Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Rozwiązywanie zadania dobrze jest rozpocząć od prostego rysunku pomocniczego, zwłaszcza że opisywana sytuacja nie jest oczywista, bo wbrew pozorom to nie osie układu współrzędnych będą tworzyły nasz kąt prosty, a w dodatku punkt \(D\) będzie poza odcinkiem \(BC\). Całość będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Zacznijmy od najprostszej rzeczy, czyli wyznaczenia współrzędnych punktu \(B\). Skoro wierzchołek \(B\) leży na osi \(Oy\) to znaczy, że współrzędna \(x=0\). Współrzędna \(y\) będzie równa współczynnikowi \(b\) prostej o równaniu \(y=3x+12\), ale jeśli o tej własności nie pamiętamy, to zawsze do tego równania możemy podstawić \(x=0\), otrzymując:
$$y=3\cdot0+12 \\
y=0+12 \\
y=12$$
To oznacza, że \(B=(0,12)\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
W bardzo podobny sposób wyznaczymy współrzędne wierzchołka \(A\). Wiemy, że leży on na osi \(Ox\), czyli że współrzędna \(y=0\). Aby wyznaczyć współrzędną \(x\) wystarczy podstawić \(y=0\) do równania \(y=3x+12\), zatem:
$$0=3x+12 \\
-3x=12 \\
x=-4$$
To oznacza, że \(A=(-4,0)\).
Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Wiemy, że do prostej \(BC\) należy punkt \(B=(0,12)\) oraz \(D=(6,6)\). Mamy więc klasyczną sytuację, w której musimy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. W tym celu możemy zastosować bardzo rozbudowany wzór z tablic lub też metodę układu równań. Prostsza jest metoda związana z układem, zatem do postaci \(y=ax+b\) podstawiamy najpierw współrzędne punktu \(B\), potem \(D\), otrzymując takie oto dwa równania tworzące układ:
\begin{cases}
12=0a+b \\
6=6a+b
\end{cases}
Ten układ możemy rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie chyba zauważyć, że z pierwszego równania wprost wynika, że \(b=12\). Tym samym podstawiając tę wartość do drugiego równania obliczymy współczynnik \(a\), zatem:
$$6=6a+12 \\
-6=6a \\
a=-1$$
Tym samym możemy stwierdzić, że prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=-1x+12\), czyli po prostu \(y=-x+12\).
Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Prosta \(AC\) jest prostopadła do prostej \(BC\). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza prosta \(BC\) ma współczynnik \(a=-1\), więc prosta \(AC\) musi mieć współczynnik \(a=1\), ponieważ \((-1)\cdot1=-1\). Skoro tak, to prostą \(AC\) możemy zapisać jako \(y=1x+b\), czyli po prostu \(y=x+b\). Do pełnego wzoru tej prostej brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), a poznamy go podstawiając współrzędne punktu, który do tej prostej należy, czyli w tym przypadku współrzędne znanego punktu \(A=(-4,0)\). Otrzymamy wtedy:
$$0=-4+b \\
b=4$$
To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=x+4\).
Krok 6. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(C\) jest miejscem przecięcia się prostej \(BC\) z prostą \(AC\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że aby poznać współrzędne takiego punktu wystarczy rozwiązać układ równań, który składa się z dwóch takich prostych, zatem:
\begin{cases}
y=-x+12 \\
y=x+4
\end{cases}
Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$-x+12=x+4 \\
-2x=-8 \\
x=4$$
Podstawiając teraz wyznaczone \(x=4\) do dowolnego równania z układu (np. pierwszego) obliczymy współrzędną \(y\), zatem:
$$y=-4+12 \\
y=8$$
Tym samym możemy zapisać, że \(C=(4,8)\).
Odpowiedź
\(A=(-4,0)\), \(B=(0,12)\) oraz \(C=(4,8)\).
