Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), dany jest trójkąt ABC

Udowodniono korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Krok 1. Obliczenie długości wszystkich boków trójkąta.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, czyli:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Spróbujmy w ten sposób obliczyć długość trzech boków tego trójkąta (podstawiając do powyższego wzoru odpowiednie dane). Zacznijmy od przyprostokątnej \(AB\), czyli:
$$|AB|=\sqrt{(-6-(-15))^2+(4-(-8))^2} \\
|AB|=\sqrt{(-6+15)^2+(4+8)^2} \\
|AB|=\sqrt{9^2+12^2} \\
|AB|=\sqrt{81+144} \\
|AB|=\sqrt{225}=15$$

Teraz podobnie obliczymy przyprostokątną \(AC\):
$$|AC|=\sqrt{(-19-(-15))^2+(-5-(-8))^2} \\
|AC|=\sqrt{(-19+15)^2+(-5+8)^2} \\
|AC|=\sqrt{(-4)^2+3^2} \\
|AC|=\sqrt{16+9} \\
|AC|=\sqrt{25}=5$$

I na koniec została przeciwprostokątna \(BC\):
$$|BC|=\sqrt{(-19-(-6))^2+(-5-4)^2} \\
|BC|=\sqrt{(-19+6)^2+(-9)^2} \\
|BC|=\sqrt{(-13)^2+(-9)^2} \\
|BC|=\sqrt{169+81} \\
|BC|=\sqrt{250}=\sqrt{25\cdot10}=5\sqrt{10}$$

Krok 2. Wykazanie, że trójkąt jest prostokątny.
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to między długościami jego boków zajdzie równość znana z twierdzenia Pitagorasa, czyli \(a^2+b^2=c^2\). Podstawmy zatem otrzymane długości (najlepiej podstawić wyniki w postaci pierwiastków, wtedy obliczenia będą znacznie szybsze):
$$(\sqrt{225})^2+(\sqrt{25})^2=(\sqrt{250})^2 \\
225+25=250 \\
250=250 \\
L=P$$

Skoro lewa strona jest równa stronie prawej, to faktycznie trójkąt jest prostokątny, co należało udowodnić.

\(D=(-28,-17)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W zadaniu dość łatwo o pomyłkę, dlatego uważnie wczytajmy się w treść zadania. Bok \(AC\) musi być przekątną równoległoboku, czyli opisywana w treści zadania sytuacja wygląda następująco:


Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(O\).
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu będzie pamiętanie o tym, iż przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości. Tym samym środek \(O\) będzie jednocześnie środkiem odcinka \(AC\). Skoro tak, to korzystając ze wzoru na środek odcinka, możemy zapisać, że:
$$O=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Podstawiając do tego wzoru dane z treści zadania, otrzymamy:
$$O=\left(\frac{-15+(-19)}{2};\frac{-8+(-5)}{2}\right) \\
O=\left(\frac{-15-19}{2};\frac{-8-5}{2}\right) \\
O=\left(\frac{-34}{2};\frac{-13}{2}\right) \\
O=\left(-17;-\frac{13}{2}\right)$$

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(S\) będzie jednocześnie środkiem odcinka \(BD\). Ponownie więc możemy skorzystać ze wzoru na środek odcinka i tym samym obliczymy poszukiwane współrzędne punktu \(D\). Dla lepszej przejrzystości obliczeń możemy obliczyć oddzielnie współrzędną \(x_{D}\) oraz \(y_{D}\), zatem:
$$x_{S}=\frac{x_{B}+x_{D}}{2} \\
-17=\frac{-6+x_{D}}{2} \\
-34=-6+x_{D} \\
x_{D}=-28$$

$$y_{S}=\frac{y_{B}+y_{D}}{2} \\
-\frac{13}{2}=\frac{4+y_{D}}{2} \\
-13=4+y_{D} \\
y_{D}=-17$$

To oznacza, że \(D=(-28,-17)\).

\(S=\left(\frac{-40}{3}, -3\right)\)

Do obliczenia punktu \(S\), czyli punktu przecięcia się środkowych trójkąta \(ABC\) możemy skorzystać ze wzoru zapisanego w tablicach:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}, \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)$$

Podstawiając do tego wzoru współrzędne z treści zadania, otrzymamy:
$$S=\left(\frac{-15+(-6)+(-19)}{3}, \frac{-8+4+(-5)}{3}\right) \\
S=\left(\frac{-15-6-19}{3}, \frac{-8+4-5}{3}\right) \\
S=\left(\frac{-40}{3}, \frac{-9}{3}\right) \\
S=\left(\frac{-40}{3}, -3\right)$$