Matura próbna – Matematyka – Operon 2024 – Odpowiedzi

A

Chcąc odjąć od siebie dwa ułamki zwykłe, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Otrzymany wynik będziemy musieli na koniec podnieść do potęgi \(-2\) i tu też warto przypomnieć, że aby pozbyć się ujemnego wykładnika potęgi, należy odwrócić liczbę potęgowaną. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{2}{10}-\frac{5}{10}\right)^{-2}= \\
=\left(-\frac{3}{10}\right)^{-2}=\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

A

W tym dość niepozornym zadaniu jest sporo pułapek, a kluczowa z nich polega na tym, że w liczniku mamy dodawanie ułamków, na które to działanie nie mamy żadnych wzorów. Kluczem do sukcesu w tym zadaniu będzie dostrzeżenie, że znajdujące się w liczniku \(16^5\) możemy rozpisać jako:
$$16^5=(2^4)^5=2^{20}$$

Powyższa zamiana pozwoli nam skrócić licznik w mianownikiem, pozbywając się przy okazji \(2^{20}\). I tu też trzeba być ostrożnym, bo skoro w liczniku mamy dodawanie, to skrócić trzeba każdy składnik tej sumy. Całość obliczeń wyglądałaby więc następująco:
$$\frac{4^8+2^{20}}{16^5}=\frac{4^8+2^{20}}{2^{20}}=\frac{4^8}{2^{20}}+\frac{2^{20}}{2^{20}}= \\
=\frac{(2^2)^8}{2^{20}}+1=\frac{2^{16}}{2^{20}}+1=2^{16-20}+1= \\
=2^{-4}+1=\frac{1}{16}+1=\frac{1}{16}+\frac{16}{16}=\frac{17}{16}$$

Udowodniono rozpisując liczbę i wyłączając odpowiedni czynnik przed nawias.

Rozpisując naszą liczbę (i pamiętając o wzorach skróconego mnożenia), otrzymamy taką oto sytuację:
$$(3k+2)^2+(k+3)^2+2k= \\
=9k^2+12k+4+k^2+6k+9+2k= \\
=10k^2+20k+13= \\
=10k^2+20k+10+3= \\
=10\cdot(k^2+2k+1)+3$$

Jeżeli \(k\) jest liczbą naturalną, to wyrażenie \(k^2+2k+1\) jest na pewno dodatnie (bo mamy sumę liczb nieujemnych i na końcu jest jeszcze dodana jedynka). Wyłączenie dziesiątki przed nawias oznacza więc, że liczba jest jak najbardziej podzielna przez \(10\), a \(+3\) na końcu zapisu oznacza właśnie resztę z tego dzielenia, co należało udowodnić.

C

Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$2(log_{0,1}3+log_{0,1}6)-(log_{0,1}27+log_{0,1}12)= \\
=2(log_{0,1}(3\cdot6))-(log_{0,1}(27\cdot12))= \\
=2(log_{0,1}18)-(log_{0,1}324)= \\
=(log_{0,1}18^2)-(log_{0,1}324)= \\
=(log_{0,1}324)-(log_{0,1}324)=0$$

A

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia oraz rozpisując całe podane wyrażenie, otrzymamy:
$$x^2+4x+4-\frac{2x^2-4x+x-2}{2}= \\
=x^2+4x+4-\frac{2x^2-3x-2}{2}= \\
=x^2+4x+4-(x^2-\frac{3}{2}x-1)= \\
=x^2+4x+4-x^2+\frac{3}{2}x+1= \\
=5\frac{1}{2}x+5=\frac{11}{2}x+5$$

B

Celem zadania jest rozwiązanie podanej nierówności, zatem:
$$-4x+7x\gt(x-4)(x-2)-x^2 \\
3x\gt x^2-2x-4x+8-x^2 \\
3x\gt-6x+8 \\
9x\gt8 \\
x\gt\frac{8}{9}$$

Liczba pierwsza to taka, która ma dwa dzielniki - dzieli się przez samą siebie i przez jedynkę. Najmniejszą liczbą pierwszą, która jest większa od ułamka \(\frac{8}{9}\) będzie zatem \(2\) (liczba \(1\) nie jest liczbą pierwszą).

C

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy obliczenia, musimy zapisać założenia do tego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartości naszych mianowników muszą być od tego zera różne. W związku z tym:
$$4x+8\neq0 \quad\land\quad x+1\neq0 \\
4x\neq-8 \quad\land\quad x\neq-1$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przejść do rozwiązywania. Najprościej będzie chyba wykonać tutaj tzw. mnożenie na krzyż, zatem:
$$(x+3)\cdot(x+1)=(4x+8)\cdot1 \\
x^2+x+3x+3=4x+8 \\
x^2+4x+3=4x+8 \\
x^2=5 \\
x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki nie wykluczają się z założeniami, zatem obydwa są jak najbardziej poprawne. Nasze równanie ma więc dwa rozwiązania: \(x=\sqrt{5}\) oraz \(x=-\sqrt{5}\), a suma tych dwóch rozwiązań jest równa \(0\), stąd też prawidłową odpowiedzią do tego zadania będzie C.

\(x=\sqrt{11}\), \(x=-\sqrt{11}\), \(x=0\) oraz \(x=\frac{4}{5}\)

Aby wartość wyrażenia po lewej stronie była równa zero, to albo wartość tego pierwszego nawiasu musi być równa zero, albo tego drugiego. W związku z tym:
$$3x^2-33=0 \quad\lor\quad 5x^2-4x=0$$

Powstały nam więc do rozwiązania dwa proste równania kwadratowe, które może dla lepszej przejrzystości omówimy sobie oddzielnie. Oczywiście każde takie równanie można rozwiązać za pomocą delty, ale tutaj nie ma takiej potrzeby. Te równania można rozwiązać w następujący sposób:
$$3x^2-33=0 \\
3x^2=33 \\
x^2=11 \\
x=\sqrt{11} \quad\lor\quad x=-\sqrt{11}$$

$$5x^2-4x=0 \\
x(5x-4)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad 5x-4=0 \\
x=0 \quad\lor\quad 5x=4 \\
x=0 \quad\lor\quad x=\frac{4}{5}$$

Nasze równanie ma więc aż cztery rozwiązania: \(x=\sqrt{11}\), \(x=-\sqrt{11}\), \(x=0\) oraz \(x=\frac{4}{5}\).

A

Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
Jak się przyjrzymy naszym równaniom z układów równań, to w każdej z odpowiedzi mamy taką samą wersję pierwszego równania, czyli \(x+y=190\), bo rzeczywiście zgodnie z treścią zadania, suma odległości \(x\) oraz \(y\) ma nam dać odległość \(190 km\). Pierwsze równanie mamy więc ułożone.

Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Korzystając ze wzoru na prędkość i przekształcając go, możemy zapisać wzór na czas jazdy:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v}$$

Czas jazdy z Pruszkowa do Tłuszcza moglibyśmy zapisać jako \(\frac{x}{60}\), natomiast czas jazdy z Tłuszcza do Pruszkowa zapisalibyśmy jako \(\frac{y}{80}\). Musimy jeszcze uwzględnić fakt, że ten drugi pociąg wyruszył \(15\) minut później, a skoro jest to \(\frac{1}{4}\) godziny, to powstałoby nam równanie:
$$\frac{x}{60}=\frac{y}{80}+\frac{1}{4}$$

Pasującym układem równań będzie więc ten z pierwszej odpowiedzi.

1. C oraz 2. D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Widzimy, że funkcja rośnie od argumentu \(x=-4\) aż do \(x=0\), zatem maksymalnym przedziałem w którym funkcja \(f\) jest rosnąca będzie \(\langle-4,0\rangle\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Funkcja przyjmuje wartości od \(-2\) aż do \(6\) włącznie (tu trzeba było zwrócić szczególną uwagę na to, że wartość \(-2\) jest jak najbardziej przyjmowana mimo niezamalowanej kropki na końcu wykresu - po prostu ta funkcja przyjmie wartość \(y=-2\) dla np. \(x=5\)). Zatem poszukiwanem przedziałem będzie \(\langle-2,6\rangle\).

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik \(a\) jest ujemny. W naszym przypadku współczynnik \(a\) jest równy \(p^2-16\). Skoro ma być on ujemny, to musimy rozwiązać następującą nierówność kwadratową:
$$p^2-16\lt0$$

Aby rozwiązać tę nierówność, musimy oczywiście najpierw wyznaczyć miejsca zerowe, czyli musimy sprawdzić kiedy \(p^2-16\) jest równe \(0\). Możemy to oczywiście policzyć przy pomocy delty, ale to jest na tyle proste równanie, że damy radę rozwiązać je niemalże w pamięci:
$$p^2-16=0 \\
p^2=16 \\
p=4 \quad\lor\quad p=-4$$

Zaznaczamy na osi wyznaczone miejsca zerowe i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi do góry (bo przed \(p^2\) nie stoi żaden minus). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:


Na koniec musimy odczytać rozwiązania tej nierówności. Interesują nas wartości mniejsze od zera, więc zerkamy na to co jest pod osią iksów, no i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie \(x\in(-4,4)\). To oznacza, że zdanie jest fałszem (bo nie zgadzają nam się nawiasy).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
O punkcie przecięcia się z osią \(Oy\) decyduje współczynnik \(b\), który u nas jest równy \(p-4\). Aby druga współrzędna (czyli współrzędna \(y\)) była ujemna, to wartość tego współczynnika \(b\) musi być też ujemna. Musimy więc rozwiązać nierówność:
$$p-4\lt0 \\
p\lt4$$

Zdanie jest więc fałszem.

C

Krok 1. Zapisanie równania.
Funkcja liniowa nie będzie mieć miejsc zerowych tylko wtedy, gdy będzie równoległa do osi \(Ox\) oraz wtedy, gdy nie będzie pokrywać się z tą osią. Rozpatrzmy najpierw sytuację, w której funkcja jest równoległa do osi \(Ox\). Stanie się tak w sytuacji, gdy współczynnik kierunkowy \(a\) będzie równy \(0\). W naszym przypadku współczynnik \(a\) jest równy \(k^2-3k+2\), zatem musimy rozwiązać następujące równanie kwadratowe:
$$k^2-3k+2=0$$

Krok 2. Rozwiązanie równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$k_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-1}{2\cdot1}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
k_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+1}{2\cdot1}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Wiemy już, że funkcja będzie równoległa do osi \(Ox\) wtedy, gdy \(k=1\) oraz gdy \(k=2\). Musimy jeszcze sprawdzić, czy przypadkiem dla któregoś z tych wariantów ta funkcja nie będzie leżeć po prostu na osi \(Ox\) (gdyby leżała to mielibyśmy nieskończenie wiele miejsc zerowych). Chcielibyśmy zatem, by współczynnik \(b\) tej funkcji był różny od zera. W naszym przypadku współczynnik \(b\) jest równy \(-k+2\), zatem:
$$-k+2\neq0 \\
k\neq2$$

To oznacza, że rozwiązanie \(k=2\) musimy odrzucić. Zatem jedyną poprawną odpowiedzią do tego zadania będzie \(k=1\).

D

Podstawając \(x=1-\sqrt{3}\) do wzoru funkcji, otrzymamy wyrażenie \(\frac{-3}{1-\sqrt{3}}\). Takiej odpowiedzi nie ma wśród proponowanych, a to dlatego, że musimy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika ułamka. W tym celu należałoby pomnożyć licznik oraz mianownik przez \(1+\sqrt{3}\), co pozwoli nam zastosować wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{-3\cdot(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})\cdot(1+\sqrt{3})}= \\
=\frac{-3-3\sqrt{3}}{1^2-(\sqrt{3})^2}= \\
=\frac{-3-3\sqrt{3}}{1-3}=\frac{-3-3\sqrt{3}}{-2}$$

Otrzymany wynik nadal nie pasuje nam do proponowanych odpowiedzi, więc musimy jeszcze usunąć minus znajdujący się w mianowniku. Musimy więc podzielić licznik oraz mianownik ułamka przez \(-1\), co da nam postać:
$$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Szukamy ujemnych wyrazów tego ciągu, czyli chcemy sprawdzić kiedy zajdzie następująca nierówność:
$$-(n+2)(4-n)\lt0$$

Powstała nam klasyczna nierówność, której rozwiązanie powinniśmy rozpocząć od wyznaczenia miejsc zerowych. Postępujemy tak jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$n+2=0 \quad\lor\quad 4-n=0 \\
n=-2 \quad\lor\quad n=4$$

Zaznaczamy wyznaczone miejsca zerowe na osi i przystępujemy do rysowania paraboli. I ukryta jest spora pułapka, ponieważ na pierwszy rzut oka mogłoby się wydawać, że skoro przed nawiasami stoi minus, to ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Trzeba jednak zwrócić uwagę, że w drugim nawiasie mamy minus przed \(n\), zatem gdybyśmy to wszystko przez siebie wymnożyli, to otrzymalibyśmy postać ogólną, w której współczynnik \(a\) byłby dodatni. Ramiona tej paraboli będą zatem skierone do góry, a całość będzie wyglądać w następujący sposób:


Z rysunku wynika, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(n\in(-2,4)\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
To zdanie jest fałszem. Owszem, mamy dwa miejsca zerowe i są to \(n=-2\) oraz \(n=4\), ale w ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną większą od zera (mówiąc obrazowo - nie ma czegoś takiego jak "minus drugi wyraz"). To oznacza, że jedynie czwarty wyraz tego ciągu przyjmuje wartość równą zero.

\(b_{4}=87\)

W ciągu rekurencyjnym do wyznacznie wartości czwartego wyrazu potrzebujemy znać wartość wyrazu trzeciego. Aby poznać wyraz trzeci, musimy poznać wyraz drugi, no i analogicznie do wyznaczenia wartości drugiego wyrazu potrzebujemy znać wartość wyrazu pierwszego. Pierwszy wyraz jest podany i jest to \(b_{1}=3\), zatem podstawiając teraz tę wartość pod \(b_{n}\), otrzymamy:
$$b_{2}=4\cdot3-5=12-5=7$$

Teraz podstawiając pod \(b_{n}\) obliczoną siódemkę, otrzymamy:
$$b_{3}=4\cdot7-5=28-5=23$$

No i na koniec obliczamy czwarty wyraz, podstawiając pod \(b_{n}\) wartość \(23\):
$$b_{4}=4\cdot23-5=92-5=87$$

B. 1,

Ten ciąg może być zarówno arytmetyczny jak i geometryczny. Wszystko zależy od tego jakie jest \(m\). Jeżeli miałby to być ciąg arytmetyczny, to byłby to ciąg w którym \(r=-20\) (bo drugi wyraz jest o \(20\) mniejszy od pierwszego), więc trzeci wyraz musiałby być równy \(a_{3}=4-20=-16\). Ten ciąg będzie więc arytmetyczny dla \(m\) równego:
$$2m-4=-16 \\
2m=-12 \\
m=-6$$

Takiej odpowiedzi nie mamy wśród proponowanych, więc rozważmy ciąg geometryczny. Widzimy, że skoro drugi wyraz jest \(6\) razy mniejszy od pierwszego, to byłby to ciąg w którym \(q=\frac{1}{6}\). Tym samym trzeci wyraz musiałby być równy \(a_{3}=4\cdot\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\). Tak się stanie dla \(m\) równego:
$$2m-4=\frac{2}{3} \\
2m=4\frac{2}{3} \\
2m=\frac{14}{3} \\
m=\frac{7}{3}$$

To oznacza, że poprawnym rozwiązaniem tego zadania będzie informacja, że to będzie ciąg geometryczny dla \(m=\frac{7}{3}\).

\(a_{1}=23\)

W tym zadaniu wykorzystamy wzór na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{4}=\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot4$$

Podstawiając znane dane z treści zadania, otrzymamy:
$$68=\frac{a_{1}+11}{2}\cdot4 \\
17=\frac{a_{1}+11}{2} \\
34=a_{1}+11 \\
a_{1}=23$$

A

Aby dodać do siebie dwa ułamki zwykłe, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu trzeba byłoby licznik i mianownik pierwszego ułamka pomnożyć przez wartość mianownika z ułamka drugiego, no i analogicznie licznik i mianownik ułamka drugiego trzeba przemnożyć przez mianownik ułamka pierwszego. W praktyce będzie to wyglądać w następujący sposób:
$$\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}+\frac{1+cos\alpha}{sin\alpha}= \\
=\frac{sin\alpha\cdot sin\alpha}{(1+cos\alpha)\cdot sin\alpha}+\frac{(1+cos\alpha)\cdot(1+cos\alpha)}{sin\alpha\cdot(1+cos\alpha)}= \\
=\frac{sin^2\alpha}{sin\alpha+sin\alpha\cdot cos\alpha}+\frac{1+2cos\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha+sin\alpha\cdot cos\alpha}= \\
=\frac{sin^2\alpha+1+2cos\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha+sin\alpha\cdot cos\alpha}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) i taką sytuację mamy właśnie w liczniku naszego ułamka. Zamieniając więc \(sin^2\alpha+cos^2\alpha\) na jedynkę i kontynuując nasz zapis, dojdziemy do następującej postaci:
$$\frac{2+2cos\alpha}{sin\alpha+sin\alpha\cdot cos\alpha}= \\
=\frac{2\cdot(1+cos\alpha)}{sin\alpha\cdot(1+cos\alpha)}=\frac{2}{sin\alpha}$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
W zadaniu wykorzystamy własności trójkątów o kątach \(45°, 45°, 90°\). W takich trójkątach jeśli przyprostokątne mają długość \(a\), to przeciwprostokątne mają długość \(a\sqrt{2}\). W naszym przypadku przeciwprostokątna ma długość \(\sqrt{6}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=\sqrt{6} \\
a=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \\
a=\sqrt{3}$$

Udowodniono korzystając z podobieństwa trójkątów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Zapisanie zależności między długościami boków.
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Jest to trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\), a z własności takich trójkątów wynika, że przeciwprostokątna \(AB\) będzie dwa razy dłuższa od przyprostokątnej \(AC\), zatem:
$$|AB|=2\cdot|AC|$$

Teraz spójrzmy na trójkąt \(ADC\), który także jest trójkątem o kątach \(30°, 60°, 90°\). Tutaj moglibyśmy zauważyć, że zgodnie z własnościami takich trójkątów odcinek \(AC\) będzie dwa razy dłuższy od odcinka \(AD\), zatem:
$$|AC|=2\cdot|AD|$$

Teraz łącząc ze sobą te dwie informacje, możemy zapisać, że:
$$|AB|=2\cdot2\cdot|AD| \\
|AB|=4|AD| \\
|AD|=\frac{1}{4}|AB|$$

Wyszło nam więc, że odcinek \(AD\) stanowi \(\frac{1}{4}\) odcinka \(AB\), czyli tym samym odcinek \(DB\) będzie miał długość:
$$|DB|=\frac{3}{4}|AB|$$

Krok 3. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Trójkąty \(ABC\) oraz \(DBE\) są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Przed chwilą ustaliliśmy sobie, że odcinek \(DB\) stanowi \(\frac{3}{4}\) odcinka \(AB\), więc możemy stwierdzić, że skala podobieństwa tych trójkątów jest równa \(k=\frac{3}{4}\).

Bok \(DE\) jest bokiem odpowiadającym bokowi \(AC\), więc zgodnie z własnościami trójkątów podobnych moglibyśmy zapisać, że \(|DE|=\frac{3}{4}|AC|\), co należało właśnie udowodnić.

\(P=(11,-1)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać w następujący sposób:


Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) możemy bez problemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te punkty. Najprościejędzie skorzystać z metody układu równań - w tym celu do równania \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne punktu \(A\), potem \(B\), a następnie rozwiązać powstały układ równań:
\begin{cases}
3=-a+b \\
1=5a+b
\end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$2=-6a \\
a=-\frac{1}{3}$$

Znając wartość współczynnika \(a\), możemy podstawić ją teraz do wybranego równania (np. pierwszego) i obliczyć wartość współczynnika \(b\):
$$3=-\left(-\frac{1}{3}\right)+b \\
3=\frac{1}{3}+b \\
b=2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$$

Tym samym prosta \(AB\) będzie wyrażać się równaniem \(y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(k\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Z treści zadania wynika, że prosta \(k\) jest równoległa do prostej \(BD\), która to prosta ma współczynnik \(a=-\frac{3}{2}\). Tym samym możemy stwierdzić, że prostą \(k\) można opisać równaniem \(y=-\frac{3}{2}x+b\). Brakujący współczynnik \(b\) obliczymy podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(C\) przez który ta prosta przechodzi, zatem:
$$5=-\frac{3}{2}\cdot7+b \\
5=-10\frac{1}{2}+b \\
b=15\frac{1}{2}=\frac{31}{2}$$

Tym samym prosta \(k\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{31}{2}\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\).
Nasz poszukiwany punkt \(P\) będzie miejscem przecięcia się prostych \(AB\) oraz \(k\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że aby poznać współrzędne takiego miejsca przecięcia się prostych, wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3} \\
y=-\frac{3}{2}x+\frac{31}{2}
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, możemy zapisać, że:
$$-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}=-\frac{3}{2}x+\frac{31}{2} \quad\bigg/\cdot6 \\
-2x+16=-9x+93 \\
7x=77 \\
x=11$$

Znamy już współrzędną \(x\), zatem aby poznać współrzędną \(y\) wystarczy podstawić obliczone \(x=11\) do jednego z równań z układu (np. pierwszego), otrzymując:
$$y=-\frac{1}{3}\cdot11+\frac{8}{3} \\
y=-\frac{11}{3}+\frac{8}{3} \\
y=-1$$

Tym samym \(P=(11,-1)\).

A

Krok 1. Wyznaczenie długości promienia okręgu.
Aby okrąg o środku w punkcie \(S=(3,-4)\) miał jeden punkt wspólny z osią \(Ox\), to sytuacja musiałaby wyglądać następująco:


To oznacza, że \(r=4\).

Krok 2. Zapisanie równania okręgu.
Równanie okręgu zapisujemy jako \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu, natomiast \(r\) to promień tego okręgu. Podstawiając znane nam informacje, otrzymamy:
$$(x-3)^2+(y-(-4))^2=4^2 \\
(x-3)^2+(y+4)^2=16$$

B

Zaznaczone na niebiesko odległości między wierzechołkami prostopadłościanu tak naprawdę niczego do zadania nie wnoszą. W treści zadania mamy podane wszystkie długości krawędzi prostopadłościanu, więc bez problemu możemy obliczyć pole powierzchni bocznej, które składa się z dwóch prostokątów o wymiarach \(\sqrt{11}\times\sqrt{15}\) oraz dwóch o wymiarach \(\sqrt{13}\times\sqrt{15}\), zatem:
$$P_{b}=2\cdot\sqrt{11}\cdot\sqrt{15}+2\cdot\sqrt{13}\cdot\sqrt{15}$$

Musimy teraz dobrze uprościć ten zapis i jednocześnie dopasować się do proponowanych odpowiedzi. Wyłączając wspólny czynnik \(2\sqrt{15}\) przed nawias, otrzymamy:
$$P_{b}=2\sqrt{15}(\sqrt{11}+\sqrt{13})$$

D

Jeśli ostrosłup ma w podstawie \(n\)-kąt to będzie miał on \(2n\) krawędzi. Skoro liczba krawędzi jest równa \(54\), to:
$$2n=54 \\
n=27$$

To oznacza, że w podstawie mamy \(27\)-kąt.

Ostrosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(n+1\) wierzchołków. Wiemy już, że w naszym przypadku \(n=27\), zatem liczba wierzchołków będzie równa \(27+1=28\).

\(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{8}{27}\)

Krok 1. Obliczenie wysokości walca \(W_{1}\).
Walec \(W_{1}\) w swojej podstawie ma koło o promieniu \(r=6\), a jego objętość jest równa \(288\pi\). Korzystając ze wzoru na objętość walca, moglibyśmy więc zapisać, że:
$$V=\pi r^2\cdot H \\
288\pi=\pi 6^2\cdot H \\
288=36H \\
H=8$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej walca \(W_{1}\).
Pole powierzchni bocznej naszego walca będzie równe:
$$P_{b}=2\pi rH \\
P_{b}=2\pi\cdot6\cdot8 \\
P_{b}=96\pi$$

Krok 3. Obliczenie skali podobieństwa.
Z treści zadania wynika, że walec \(W_{2}\) jest podobny do walca \(W_{1}\) i jego pole powierzchni bocznej jest równe \(216\pi\). Z własności podobieństwa wynika więc, że:
$$k^2=\frac{216\pi}{96\pi} \\
k^2=\frac{9}{4} \\
k=\frac{3}{2} \quad\lor\quad k=-\frac{3}{2}$$

Skala musi być zawsze dodatnia, więc ujemny wynik odrzucamy. Zostaje nam więc \(k=\frac{3}{2}\).

Krok 4. Obliczenie stosunku objętości walca \(W_{1}\) do objętości walca \(W_{2}\).
Z własności brył podobnych wiemy, że bryła podobna w skali podobieństwa równej \(k\) będzie miała \(k^3\) razy większą objętość. W naszym przypadku oznaczałoby to, że:
$$V_{2}=V_{1}\cdot k^3$$

Moglibyśmy w sumie obliczyć jaka jest objętość tej drugiej bryły (wyjdzie nam \(V_{2}=972\pi\)), ale skoro interesuje nas obliczenie stosunku objętości \(\frac{V_{1}}{V_{2}}\) to od razu moglibyśmy przekształcić to nasze równanie i zapisać, że:
$$V_{2}=V_{1}\cdot k^3 \\
\frac{V_{2}}{k^3}=V_{1} \\
\frac{1}{k^3}=\frac{V_{1}}{V_{2}} \\
\frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^3}=\frac{V_{1}}{V_{2}} \\
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{1}{\frac{27}{8}} \\
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{8}{27}$$

B

Prawdę mówiąc, zadanie jest dość nieprecyzyjne. Wypiszmy sobie może najpierw wszystkie naturalne dzielniki liczby \(16\).
$$D_{16}=\{1, 2, 4, 8, 16\}$$

Teraz z tych liczb mamy utworzyć kod i jest informacja, że każda z cyfr występuje dokładnie jeden raz. Skoro jest mowa o cyfrach, to należałoby chyba zrozumieć, że liczba \(16\) to cyfry \(1\) oraz \(6\), a skoro cyfry nie mogą się powtarzać (a jedynka by się już powtarzała), to należałoby zbudować kod z cyfr: \(1, 2, 4, 6, 8\). Ale tu od razu zdradzę, że analizując to w ten sposób, nie będzie nam pasować jakakolwiek odpowiedź.

Żeby dojść do poprawnej odpowiedzi trzeba liczbę \(16\) po prostu odrzucić, co jest dość kontrowersyjne w tym zadaniu. Musimy więc zbudować kod z cyfr:
$$1, 2, 4, 8$$

Każdej cyfry musimy użyć dokładnie jeden raz, a pierwsza cyfra musi być większa od trójki, zatem moglibyśmy rozpisać to w następujący sposób:
· Na pierwszym miejscu naszego kodu może znaleźć się jedna z dwóch cyfr: \(4\) lub \(8\), zatem mamy \(2\) możliwości.
· Na drugim miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, oprócz tej jednej, którą zapisaliśmy na pierwszym miejscu, zatem mamy \(3\) możliwości.
· Na trzecim miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, oprócz tych dwóch, które zapisaliśmy wcześniej, zatem mamy \(2\) możliwości.
· Na czwartym miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, oprócz tych trzech, które zapisaliśmy wcześniej, zatem mamy \(1\) możliwość.

Zatem zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas kodów będziemy mieć:
$$2\cdot3\cdot2\cdot1=12$$

A

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Chcąc obliczyć średnią arytmetyczną musimy po kolei powymnażać oceny przez liczbę uczniów, zsumować te iloczyny w liczniku, a w mianowniku musimy dać liczbę wszystkich uczniów, zatem:
$$śr=\frac{1\cdot0+2\cdot4+3\cdot9+4\cdot13+5\cdot3+6\cdot1}{0+4+9+13+3+1} \\
śr=\frac{0+8+27+52+15+6}{30} \\
śr=\frac{108}{30} \\
śr=3,6$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Mamy \(30\) uczniów, czyli jest to parzysta liczba. W związku z tym mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów, czyli w tym przypadku wyrazy \(15\)-tego i \(16\)-tego. Musimy więc ułożyć otrzymane oceny w porządku niemalejącym i sprawdzić, które to oceny są na miejscach numer \(15\) i \(16\). Generalnie nasz zestaw wyglądałby następująco:
$$2,2,2,2,3,3,....$$

Nie będziemy wypisać wszystkich liczb, tylko przeanalizujemy sobie całą tę sytuację. Widzimy, że \(13\) uczniów otrzymało jedynkę, dwójkę lub trójkę. Potem od czternastego ucznia mamy czwórkowych uczniów, no i właśnie ten \(15\)-sty oraz \(16\)-sty uczeń mają czwórki. Tym samym mediana będzie równa:
$$m=\frac{4+4}{2} \\
m=4$$

\(P(A)=\frac{1}{3}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W naszym zbiorze mamy \(7\) liczb. Spośród tych liczb losujemy dwie liczby bez zwracania, zatem zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy równa \(|Ω|=7\cdot6=42\)

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie pary liczb, których suma będzie liczbą podzielną przez \(3\). Wypiszmy te interesujące nas pary:
$$(11, 13); (11, 16); \\
(12, 15); \\
(13, 11); (13, 14); (13, 17); \\
(14, 13); (14, 16); \\
(15, 12); \\
(16, 11); (16, 14); \\
(16, 17); \\
(17, 13); (17, 16)$$

Mamy \(14\) takich par, zatem \(|A|=14\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{14}{42}=\frac{1}{3}$$

Najmniejsza wartość jest przyjmowana dla \(x=\frac{2}{3}\) oraz \(y=-7\frac{1}{3}\) i jest ona równa \(-14\frac{1}{3}\).

Krok 1. Zapisanie równań.
Skoro różnica naszych liczb \(x\) i \(y\) ma być równa \(8\), to możemy zapisać pierwsze równanie, które od razu możemy przekształcić:
$$x-y=8$$

Wiemy też, że wyrażenie \(W\) da się opisać jako:
$$W(x)=2y+3\cdot(x-1)^2$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji kwadratowej.
Z pierwszego równania wynika, że \(y=x-8\). Podstawiając teraz to do naszego zapisanego wyrażenia \(W(x)=2y+3\cdot(x-1)^2\), otrzymamy następującą sytuację:
$$W(x)=2\cdot(x-8)+3\cdot(x-1)^2 \\
W(x)=2x-16+3\cdot(x^2-2x+1) \\
W(x)=2x-16+3x^2-6x+3 \\
W(x)=3x^2-4x-13$$

Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(W\)).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a=3\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to wyrażenie będzie najmniejsze, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do góry osiągnie swoją najmniejszą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej wartości \(x\) ta najmniejsza wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-(-4)}{2\cdot3} \\
x_{W}=\frac{4}{6} \\
x_{W}=\frac{2}{3}$$

Proszą nas też o podanie wartości \(y\), zatem skoro \(y=x-8\), to:
$$y=\frac{2}{3}-8 \\
y=-7\frac{1}{3}$$

No i na koniec musimy jeszcze obliczyć jaka jest ta najmniejsza wartość. Moglibyśmy obliczyć drugą współrzędną wierzchołka paraboli, ale do tego będzie potrzebna delta i ogólnie obliczenia będą nieco dłuższe. Wystarczy podstawić \(x=\frac{2}{3}\) do naszego wyrażenia i tym samym obliczymy najmniejszą wartość tego wyrażenia, zatem:
$$W\left(\frac{2}{3}\right)=3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2-4\cdot\frac{2}{3}-13 \\
W\left(\frac{2}{3}\right)=3\cdot\frac{4}{9}-\frac{8}{3}-13 \\
W\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}-13 \\
W\left(\frac{2}{3}\right)=-14\frac{1}{3}$$