Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie.

Rozważmy trójkąt prostokątny $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $A$. Niech każdy z boków tego trójkąta: $CA$, $AB$, $BC$ będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: $CAW_{1}$, $ABW_{2}$, $CBW_{3}$. Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: $W_{1}$, $W_{2}$, $W_{3}$.

Pola trójkątów $CAW_{1}$, $ABW_{2}$, $CBW_{3}$ oznaczymy odpowiednio jako $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$.

Udowodnij, że: $P_{3}=P_{1}+P_{2}$.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenie wysokości trójkątów, które są opuszczone z wierzchołków $W_{1}$, $W_{2}$ oraz $W_{3}$ i niech to będą odpowiednio: $h_{1}$, $h_{2}$ oraz $h_{3}$:
matura z matematyki

Możemy zapisać, że w takim razie:
$$P_{1}=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h_{1} \\
P_{2}=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h_{2} \\
P_{3}=\frac{1}{2}\cdot|BC|\cdot h_{3}$$

Krok 2. Wykorzystanie własności trójkątów podobnych.
Wiemy, że trójkąty z zadania są podobne. Możemy więc zapisać, że przykładowo stosunek wysokości drugiego trójkąta względem pierwszego musi być taki sam jak stosunek długości podstawy drugiego trójkąta względem pierwszego. Matematycznie zapisalibyśmy więc, że:
$$\frac{h_{2}}{h_{1}}=\frac{|AB|}{|AC|} \quad\bigg/\cdot h_{1} \\
h_{2}=\frac{|AB|}{|AC|}\cdot h_{1}$$

I analogicznie możemy zapisać, że:
$$\frac{h_{3}}{h_{1}}=\frac{|CB|}{|AC|} \quad\bigg/\cdot h_{1} \\
h_{3}=\frac{|BC|}{|AC|}\cdot h_{1}$$

Krok 3. Rozpisanie $P_{1}$, $P_{2}$ oraz $P_{3}$ i zakończenie dowodzenia.
Wracamy do wzorów na pole trójkąta $P_{2}$ oraz $P_{3}$, które zapisaliśmy w pierwszym kroku. Podstawiając wyznaczone przed chwilą wartości $h_{2}$ oraz $h_{3}$, otrzymamy:
$$P_{2}=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot\frac{|AB|}{|AC|}\cdot h_{1} \\
P_{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{|AB|^2}{|AC|}\cdot h_{1}$$

$$P_{3}=\frac{1}{2}\cdot|BC|\cdot\frac{|BC|}{|AC|}\cdot h_{1} \\
P_{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{|BC|^2}{|AC|}\cdot h_{1}$$

To oznacza, że suma $P_{1}+P_{2}$ będzie równa:
$$P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h_{1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{|AB|^2}{|AC|}\cdot h_{1} \\
P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot h_{1}\cdot\left(|AC|+\frac{|AB|^2}{|AC|}\right) \\
P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot h_{1}\cdot\left(\frac{|AC|\cdot|AC|}{|AC|}+\frac{|AB|^2}{|AC|}\right) \\
P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot h_{1}\cdot\left(\frac{|AC|^2+|AB|^2}{|AC|}\right)$$

Z Twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:
$$|AC|^2+|AB|^2=|BC|^2$$

Skoro tak, to:
$$P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot h_{1}\cdot\left(\frac{|BC|^2}{|AC|}\right)$$

Wyrażenie po prawej stronie jest dokładnie takie samo jak nasze $P_{3}$, stąd też $P_{1}+P_{2}=P_{3}$ i na tym możemy zakończyć dowodzenie.

Odpowiedź

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów podobnych.