Na bokach trójkąta prostokątnego ABC zaznaczono punkty D i E. Odcinek DE podzielił trójkąt ABC na dwa wielokąty

Na bokach trójkąta prostokątnego \(ABC\) zaznaczono punkty \(D\) i \(E\). Odcinek \(DE\) podzielił trójkąt \(ABC\) na dwa wielokąty: trójkąt prostokątny \(ADE\) i czworokąt \(DBCE\), jak na rysunku. Odcinek \(AB\) ma długość \(4\sqrt{3}cm\), a odcinek \(DE\) ma długość \(3cm\).

egzamin ósmoklasisty



Długość odcinka \(EC\) jest równa:

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Spójrzmy na duży trójkąt \(ABC\). Skorzystamy tutaj z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z tych własności wynika, że przyprostokątna leżąca przy kącie \(30°\) (czyli nasz odcinek \(AB\)) ma długość \(a\sqrt{3}\), druga przyprostokątna (czyli nasz odcinek \(BC\)) ma długość \(a\), natomiast przeciwprostokątna (czyli nasz odcinek \(AC\)) ma długość \(2a\).

Skoro odcinek \(AB\) ma długość \(4\sqrt{3}cm\), to możemy zapisać że:
$$a\sqrt{3}cm=4\sqrt{3}cm \\
a=4cm$$

W związku z tym przeciwprostokątna \(AC\) ma długość:
$$|AC|=2a \\
|AC|=2\cdot4cm \\
|AC|=8cm$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ADE\). Tutaj także skorzystamy z własności trójkątów \(30°, 60°, 90°\). Tym razem znamy długość krótszej przyprostokątnej \(DE\), czyli możemy zapisać że \(a=3cm\). Nas interesuje długość odcinka \(AE\), czyli:
$$|AE|=2a \\
|AE|=2\cdot3cm \\
|AE|=6cm$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(EC\).
Odcinek \(EC\) jest różnicą między odcinkiem \(AC\) oraz odcinkiem \(AE\):
$$|EC|=8cm-6cm \\
|EC|=2cm$$

Odpowiedź

C

Dodaj komentarz