \(v=5\frac{km}{h}\), zatem czas pokonania tych tras policzymy sobie oddzielnie.
Po łące \(AC\):
$$t=\frac{3km}{3\frac{km}{h}} \\
t=1h=60min$$
Po szosie \(CB\):
$$t=\frac{3km}{5\frac{km}{h}} \\
t=0,6h \\
t=0,6\cdot60min \\
t=36min$$
Łącznie czas pokonania tej trasy wyniesie: \(60min+36min=96min\)
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie wyznaczysz współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) (patrz: Krok 1. oraz 2.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz czas wędrówki w obu wariantach (patrz: Krok 3. oraz 4.), ale nie podasz go w minutach.
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz czas wędrówki w jednym z wariantów (patrz: Krok 3. oraz 4.) i podasz ten czas w minutach.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
