Metoda podstawiania

Najpopularniejszą metodą, którą posługujemy się podczas rozwiązywania układu równań jest metoda podstawiania. Polega ona na tym, że z jednego równania wyznaczamy wartość jednej z niewiadomych i podstawiamy ją do drugiego równania. Spójrzmy na poniższy przykład:

Przykład 1. Rozwiąż metodą podstawiania następujący układ równań: \(\begin{cases} x+3y=7 \\ 2x+4y=10 \end{cases}\)

Aby skorzystać z metody podstawiania musimy najpierw wyznaczyć \(x\) z pierwszego równania, którą potem podstawimy do równania drugiego. Aby tego dokonać wystarczy odjąć obustronnie wartość \(3y\). Drugie równanie możemy na razie przepisać bez zmian. Otrzymamy w ten sposób następującą sytuację:
\begin{cases}
x=7-3y \\
2x+4y=10
\end{cases}

Wiemy już, że nasz \(x\) jest równy \(7-3y\). Możemy skorzystać z tej informacji i podstawić pod iksa w drugim równaniu właśnie wartość \(7-3y\). Otrzymamy wtedy:
$$2\cdot(7-3y)+4y=10$$

Otrzymaliśmy już równanie liniowe z jedną niewiadomą, zatem wystarczy teraz rozwiązać powstałe równanie, zaczynając od wymnożenia tego co jest po lewej stronie:
$$2\cdot(7-3y)+4y=10 \\
14-6y+4y=10 \\
-2y=-4 \\
y=2$$

Wiemy już, że wartość igreka jest równa \(2\). Podstawiając teraz tę dwójkę do jednego z wybranych równań otrzymamy wartość iksa. Przykładowo, podstawiając \(y=2\) do pierwszego równania otrzymamy:
$$x+3y=7 \\
x+3\cdot2=7 \\
x+6=7 \\
x=1$$

To oznacza, że rozwiązaniem układu równań jest para liczb: \(x=1\) oraz \(y=2\), co możemy nawet zapisać jako:
$$\begin{cases}
x=1 \\
y=2
\end{cases}$$

Podsumowując ten przykład możemy powiedzieć, że rozwiązywanie układu równań metodą podstawiania odbywa się w następujący sposób:
1. Przekształcamy jedno z równań do postaci typu \(x=…\) lub \(y=…\) (np. \(x=3y-8)\).
2. Podstawiamy wyznaczone wyrażenie z jednego równania do drugiego, pozbywając się w ten sposób jednej niewiadomej.
3. Rozwiązujemy powstałe równanie, które jest już prostym równaniem liniowym z jedną niewiadomą i obliczamy w ten sposób wartość jednej niewiadomej.
4. Znając już wartość jednej niewiadomej musimy podstawić tę liczbę do jednego z dwóch równań i dzięki temu wyliczamy wartość drugiej niewiadomej.

Jak sprawdzić, czy rozwiązanie układu równań jest poprawne?
Aby się upewnić, czy otrzymane rozwiązanie jest poprawne wystarczy podstawić wyznaczonego iksa i igreka do jednego i drugiego równania. Jeżeli po podstawieniu wyjdzie nam, że w każdym z tych równań lewa strona jest równa prawej, to nasze rozwiązanie jest poprawne. Sprawdźmy to na przykładzie poprzedniego układu równań:

Przykład 2. Sprawdź, czy \(x=1\) oraz \(y=2\) są rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} x+3y=7 \\ 2x+4y=10 \end{cases}\).

Podstawiając \(x=1\) oraz \(y=2\) otrzymamy:
$$\begin{cases}
x+3y=7 \\
2x+4y=10
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
1+3\cdot2=7 \\
2\cdot1+4\cdot2=10
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
1+6=7 \\
2+8=10
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
7=7 \\
10=10
\end{cases}$$

W jednym i drugim równaniu lewa strona jest równa prawej, zatem \(x=1\) oraz \(y=2\) to poprawne rozwiązania układu równań.

Przykład 3. Rozwiąż metodą podstawiania następujący układ równań: \( \begin{cases} 2x+4y=10\\ 4x-5y=7 \end{cases} \)

Zgodnie z ideą metody podstawiania, musimy najpierw z pierwszego lub drugiego równania wyznaczyć wartość jednej niewiadomej, zatem:
\begin{cases}
2x+4y=10 \quad\bigg/-4y \\
4x-5y=7
\end{cases}

\begin{cases}
2x=10-4y \quad\bigg/:2 \\
4x-5y=7
\end{cases}

\begin{cases}
x=5-2y \\
4x-5y=7
\end{cases}

Teraz podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$4\cdot(5-2y)-5y=7 \\
20-8y-5y=7 \\
-13y=-13 \\
y=1$$

Znamy już wartość jednej niewiadomej, zatem możemy do jednego z wybranych równań podstawić \(y=1\) i obliczymy w ten sposób wartość niewiadomej \(x\):
$$x=5-2y \\
x=5-2\cdot1 \\
x=5-2 \\
x=3$$

Rozwiązaniem tego układu równań jest więc para liczb: \(x=3\) oraz \(y=1\).

Przykład 4. Rozwiąż metodą podstawiania następujący układ równań: \( \begin{cases} 2x+3y=1\\ \frac{1}{2}y=-3x \end{cases} \)

W tym przykładzie najłatwiej będzie nam wyznaczyć wartość igreka z drugiego równania, którą potem podstawimy do równania pierwszego. W związku z tym pierwsze równanie przepiszemy, a w drugim wykonamy obustronne mnożenie przez \(2\):
\begin{cases}
2x+3y=1 \\
\frac{1}{2}y=-3x \quad\bigg/\cdot2
\end{cases}

\begin{cases}
2x+3y=1 \\
y=-6x
\end{cases}

Teraz podstawiając \(y=-6x\) z drugiego równania do pierwszego otrzymamy:
$$2x+3\cdot(-6x)=1 \\
2x-18x=1 \\
-16x=1 \\
x=-\frac{1}{16}$$

Znając wartość iksa możemy teraz obliczyć wartość igreka, podstawiając \(x=-\frac{1}{16}\) do jednego z równań:
$$y=-6x \\
y=-6\cdot\left(-\frac{1}{16}\right) \\
y=\frac{6}{16} \\
y=\frac{3}{8}$$

Rozwiązaniem tego układu równań jest zatem para liczb: \(x=-\frac{1}{16}\) oraz \(y=\frac{3}{8}\).

Przykład 5. Rozwiąż metodą podstawiania następujący układ równań: \( \begin{cases} 2x+3y=6\\ -3x+3y=7 \end{cases} \)

Tutaj mamy przykład układu równań, który możemy rozwiązać nieco sprytniej. Standardowo powinniśmy wyznaczyć wartość \(x=…\) lub \(y=…\). Jednak jeżeli przyjrzymy się naszym równaniom to zauważymy, że w pierwszym i drugim równaniu mamy wartość \(3y\). Skoro tak, to możemy spróbować wyznaczyć z tego pierwszego równania po prostu wartość typu \(3y=…\) i podstawić to do drugiego równania. Całość będzie wyglądać następująco:
\begin{cases}
2x+3y=6 \quad\bigg/-2x \\
-3x+3y=7
\end{cases}

\begin{cases}
3y=-2x+6 \quad\bigg/-2x \\
-3x+3y=7
\end{cases}

Teraz pod \(3y\) w drugim równaniu możemy podstawić wartość wyznaczoną w równaniu pierwszym, zatem:
$$-3x+(-2x+6)=7 \\
-3x-2x+6=1 \\
-5x=-5 \\
x=1$$

Znamy wartość iksa, więc podstawiając \(x=1\) do jednego z równań obliczymy wartość igreka:
$$3y=-2x+6 \\
3y=-2\cdot1+6 \\
3y=-2+6 \\
3y=4 \\
y=\frac{4}{3}$$

Rozwiązaniem tego układu równań jest więc para liczb: \(x=1\) oraz \(y=\frac{4}{3}\).

Obok metody podstawiania istnieje jeszcze tak zwana metoda przeciwnych współczynników o której możesz przeczytać tutaj:

Dodaj komentarz