Mnożenie potęg

Mnożenie potęg wykonujemy wykorzystując poniższe wzory, dzięki którym unikniemy wszelkich wątpliwości i problemów na różnych sprawdzianach czy też testach.

Zacznijmy od mnożenia potęg, które w swojej podstawie mają jednakowe liczby.

Mnożenie potęg o tych samych podstawach:
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}\\
3^8\cdot 3^4=3^{8+4}=3^{12}$$
Zadanie 1. Oblicz \(2^3\cdot2^4\)
$$2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7$$
Gdybyś miał kiedyś jakieś wątpliwości odnośnie tego jak wygląda powyższy wzór, to możesz to też sobie rozpisać jako:
$$2^3\cdot2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^7$$
Zadanie 2. Oblicz \(5\cdot5^8\)
$$5\cdot5^8=5^1\cdot5^8=5^{1+8}=5^9$$
Zadanie 3. Oblicz \(\left(\frac{3}{4}\right)^2\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^7\)
$$\left(\frac{3}{4}\right)^2\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^7=\left(\frac{3}{4}\right)^{2+7}=\left(\frac{3}{4}\right)^{9}$$
Zadanie 4. Oblicz \(2^3\cdot2^4\cdot2^5\)
$$2^3\cdot2^4\cdot2^5=2^{3+4+5}=2^{12}$$
Zadanie 5. Oblicz \(3^{\tfrac{1}{2}}\cdot3^{\tfrac{1}{4}}\)
$$3^{\tfrac{1}{2}}\cdot3^{\tfrac{1}{4}}=3^{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}}=3^{\tfrac{4}{8}+\tfrac{2}{8}}=3^{\tfrac{6}{8}}=3^{\tfrac{3}{4}}$$

W przypadku, gdy mnożone potęgi mają ten sam wykładnik, stosujemy wzór:

Mnożenie potęg o tym samym wykładniku:
$$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n \\
3^8\cdot 5^8=(3\cdot 5)^8$$
Zadanie 6. Oblicz \(2^3\cdot3^3\)
$$2^3\cdot3^3=(2\cdot3)^3=6^3$$
Zadanie 7. Oblicz \(3^8\cdot\pi^8\)
$$3^8\cdot\pi^8=(3\cdot\pi)^8=(3\pi)^8$$
Zadanie 8. Oblicz \(\left(\frac{1}{2}\right)^8\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^8\)
$$\left(\frac{1}{2}\right)^8\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^8=\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\right)^8=\left(\frac{1}{8}\right)^8$$
Zadanie 9. Oblicz \(2^{\tfrac{1}{2}}\cdot3^{\tfrac{1}{2}}\)
$$2^{\tfrac{1}{2}}\cdot3^{\tfrac{1}{2}}=(2\cdot3)^{\tfrac{1}{2}}=6^{\tfrac{1}{2}}$$

W porządku, jednak co w sytuacji kiedy nasze potęgi nie mają ani wspólnej podstawy, ani wspólnego wykładnika? W takich przypadkach będziemy musieli zamieniać liczby na takie, które mają jednakową podstawę lub jednakowy wykładnik potęgi. Bardzo często w trakcie obliczeń przyda nam się do tego wzór na „potęgę podniesioną do potęgi”:

Potęga podniesiona do potęgi:
$$\left(a^m \right)^n=a^{m\cdot n}\\
25^3=\left(5^2\right)^3=5^{2\cdot3}=5^{6}$$
Zadanie 10. Zapisz w postaci pojedynczej potęgi iloczyn \(8^5\cdot2^2\).
Aby móc wykonać to mnożenie musimy zauważyć, że \(8\) to nic innego jak \(2^3\). Możemy więc podmienić ósemkę na \(2^3\) i zapisać, że:
$$8^5\cdot2^2=\left(2^3\right)^5\cdot2^2$$

Teraz korzystając ze wzoru na „potęgę podniesioną do potęgi” otrzymamy taką oto sytuację:
$$\left(2^3\right)^5\cdot2^2=2^{3\cdot5}\cdot2^2=2^{15}\cdot2^2$$

W ten sprytny sposób otrzymaliśmy mnożenie potęg o jednakowych podstawach (czyli to, co do tej pory ćwiczyliśmy), zatem dodając wykładniki otrzymamy:
$$2^{15}\cdot2^2=2^{15+2}=2^{17}$$

Zadanie 11. Zapisz w postaci pojedynczej potęgi iloczyn \(11^6\cdot27^2\).
Ani podstawy potęg nie są jednakowe, ani wykładniki nie są sobie równe. Liczby \(11\) na pewno nie uda nam się sensownie rozpisać w postaci potęgi, za to \(27\) możemy zapisać jako \(3^3\). Otrzymamy wtedy taką oto sytuację:
$$11^6\cdot27^2=11^6\cdot\left(3^3\right)^2=11^6\cdot3^{3\cdot2}=11^6\cdot3^6$$

Tym razem otrzymaliśmy potęgi o jednakowych wykładnikach, zatem korzystając z wiedzy zdobytej we wcześniejszych przykładach możemy zapisać, że:
$$11^6\cdot3^6=(11\cdot3)^6=33^6$$

Zadanie 12. Oblicz \(5^7\cdot\left(\frac{1}{25}\right)^3\).
Ten przykład jest już na poziomie liceum/technikum i wymaga od nas wiedzy iż \(\left(\frac{1}{25}\right)=5^{-2}\).
Więcej o potęgach o wykładniku ujemnym znajdziesz tutaj: Potęgi o wykładniku ujemnym

Przykład ten możemy więc rozpisać następująco:
$$5^7\cdot\left(\frac{1}{25}\right)^3=5^7\cdot\left(5^{-2}\right)^3=5^7\cdot5^{-2\cdot3}= \\
=5^7\cdot5^{-6}=5^{7+(-6)}=5^1=5$$

Zadanie 13. Oblicz \(10^3\cdot5^8\).
Tutaj nie uda nam się bezpośrednio sprowadzić liczb do jednakowej podstawy potęgi lub jednakowego wykładnika, tak jak robiliśmy to w poprzednich przykładach. Nie oznacza to jednak, że z tym działaniem nie da się zrobić niczego więcej. Kluczem do sukcesu jest rozbicie \(10\) na \(2\cdot5\). Otrzymamy wtedy:
$$10^3\cdot5^8=(2\cdot5)^3\cdot5^8=2^3\cdot5^3\cdot5^8= \\
=2^3\cdot5^{3+8}=2^3\cdot5^{11}=8\cdot5^{11}$$

Tak na marginesie to zauważ, że to zadanie mogłoby brzmieć: „Udowodnij, że \(10^3\cdot5^8\) jest podzielne przez \(8\)”. Rozpisując wszystko w ten sposób jak przed chwilą udowodniliśmy, że ta liczba jest podzielna przez \(8\).

Zobacz także: Dzielenie potęg

7
Dodaj komentarz

Mikołajka

Fajnie, że jest tu tyle rzeczy wyjaśnionych. Polecam na co dzień do nauki matematyki i nie tylko :)

Juliancia

No dobra. A jeśli jest i podstawa i wykładnik ten sam, to co wtedy? Z którego wzoru skorzystać? Np. 3^7*3^7 to będzie 3^14, czy może 9^7, albo 9^14?
Wiem, że ten artykuł został pewnie wstawiony już dawno, ale w razie jakby ktoś chciał mi pomóc, byłabym naprawdę wdzięczna

ilustracja mozambiku

co zrobić jak wszystkie są inne?

Michal

Co zrobić gdy potęga i wykładnik są inne