Matura próbna – Matematyka – Marzec 2026

Krok 1. Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia.
Skorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), traktując \(2501^4\) jako \((2501^2)^2\) oraz \(2499^4\) jako \((2499^2)^2\):
$$2501^{4}-2499^{4}=(2501^{2})^{2}-(2499^{2})^{2}=(2501^{2}-2499^{2})(2501^{2}+2499^{2})$$

Do pierwszego czynnika ponownie stosujemy wzór na różnicę kwadratów, zatem:
$$2501^{2}-2499^{2}=(2501-2499)(2501+2499)=2\cdot5000=10000$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Możemy teraz zapisać, że:
$$2501^{4}-2499^{4}=10000\cdot(2501^{2}+2499^{2})$$

Czynnik \(2501^{2}+2499^{2}\) jest liczbą naturalną, a cała liczba \(2501^{4}-2499^{4}\) jest iloczynem liczby \(10000\) i pewnej liczby naturalnej. Oznacza to, że liczba \(2501^{4}-2499^{4}\) jest podzielna przez \(10000\), co kończy dowód.

Krok 1. Przekształcenie nierówności do postaci ogólnej.
Wymnażamy lewą stronę nierówności i przenosimy wszystko na jedną stronę:
$$(x-3)(x+5)\gt9 \\
x^{2}+5x-3x-15\gt9 \\
x^{2}+2x-15\gt9 \\
x^{2}+2x-24\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-24\)
$$Δ=b^2-4ac=2^{2}-4\cdot1\cdot(-24)=4+96=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-10}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+10}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-6\) oraz \(x=4\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty,-6)\cup(4,+\infty)$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wyglądać będzie mniej więcej w ten sposób:


Widzimy więc, że aby poznać pole trójkąta, musimy najpierw wyznaczyć miejsca zerowe funkcji (pozwoli to na poznanie długości podstawy), a następnie musimy poznać jeszcze współrzędne wierzchołka paraboli (co pozwoli nam wyznaczyć wysokość trójkąta).

Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Aby wyznaczyć punkty przecięcia paraboli z osią \(Ox\), musimy sprawdzić kiedy \(-16x^2+40x+11\) przyjmuje wartość równą \(0\), czyli musimy po prostu rozwiązać równanie kwadratowe \(-16x^2+40x+11=0\). Jest to równanie zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:

Współczynniki: \(a=-16,\;b=40,\;c=11\)
$$Δ=b^2-4ac=40^2-4\cdot(-16)\cdot11=1600-(-704)=2304 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{2304}=48$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-40-48}{2\cdot(-16)}=\frac{-88}{-32}=\frac{11}{4} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-40+48}{2\cdot(-16)}=\frac{8}{-32}=-\frac{1}{4}$$

Zatem punkty przecięcia z osią \(Ox\) to \(A=\left(-\frac{1}{4},0\right)\) oraz \(B=\left(\frac{11}{4},0\right)\).

Krok 2. Obliczenie długości podstawy trójkąta \(ABC\).
Podstawą trójkąta \(ABC\) jest odcinek \(AB\), którego długość obliczymy jako różnicę:
$$|AB|=\frac{11}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right) \\
|AB|=\frac{11}{4}+\frac{1}{4} \\
|AB|=\frac{12}{4} \\
|AB|=3$$

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli i wysokości trójkąta.
Korzystając ze wzorów \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-\Delta}{4a}\), możemy bez problemu obliczyć współrzędne wierzchołka. Nas tak naprawdę interesuje tylko druga współrzędna, bo chcemy się dowiedzieć jak wysoko nad osią \(Ox\) jest ten wierzchołek, zatem:
$$q=\frac{-2304}{4\cdot(-16)} \\
q=\frac{-2304}{-64} \\
q=36$$

Tym samym wysokość naszego trójkąta to \(h=36\).

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Na koniec zostało obliczenie pola trójkąta, zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot3\cdot36 \\
P=54$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{5}\).
Podstawiamy \(n=5\) do wzoru ciągu:
$$a_{5}=\frac{3\cdot5+9}{5+1} \\
a_{5}=\frac{15+9}{6} \\
a_{5}=\frac{24}{6} \\
a_{5}=4$$

Krok 2. Zapisanie warunku na ciąg arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg \((4,\;2x^2,\;3x^2+5)\) jest arytmetyczny wtedy, gdy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. To oznacza, że:
$$2x^2-4=3x^2+5-2x^2$$

Krok 3. Rozwiązanie równania.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Zaczynając od porządkowania wyrazów, otrzymamy taką sytuację:
$$2x^2-4=3x^2+5-2x^2 \\
2x^2-4=x^{2}+5 \\
2x^2-x^{2}=5+4 \\
x^2=9 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Sprawdźmy oba rozwiązania, weryfikując czy otrzymamy ciąg arytmetyczny:

Dla \(x=3\):
Pierwszy wyraz: \(4\)
Drugi wyraz: \(2\cdot3^{2}=18\)
Trzeci wyraz: \(3\cdot3^{2}+5=32\)

Ciąg \((4,18,32)\) ma stałą różnicę \(r=14\), więc jest arytmetyczny.

Dla \(x=-3\):
Pierwszy wyraz: \(4\)
Drugi wyraz: \(2\cdot(-3)^{2}=18\)
Trzeci wyraz: \(3\cdot(-3)^{2}+5=32\)

Ciąg \((4,18,32)\) ma stałą różnicę \(r=14\), więc również jest arytmetyczny.

Ten ciąg jest zatem arytmetyczny dla \(x=3\) oraz \(x=-3\).

Krok 1. Przekształcenie wyrażenia.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\). Podstawiamy to teraz do naszego wyrażenia:
$$\frac{3sin\alpha}{tg\alpha}=\frac{3sin\alpha}{\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}=3sin\alpha\cdot\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=3cos\alpha$$

Zatem musimy obliczyć wartość \(3cos\alpha\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(cos\alpha\).
Korzystając z jedynki trygonometrycznej \(sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1\), możemy zapisać, że:
$$cos^{2}\alpha=1-sin^{2}\alpha \\
cos^{2}\alpha=1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} \\
cos^{2}\alpha=1-\frac{1}{3} \\
cos^{2}\alpha=\frac{2}{3} \\
cos\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}} \quad\lor\quad cos\alpha=-\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Z treści zadania wynika, że kąt \(\alpha\) jest rozwarty, zatem cosinus tego kąta jest ujemny. Dodatnie rozwiązanie zatem odrzucamy. Podstawiając teraz \(cos\alpha=-\sqrt{\frac{2}{3}}\), otrzymamy:
$$cos\alpha=-\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia.
Ustaliliśmy już, że nasze wyrażenie jest równe \(3cos\alpha\), zatem będzie ono równe:
$$3\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)=-\sqrt{6}$$

Krok 1. Wykorzystanie własności kątów w trapezie.
Z treści zadania wiemy, że przekątna \(AC\) to dwusieczna kąta \(DAB\). Oznaczmy połowę tego kąta jako \(\alpha\), wtedy \(\angle DAC=\angle CAB=\alpha\), a cały kąt \(\angle DAB=2\alpha\). Ponieważ podstawy trapezu \(AB\) i \(CD\) są równoległe, kąty naprzemianległe \(\angle DCA\) i \(\angle CAB\) mają równe miary, więc \(\angle DCA=\alpha\).



Krok 2. Dostrzeżenie trójkąta równoramiennego.
Rozpatrzmy trójkąt \(ACD\). Z naszych ustaleń wynika, że \(|\sphericalangle DAC|=\alpha\) oraz \(|\sphericalangle DCA|=\alpha\). Trójkąt ten jest więc równoramienny, zatem ramiona \(AD\) i \(CD\) są sobie równe.

Krok 3. Poprowadzenie wysokości i zastosowanie trygonometrii.
Niech długość krótszej podstawy wynosi \(|CD|=a\), wtedy ramię trapezu \(|AD|=a\) oraz dłuższa podstawa \(|AB|=2a\) (co wynika wprost z treści zadania). Prowadząc wysokości z punktów \(C\) i \(D\) na podstawę \(AB\), utworzył nam się na środku odcinek o długości \(a\). Ponieważ trapez jest równoramienny, pozostała część podstawy układa się na dwa równe odcinki przy kątach ostrych. Odcinek przy kącie \(DAB\) ma więc długość \(\frac{2a-a}{2}=\frac{a}{2}\).

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(DAB\).
Powstał nam mały trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątną przy kącie \(DAB\) jest obliczony odcinek \(\frac{a}{2}\), a przeciwprostokątną jest ramię trapezu o długości \(a\). Skorzystajmy zatem z funkcji trygonometrycznych (a dokładniej to z cosinusa), aby obliczyć miarę tego kąta:
$$cos=\frac{\frac{a}{2}}{a} \\
cos=\frac{1}{2}$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że cosinus przyjmuje wartość \(\frac{1}{2}\) dla kąta ostrego o mierze \(60°\), co należało udowodnić.

Krok 1. Obliczenie współrzędnych środka okręgu opisanego na kwadracie \(ABCD\).
Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się dokładnie w połowie jego przekątnej. Korzystając ze wzoru na środek odcinka, obliczmy współrzędne środka \(S\):
$$S=(\frac{x_{A}+x_{C}}{2},\frac{y_{A}+y_{C}}{2}) \\
S=\left(\frac{-3+5}{2},\frac{0+6}{2}\right) \\
S=\left(\frac{2}{2},\frac{6}{2}\right) \\
S=(1,3)$$

Krok 2. Obliczenie promienia okręgu opisanego na kwadracie \(ABCD\).
Promień tego okręgu to połowa długości przekątnej \(AC\). Obliczamy najpierw długość odcinka \(AC\):
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}} \\
|AC|=\sqrt{(5-(-3))^{2}+(6-0)^{2}} \\
|AC|=\sqrt{8^{2}+6^{2}} \\
|AC|=\sqrt{64+36} \\
|AC|=\sqrt{100} \\
|AC|=10$$

Skoro średnica wynosi \(10\), to promień jest równy \(r=5\).

Krok 3. Wyznaczenie środka i równania nowego okręgu.
Kwadrat \(A'B'C'D'\) jest odbiciem symetrycznym względem osi \(Oy\). W takiej symetrii zmienia się znak pierwszej współrzędnej punktu na przeciwny, więc nowy środek okręgu to \(S'=(-1,3)\). Promień okręgu się nie zmienia i nadal wynosi \(r=5\). Mamy zatem już wszystkie potrzebne dane do zapisania równania okręgu, który jest opisany na nowym kwadracie:
$$(x-x_{S'})^{2}+(y-y_{S'})^{2}=r^{2} \\
(x-(-1))^{2}+(y-3)^{2}=5^{2} \\
(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=25$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, to w jego podstawie znajduje się po prostu kwadrat. Sytuacja z treści zadania wygląda następująco:


Krok 2. Wyznaczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który utworzył nam się na rysunku. Jest to klasyczny trójkąt prostokątny o kątach \(30°, 60°, 90°\). Zgodnie z własnościami takiego trójkąta, krótsza przyprostokątna (w tym przypadku wysokość ostrosłupa) ma długość \(a\), z kolei dłuższa przyprostokątna (która ma u nas długość \(6\)) będzie bokiem który ma długość \(a\sqrt{3}\). Możemy więc zapisać, że:
$$a\sqrt{3}=6 \\
a=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$

Tym samym \(H=2\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie objętości ostrosłupa.
W podstawie mamy kwadrat o boku \(12\), z kolei wysokość naszej bryły to \(H=2\sqrt{3}\), zatem korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa, otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12\cdot12\cdot2\sqrt{3} \\
V=\frac{288\sqrt{3}}{3} \\
V=96\sqrt{3}$$