Na okręgu o środku w punkcie O wybrano trzy punkty A, B, C tak, że kąt AOB=70 stopni, kąt OAC=25 stopni

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) wybrano trzy punkty \(A\), \(B\), \(C\) tak, że \(|\sphericalangle AOB|=70°\), \(|\sphericalangle OAC|=25°\). Cięciwa \(AC\) przecina promień \(OB\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\sphericalangle OBC\) jest równa:

matura z matematyki

Rozwiązanie

Niech punkt przecięcia się cięciwy z odcinkiem AB to będzie punkt \(P\) (ułatwi nam to nazewnictwo kątów).

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(APO\).
Spójrzmy na trójkąt \(OAP\). Znamy miary dwóch kątów tego trójkąta, zatem jesteśmy w stanie wyznaczyć miarę także trzeciego kąta:
$$|\sphericalangle APO|=180°-25°-70°=85°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(BPC\).
Kąt \(BPC\) jest kątem wierzchołkowym z kątem \(APO\), a z własności takich kątów wiemy, że mają jednakową miarę, zatem:
$$|\sphericalangle BPC|=|\sphericalangle APO|=85°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(ACB\).
Kąt \(ACB\) to kąt wpisany, który jest oparty na tym samym łuku co znany nam kąt środkowy o mierze \(70°\). Z własności kątów wpisanych i środkowych, które są oparte na tym samym łuku, wiemy że miara kąta wpisanego musi być dwukrotnie mniejsza od miary kąta środkowego, zatem:
$$|\sphericalangle BPC|=70°:2=35°$$

Krok 4. Wyznaczenie miary kąta \(PBC\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(PBC\). Znamy miary dwóch kątów w tym trójkącie, a jedyną niewiadomą jest poszukiwana przez nas miara kąta \(PBC\). Skoro suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to:
$$|\sphericalangle PBC|=180°-85°-35°=60°$$

Odpowiedź

B

Dodaj komentarz