Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), dany jest okrąg O

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dany jest okrąg \(O\) określony równaniem:

$$(x-2)^2+(y+3)^2=16$$



Zadanie 1.

Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-G.

1. Środek \(S\) okręgu \(O\) ma współrzędne:

A. \(S=(2,-3)\)

B. \(S=(-2,-3)\)

C. \(S=(-2,3)\)

D. \(S=(-2,3)\)

2. Promień \(r\) okręgu \(O\) jest równy:

E. \(r=16\)

F. \(r=4\)

G. \(r=5\)



Zadanie 2.

Oblicz współrzędne \(x\) punktów przecięcia okręgu \(O\) z osią \(Ox\).

Rozwiązanie

Zadanie 1.
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka okręgu.
Równanie okręgu opisujemy w następujący sposób:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Wartości \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień tego okręgu. Na początek wyznaczmy współrzędne tego środka. W tym celu musimy "dopasować" równanie z treści do postaci równania okręgu (w nawiasach muszą być minusy!), zatem:
$$(x-2)^2+(y+3)^2=16 \\
(x-2)^2+(y-(-3))^2=16$$

To oznacza, że \(S=(2;-3)\).

Krok 2. Wyznaczenie długości promienia okręgu.
Widzimy, że po prawej stronie równania mamy \(16\), a zgodnie z równaniem okręgu jest to wartość \(r^2\), zatem:
$$r^2=16 \\
r=4 \quad\lor\quad r=-4$$

Ujemny wynik odrzucamy, bo promień okręgu musi mieć dodatnią długość. Zostaje nam zatem \(r=4\).

Zadanie 2.
Chcemy sprawdzić kiedy okrąg przetnie się z osią \(Ox\), czyli chcemy sprawdzić, dla jakich argumentów \(x\) otrzymamy wartość \(y=0\). Skoro tak, to podstawiając \(y=0\) otrzymamy:
$$(x-2)^2+(0+3)^2=16 \\
(x-2)^2+3^2=16 \\
(x-2)^2+9=16 \\
(x-2)^2=7$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Nie jest to postać iloczynowa, ponieważ po prawej stronie nie mamy zera, więc nie możemy przyrównać wartości w nawiasie do zera. Najprościej będzie spierwiastkować obydwie strony równania i rozwiązać powstałe równanie z wartością bezwzględną:
$$|x-2|=\sqrt{7} \\
x-2=\sqrt{7} \quad\lor\quad x-2=-\sqrt{7} \\
x=2+\sqrt{7} \quad\lor\quad x=2-\sqrt{7}$$

Jeżeli nie dostrzegliśmy takiej możliwości, to śmiało można całość rozpisać, doprowadzić do postaci ogólnej i policzyć wszystko deltą:
$$x^2-4x+4=7 \\
x^2-4x-3=0$$

Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-3)=16-(-12)=28 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=2\sqrt{7}$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-2\sqrt{7}}{2\cdot1}=\frac{4-2\sqrt{7}}{2}=2-\sqrt{7} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+2\sqrt{7}}{2\cdot1}=\frac{4+2\sqrt{7}}{2}=2+\sqrt{7}$$

To oznacza, że okrąg przecina się z osią \(Ox\) wtedy, gdy \(x=2-\sqrt{7}\) oraz \(x=2+\sqrt{7}\).

Odpowiedź

1. A. oraz F.
2. \(x=2-\sqrt{7}\) oraz \(x=2+\sqrt{7}\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments