Na rysunku przedstawiono fragment siatki graniastosłupa prawidłowego trójkątnego. Pole narysowanego trójkąta

Na rysunku przedstawiono fragment siatki graniastosłupa prawidłowego trójkątnego.

egzamin gimnazjalny



Pole narysowanego trójkąta jest równe \(16\sqrt{3}cm^2\), a pole prostokąta jest równe \(24\sqrt{3}cm^2\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa.
Z treści zadania wiemy, że jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, czyli w podstawie tej bryły znajduje się trójkąt równoboczny. To bardzo ważna informacja, bowiem dzięki niej wiemy, że trójkąt z naszej siatki jest na pewno równoboczny, a to oznacza że możemy obliczyć długość jego boku. W tym celu skorzystamy ze wzoru \(P=\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}\). Mamy podane, że pole tego trójkąta jest równe \(P=16\sqrt{3}cm^2\), zatem podstawiając tę informację do naszego wzoru otrzymamy równanie:
$$\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}cm^2 \quad\bigg/\cdot4 \\
a^2\cdot\sqrt{3}=64\sqrt{3}cm^2 \quad\bigg/:\sqrt{3} \\
a^2=64cm^2 \\
a=8cm$$

To oznacza, że trójkąt z naszej siatki ma wszystkie boki równe \(8cm\).

Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
W ścianie bocznej mamy prostokąt. Jedna z długości tego prostokąta pokrywa się z długością krawędzi trójkąta, czyli wiemy że ma ona długość \(a=8cm\). Musimy obliczyć teraz długość drugiego boku tego prostokąta, który będzie tak naprawdę wysokością całego graniastosłupa. Tę długość obliczymy korzystając z informacji o polu powierzchni. W ścianie bocznej jest prostokąt o polu \(24\sqrt{3}cm^2\), zatem:
$$a\cdot b=24\sqrt{3}cm^2 \\
8cm\cdot b=24\sqrt{3}cm^2 \\
b=3\sqrt{3}cm$$

Krok 3. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Do obliczenia objętości graniastosłupa potrzebujemy znać pole podstawy oraz wysokość bryły. Pole podstawy już znamy, bo jest to po prostu pole naszego trójkąta, czyli \(16\sqrt{3}cm^2\), a wysokość to obliczone przed chwilą \(3\sqrt{3}cm\). Zatem:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=16\sqrt{3}cm^2 \cdot 3\sqrt{3}cm \\
V=48\cdot3cm^3 \\
V=144cm^3$$

Odpowiedź

\(144cm^3\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments