Matura próbna – Matematyka – Marzec 2026 – Odpowiedzi

D

Skoro w wyniku dzielenia liczby \(x\) przez liczbę \(y\) otrzymano iloraz \(20\) i resztę \(26\), to całość możemy zapisać w następujący sposób:
$$x=20y+26$$

Teraz dzielimy obie strony równania przez \(y\), aby uzyskać wartość \(\frac{x}{y}\), zatem:
$$\frac{x}{y}=\frac{20y+26}{y} \\
\frac{x}{y}=\frac{20y}{y}+\frac{26}{y} \\
\frac{x}{y}=20+\frac{26}{y}$$

B

W zadaniu skorzystamy z własności pierwiastków, zgodnie z którą iloczyn pierwiastków o tym samym stopniu możemy zapisać jako pierwiastek z iloczynu. Dla lepszego zobrazowania tej sytuacji, uprośćmy osobno licznik i mianownik tego ułamka.

Licznik:
$$\sqrt[3]{50}\cdot\sqrt[3]{-15}=\sqrt[3]{50\cdot(-15)}=\sqrt[3]{-750}$$

Mianownik:
$$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{2\cdot3}=\sqrt[3]{6}$$

Teraz dzielimy licznik przez mianownik, korzystając z własności pierwiastków:
$$\frac{\sqrt[3]{-750}}{\sqrt[3]{6}}=\sqrt[3]{\frac{-750}{6}}=\sqrt[3]{-125}$$

Na koniec musimy już tylko obliczyć wartość tego pierwiastka. Wiedząc, że \((-5)^3=-125\), otrzymamy:
$$\sqrt[3]{-125}=-5$$

B

Aby obliczyć wartość tego wyrażenia, musimy sprowadzić wszystkie liczby do tej samej podstawy. Wiemy, że \(9=3^2\) oraz \(27=3^3\), zatem:
$$\frac{3^{10}\cdot9^{20}}{27^{15}}=\frac{3^{10}\cdot(3^2)^{20}}{(3^3)^{15}}$$

Korzystając teraz z własności potęg, zgodnie z którą \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\), otrzymamy:
$$\frac{3^{10}\cdot3^{40}}{3^{45}}$$

Teraz w liczniku korzystamy z własności mnożenia potęg o tej samej podstawie, a następnie dzielenia:
$$\frac{3^{10+40}}{3^{45}}=\frac{3^{50}}{3^{45}}=3^{50-45}=3^{5}$$

A

Z własności potęg wiemy, że \(\sqrt[5]{2}=2^{\frac{1}{5}}\). Tym samym nasz logarytm moglibyśmy rozpisać jako:
$$\log_{8}\sqrt[5]{2}=\log_{8}2^{\frac{1}{5}}$$

Z definicji logarytmów wiemy, że wartość tego logarytmu będzie równa \(x\), wtedy gdy \(8^x\) da nam wynik \(2^{\frac{1}{5}}\). Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$8^x=2^{\frac{1}{5}} \\
(2^3)^x=2^{\frac{1}{5}} \\
2^{3x}=2^{\frac{1}{5}}$$

Otrzymaliśmy jednakowe podstawy potęg, zatem porównując teraz wykładniki, otrzymamy:
$$3x=\frac{1}{5} \\
x=\frac{1}{15}$$

Udowodniono, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Krok 1. Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia.
Skorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), traktując \(2501^4\) jako \((2501^2)^2\) oraz \(2499^4\) jako \((2499^2)^2\):
$$2501^{4}-2499^{4}=(2501^{2})^{2}-(2499^{2})^{2}=(2501^{2}-2499^{2})(2501^{2}+2499^{2})$$

Do pierwszego czynnika ponownie stosujemy wzór na różnicę kwadratów, zatem:
$$2501^{2}-2499^{2}=(2501-2499)(2501+2499)=2\cdot5000=10000$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Możemy teraz zapisać, że:
$$2501^{4}-2499^{4}=10000\cdot(2501^{2}+2499^{2})$$

Czynnik \(2501^{2}+2499^{2}\) jest liczbą naturalną, a cała liczba \(2501^{4}-2499^{4}\) jest iloczynem liczby \(10000\) i pewnej liczby naturalnej. Oznacza to, że liczba \(2501^{4}-2499^{4}\) jest podzielna przez \(10000\), co kończy dowód.

C

Powinniśmy zauważyć, że w liczniku pierwszego ułamka mamy wyrażenie, które możemy rozłożyć korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
$$x^{2}+20x+100=(x+10)^{2}$$

Podstawiając to teraz do naszego wyrażenia i upraszczając zapis, otrzymamy:
$$\frac{(x+10)^{2}}{x^{3}}\cdot\frac{x^{2}}{x+10}=\frac{(x+10)^{2}\cdot x^{2}}{x^{3}\cdot(x+10)}$$

Możemy skrócić teraz \(x^{2}\) z \(x^{3}\) (bo \(x\neq0\)) oraz \((x+10)\) z \((x+10)^{2}\) (bo \(x\neq-10\)), zatem:
$$\frac{(x+10)^{2}\cdot x^{2}}{x^{3}\cdot(x+10)}=\frac{x+10}{x}$$

C

Iloczyn kilku czynników jest równy zero wtedy, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy zero. W związku z tym:
$$2x=0 \quad\lor\quad x^2-3=0 \quad\lor\quad x^2+2x+3=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2=3 \quad\lor\quad x^2+2x+3=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=\sqrt{3} \quad\lor\quad x=-\sqrt{3} \quad\lor\quad \text{brak rozw.}$$

Równanie \(x^2+2x+3=0\) nie ma rozwiązań, ponieważ tutaj delta jest ujemna:
$$\Delta=2^{2}-4\cdot1\cdot3=4-12=-8$$

To oznacza, że mamy tylko trzy rozwiązania naszego równania i są nimi \(0, \sqrt{3}\) oraz \(-\sqrt{3}\).

\(x\in(-\infty,-6)\cup(4,+\infty)\)

Krok 1. Przekształcenie nierówności do postaci ogólnej.
Wymnażamy lewą stronę nierówności i przenosimy wszystko na jedną stronę:
$$(x-3)(x+5)\gt9 \\
x^{2}+5x-3x-15\gt9 \\
x^{2}+2x-15\gt9 \\
x^{2}+2x-24\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-24\)
$$Δ=b^2-4ac=2^{2}-4\cdot1\cdot(-24)=4+96=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-10}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+10}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-6\) oraz \(x=4\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty,-6)\cup(4,+\infty)$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Rozwiązanie układu równań.
Ten układ równań możemy rozwiązać na różne sposoby, ale najlepiej byłoby chyba zacząć od wymnożenia pierwszego równania przez \(20\), a drugiego przez \(26\), otrzymując:
$$\begin{cases}x+y=\frac{1}{20}\\
x-y=\frac{1}{26}\end{cases}$$

Dodając teraz obydwa równania stronami, otrzymamy:
$$2x=\frac{1}{20}+\frac{1}{26} \\
2x=\frac{26}{520}+\frac{20}{520} \\
2x=\frac{46}{520} \\
x=\frac{23}{520}$$

Znając wartość \(x\), możemy przystąpić do wyznaczenia wartości \(y\). W tym celu podstawiamy \(x=\frac{23}{520}\) do np. pierwszego równania, zatem:
$$20\cdot\frac{23}{520}+20y=1 \\
\frac{23}{26}+20y=1 \\
20y=\frac{3}{26} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{20} \\
y=\frac{3}{520}$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Obydwie liczby są dodatnie, więc suma tych liczb też będzie dodatnia. Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Obydwie liczby są dodatnie, więc iloczyn tych liczb też będzie dodatni. Zdanie jest więc prawdą.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny. Współczynnikiem kierunkowym naszej funkcji jest wyrażenie \(k+2\). Ta funkcja będzie więc malejąca, gdy:
$$k+2\lt0 \\
k\lt-2$$

Funkcja jest więc malejąca dla \(k\in(-\infty,-2)\), a nie dla \(k\in(-\infty,2)\). Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Podstawiając \(k=4\) do wzoru funkcji, otrzymamy:
$$f(x)=(4+2)x+(4-3) \\
f(x)=6x+1$$

Teraz sprawdźmy jaką wartość osiągnie nasza funkcja dla argumentu \(x=0\):
$$f(0)=6\cdot0+1 \\
f(0)=1$$

Wyszło nam, że rzeczywiście \(f(0)=1\), co oznacza, że wykres funkcji przechodzi przez punkt \((0,1)\). Zdanie jest więc prawdą.

\(P=54\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wyglądać będzie mniej więcej w ten sposób:


Widzimy więc, że aby poznać pole trójkąta, musimy najpierw wyznaczyć miejsca zerowe funkcji (pozwoli to na poznanie długości podstawy), a następnie musimy poznać jeszcze współrzędne wierzchołka paraboli (co pozwoli nam wyznaczyć wysokość trójkąta).

Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Aby wyznaczyć punkty przecięcia paraboli z osią \(Ox\), musimy sprawdzić kiedy \(-16x^2+40x+11\) przyjmuje wartość równą \(0\), czyli musimy po prostu rozwiązać równanie kwadratowe \(-16x^2+40x+11=0\). Jest to równanie zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:

Współczynniki: \(a=-16,\;b=40,\;c=11\)
$$Δ=b^2-4ac=40^2-4\cdot(-16)\cdot11=1600-(-704)=2304 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{2304}=48$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-40-48}{2\cdot(-16)}=\frac{-88}{-32}=\frac{11}{4} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-40+48}{2\cdot(-16)}=\frac{8}{-32}=-\frac{1}{4}$$

Zatem punkty przecięcia z osią \(Ox\) to \(A=\left(-\frac{1}{4},0\right)\) oraz \(B=\left(\frac{11}{4},0\right)\).

Krok 2. Obliczenie długości podstawy trójkąta \(ABC\).
Podstawą trójkąta \(ABC\) jest odcinek \(AB\), którego długość obliczymy jako różnicę:
$$|AB|=\frac{11}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right) \\
|AB|=\frac{11}{4}+\frac{1}{4} \\
|AB|=\frac{12}{4} \\
|AB|=3$$

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli i wysokości trójkąta.
Korzystając ze wzorów \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-\Delta}{4a}\), możemy bez problemu obliczyć współrzędne wierzchołka. Nas tak naprawdę interesuje tylko druga współrzędna, bo chcemy się dowiedzieć jak wysoko nad osią \(Ox\) jest ten wierzchołek, zatem:
$$q=\frac{-2304}{4\cdot(-16)} \\
q=\frac{-2304}{-64} \\
q=36$$

Tym samym wysokość naszego trójkąta to \(h=36\).

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Na koniec zostało obliczenie pola trójkąta, zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot3\cdot36 \\
P=54$$

B

Skoro wielkości \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne, to ich iloczyn jest stały. Mówiąc bardziej obrazowo, iloczyn \(18\cdot9\) da nam ten sam wynik co iloczyn \(24\cdot a\). Skoro tak, to moglibyśmy zapisać, że:
$$18\cdot9=24\cdot a \\
162=24a \\
a=\frac{162}{24} \\
a=6,75$$

\(x=3 \quad\lor\quad x=-3\)

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{5}\).
Podstawiamy \(n=5\) do wzoru ciągu:
$$a_{5}=\frac{3\cdot5+9}{5+1} \\
a_{5}=\frac{15+9}{6} \\
a_{5}=\frac{24}{6} \\
a_{5}=4$$

Krok 2. Zapisanie warunku na ciąg arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg \((4,\;2x^2,\;3x^2+5)\) jest arytmetyczny wtedy, gdy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. To oznacza, że:
$$2x^2-4=3x^2+5-2x^2$$

Krok 3. Rozwiązanie równania.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Zaczynając od porządkowania wyrazów, otrzymamy taką sytuację:
$$2x^2-4=3x^2+5-2x^2 \\
2x^2-4=x^{2}+5 \\
2x^2-x^{2}=5+4 \\
x^2=9 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Sprawdźmy oba rozwiązania, weryfikując czy otrzymamy ciąg arytmetyczny:

Dla \(x=3\):
Pierwszy wyraz: \(4\)
Drugi wyraz: \(2\cdot3^{2}=18\)
Trzeci wyraz: \(3\cdot3^{2}+5=32\)

Ciąg \((4,18,32)\) ma stałą różnicę \(r=14\), więc jest arytmetyczny.

Dla \(x=-3\):
Pierwszy wyraz: \(4\)
Drugi wyraz: \(2\cdot(-3)^{2}=18\)
Trzeci wyraz: \(3\cdot(-3)^{2}+5=32\)

Ciąg \((4,18,32)\) ma stałą różnicę \(r=14\), więc również jest arytmetyczny.

Ten ciąg jest zatem arytmetyczny dla \(x=3\) oraz \(x=-3\).

C

Krok 1. Obliczenie wartości setnego wyrazu ciągu.
Ze wzoru podanego w treści zadania widzimy, że mowa jest o ciągu arytmetycznym, w którym \(a_{1}=5\), natomiast różnica to \(r=2\) (bo z zapisu wynika, że każdy kolejny wyraz jest o \(2\) większy od wyrazu poprzedniego). Korzystając teraz ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, możemy podstawić te dane i obliczyć wartość setnego wyrazu:
$$a_{100}=a_{1}+(100-1)\cdot r \\
a_{100}=5+99\cdot2 \\
a_{100}=5+198 \\
a_{100}=203$$

Krok 2. Obliczenie sumy stu początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, otrzymamy:
$$S_{100}=\frac{a_{1}+a_{100}}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{5+203}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{208}{2}\cdot100 \\
S_{100}=104\cdot100 \\
S_{100}=10400$$

A

Krok 1. Wyznaczenie iloczyny ciągu geometrycznego.
W zadaniu skorzystamy z własności ciągu geometrycznego, bowiem powinniśmy dostrzec, że \(a_{8}\) to nic innego jak iloczyn \(a_{6}\cdot q\cdot q\), czyli \(a_{8}=a_{6}\cdot q^2\). Skoro tak, to moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{6}=25\cdot a_{8} \\
a_{6}=25\cdot a_{6}\cdot q^2 \\
1=25\cdot q^2 \\
q^2=\frac{1}{25} \\
q=\frac{1}{5} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{5}$$

Krok 2. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Ciąg jest malejący, co oznacza, że jego iloraz musi być dodatni i mniejszy od \(1\) (gdyby \(q\) był ujemny, to wyrazy ciągu na przemian zmieniałyby znak i ciąg nie byłby malejący). Zatem \(q=\frac{1}{5}\).

\(\frac{3sin\alpha}{tg\alpha}=-\sqrt{6}\)

Krok 1. Przekształcenie wyrażenia.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\). Podstawiamy to teraz do naszego wyrażenia:
$$\frac{3sin\alpha}{tg\alpha}=\frac{3sin\alpha}{\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}=3sin\alpha\cdot\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=3cos\alpha$$

Zatem musimy obliczyć wartość \(3cos\alpha\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(cos\alpha\).
Korzystając z jedynki trygonometrycznej \(sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1\), możemy zapisać, że:
$$cos^{2}\alpha=1-sin^{2}\alpha \\
cos^{2}\alpha=1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} \\
cos^{2}\alpha=1-\frac{1}{3} \\
cos^{2}\alpha=\frac{2}{3} \\
cos\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}} \quad\lor\quad cos\alpha=-\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Z treści zadania wynika, że kąt \(\alpha\) jest rozwarty, zatem cosinus tego kąta jest ujemny. Dodatnie rozwiązanie zatem odrzucamy. Podstawiając teraz \(cos\alpha=-\sqrt{\frac{2}{3}}\), otrzymamy:
$$cos\alpha=-\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia.
Ustaliliśmy już, że nasze wyrażenie jest równe \(3cos\alpha\), zatem będzie ono równe:
$$3\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)=-\sqrt{6}$$

C

Skoro \(BC\) jest przeciwprostokątną, to kąt prosty jest przy wierzchołku \(A\). To oznacza, że boki \(AB\) i \(AC\) są przyprostokątnymi. Cała sytuacja będzie wyglądać następująco:


Tangens kąta \(BCA\) (czyli kąta przy wierzchołku \(C\)) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie, zatem:
$$tg\alpha=\frac{|AB|}{|AC|}$$

Wiedząc, że tangens tego kąta jest równy \(\frac{3}{2}\), a przyprostokątna \(AC\) ma długość \(6\), otrzymamy:
$$\frac{3}{2}=\frac{|AB|}{6} \\
|AB|=6\cdot\frac{3}{2} \\
|AB|=9$$

A

Jest to typowe pytanie z teorii geometrii płaskiej. Przypomnijmy sobie, co przecina się w jakim punkcie:
a) Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.
b) Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie.
c) Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie zwanym środkiem ciężkości.
d) Wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie zwanym ortocentrum.

Zatem środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia się dwusiecznych kątów tego trójkąta.

C

Krok 1. Określenie miary kąta \(KAD\).
Z treści zadania i opisu rysunku wynika, że kąt środkowy \(COB\), oparty na łuku \(BC\) jest prosty. To oznacza, że kąt przyległy \(COD\), oparty na łuku \(CD\) ma także miarę \(90°\). Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że każdy kąt wpisany, oparty na łuku \(CD\) będzie mieć tym samym miarę dwa razy mniejszą, czyli miarę \(45°\). To prowadzi nas do wniosku, że kąt \(KAD\) ma miarę \(45°\).

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(BDA\).
Spójrzmy na trójkąt AKD. Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, zatem poszukiwany kąt BDA ma miarę:
$$|\sphericalangle BDA|=180°-78°-45°=57°$$

Udowodniono korzystając z własności trójkątów i trygonometrii.

Krok 1. Wykorzystanie własności kątów w trapezie.
Z treści zadania wiemy, że przekątna \(AC\) to dwusieczna kąta \(DAB\). Oznaczmy połowę tego kąta jako \(\alpha\), wtedy \(\angle DAC=\angle CAB=\alpha\), a cały kąt \(\angle DAB=2\alpha\). Ponieważ podstawy trapezu \(AB\) i \(CD\) są równoległe, kąty naprzemianległe \(\angle DCA\) i \(\angle CAB\) mają równe miary, więc \(\angle DCA=\alpha\).



Krok 2. Dostrzeżenie trójkąta równoramiennego.
Rozpatrzmy trójkąt \(ACD\). Z naszych ustaleń wynika, że \(|\sphericalangle DAC|=\alpha\) oraz \(|\sphericalangle DCA|=\alpha\). Trójkąt ten jest więc równoramienny, zatem ramiona \(AD\) i \(CD\) są sobie równe.

Krok 3. Poprowadzenie wysokości i zastosowanie trygonometrii.
Niech długość krótszej podstawy wynosi \(|CD|=a\), wtedy ramię trapezu \(|AD|=a\) oraz dłuższa podstawa \(|AB|=2a\) (co wynika wprost z treści zadania). Prowadząc wysokości z punktów \(C\) i \(D\) na podstawę \(AB\), utworzył nam się na środku odcinek o długości \(a\). Ponieważ trapez jest równoramienny, pozostała część podstawy układa się na dwa równe odcinki przy kątach ostrych. Odcinek przy kącie \(DAB\) ma więc długość \(\frac{2a-a}{2}=\frac{a}{2}\).

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(DAB\).
Powstał nam mały trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątną przy kącie \(DAB\) jest obliczony odcinek \(\frac{a}{2}\), a przeciwprostokątną jest ramię trapezu o długości \(a\). Skorzystajmy zatem z funkcji trygonometrycznych (a dokładniej to z cosinusa), aby obliczyć miarę tego kąta:
$$cos=\frac{\frac{a}{2}}{a} \\
cos=\frac{1}{2}$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że cosinus przyjmuje wartość \(\frac{1}{2}\) dla kąta ostrego o mierze \(60°\), co należało udowodnić.

B

Krok 1. Obliczenie pola koła.
Na rysunku widać, że zacieniowana figura to obszar między okręgiem a sześciokątem foremnym (czyli koło minus sześciokąt). Obliczmy najpierw pole koła i pole sześciokąta.

Promień okręgu wynosi \(r=1\), zatem:
$$P_{\text{koło}}=\pi r^{2} \\
P_{\text{koło}}=\pi\cdot1^{2} \\
P_{\text{koło}}=\pi$$

Krok 2. Obliczenie pola sześciokąta foremnego.
Sześciokąt foremny wpisany w okrąg o promieniu \(r=1\) ma bok równy promieniowi, czyli \(a=1\). Pole sześciokąta foremnego o boku \(a\) wynosi:
$$P_{\text{sześciokąt}}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2} \\
P_{\text{sześciokąt}}=\frac{3\cdot1^{2}\cdot\sqrt{3}}{2} \\
P_{\text{sześciokąt}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie pola zacieniowanej figury.
Pole naszej zacieniowanej figury jest różnicą między polem koła i sześciokąta, zatem:
$$P_{\text{figura}}=P_{\text{koło}}-P_{\text{sześciokąt}} \\
P_{\text{figura}}=\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

D

Aby dwie proste zapisane w postaci ogólnej \(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\) oraz \(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\) były równoległe, musi zachodzić warunek:
$$\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}$$

W naszym przypadku \(A_{1}=m-1\), \(B_{1}=3\), \(A_{2}=6\), \(B_{2}=1\). Podstawiamy te wartości do warunku równoległości:
$$\frac{m-1}{6}=\frac{3}{1} \\
m-1=18 \\
m=19$$

\((x+1)^{2}+(y-3)^{2}=25\)

Krok 1. Obliczenie współrzędnych środka okręgu opisanego na kwadracie \(ABCD\).
Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się dokładnie w połowie jego przekątnej. Korzystając ze wzoru na środek odcinka, obliczmy współrzędne środka \(S\):
$$S=(\frac{x_{A}+x_{C}}{2},\frac{y_{A}+y_{C}}{2}) \\
S=\left(\frac{-3+5}{2},\frac{0+6}{2}\right) \\
S=\left(\frac{2}{2},\frac{6}{2}\right) \\
S=(1,3)$$

Krok 2. Obliczenie promienia okręgu opisanego na kwadracie \(ABCD\).
Promień tego okręgu to połowa długości przekątnej \(AC\). Obliczamy najpierw długość odcinka \(AC\):
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}} \\
|AC|=\sqrt{(5-(-3))^{2}+(6-0)^{2}} \\
|AC|=\sqrt{8^{2}+6^{2}} \\
|AC|=\sqrt{64+36} \\
|AC|=\sqrt{100} \\
|AC|=10$$

Skoro średnica wynosi \(10\), to promień jest równy \(r=5\).

Krok 3. Wyznaczenie środka i równania nowego okręgu.
Kwadrat \(A'B'C'D'\) jest odbiciem symetrycznym względem osi \(Oy\). W takiej symetrii zmienia się znak pierwszej współrzędnej punktu na przeciwny, więc nowy środek okręgu to \(S'=(-1,3)\). Promień okręgu się nie zmienia i nadal wynosi \(r=5\). Mamy zatem już wszystkie potrzebne dane do zapisania równania okręgu, który jest opisany na nowym kwadracie:
$$(x-x_{S'})^{2}+(y-y_{S'})^{2}=r^{2} \\
(x-(-1))^{2}+(y-3)^{2}=5^{2} \\
(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=25$$

B

Krok 1. Obliczenie długości boku trójkąta.
Wszystkie boki trójkąta \(ACH\) są przekątnymi kwadratów, które są z kolei ścianami sześcianu. To prowadzi nas do wniosku, że ten trójkąt jest równoboczny. Skoro tak, to bez problemu możemy obliczyć długość krawędzi tego trójkąta:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
4\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
16\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \\
a^2=16 \\
a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Długość krawędzi trójkąta musi być dodatnia, stąd też zostaje nam \(a=4\).

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Ustaliliśmy już, że boki trójkąta są przekątnymi kwadratów z których zbudowany jest sześcian. Kwadrat o boku \(a\) ma zawsze przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$a\sqrt{2}=4 \\
a=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$

\(V=96\sqrt{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, to w jego podstawie znajduje się po prostu kwadrat. Sytuacja z treści zadania wygląda następująco:


Krok 2. Wyznaczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który utworzył nam się na rysunku. Jest to klasyczny trójkąt prostokątny o kątach \(30°, 60°, 90°\). Zgodnie z własnościami takiego trójkąta, krótsza przyprostokątna (w tym przypadku wysokość ostrosłupa) ma długość \(a\), z kolei dłuższa przyprostokątna (która ma u nas długość \(6\)) będzie bokiem który ma długość \(a\sqrt{3}\). Możemy więc zapisać, że:
$$a\sqrt{3}=6 \\
a=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$

Tym samym \(H=2\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie objętości ostrosłupa.
W podstawie mamy kwadrat o boku \(12\), z kolei wysokość naszej bryły to \(H=2\sqrt{3}\), zatem korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa, otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12\cdot12\cdot2\sqrt{3} \\
V=\frac{288\sqrt{3}}{3} \\
V=96\sqrt{3}$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Omówienie zasad podobieństwa brył.
Jeśli bryła jest podobna do innej bryły w skali \(k\), to:
· pole powierzchni zmienia się \(k^{2}\) razy,
· objętość zmienia się \(k^{3}\) razy.

W naszym przypadku \(k=2\), więc \(k^{2}=4\) oraz \(k^{3}=8\).

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pole powierzchni całkowitej walca \(C_{2}\) powinno wynosić:
$$P_{C_{2}}=k^{2}\cdot P_{C_{1}} \\
P_{C_{2}}=4\cdot12\pi \\
P_{C_{2}}=48\pi$$

To oznacza, że pierwsze zdanie jest prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Objętość walca \(C_{2}\) powinna wynosić:
$$V_{C_{2}}=k^{3}\cdot V_{C_{1}} \\
V_{C_{2}}=8\cdot4\pi \\
V_{C_{2}}=32\pi$$

To oznacza, że drugie zdanie jest prawdą.

A

Na rysunku widać sylwetkę drwala podzieloną na sześć obszarów ułożonych "od góry do dołu" jak łańcuch: obszar \(1\) (głowa) graniczy z obszarem \(2\) (twarz), obszar \(2\) graniczy z \(3\) (tułów), obszar \(3\) graniczy z \(4\) (nogi) i z \(5\) (trzon), a obszar \(5\) graniczy z \(6\) (ostrze). Każdy obszar graniczy wyłącznie z sąsiednimi w tym łańcuchu (żaden obszar nie "przeskakuje" nad innym).

Mamy zatem łańcuch sąsiedztw: \(1-2-3-4-5-6\). Kolorujemy go kolejno:
· Obszar \(1\): dowolny z \(7\) kolorów, czyli \(7\) możliwości.
· Obszar \(2\): dowolny kolor oprócz koloru obszaru \(1\), czyli \(6\) możliwości.
· Obszar \(3\): dowolny kolor oprócz koloru obszaru \(2\), czyli \(6\) możliwości.
· Obszar \(4\): dowolny kolor oprócz koloru obszaru \(3\), czyli \(6\) możliwości.
· Obszar \(5\): dowolny kolor oprócz koloru obszaru \(4\), czyli \(6\) możliwości.
· Obszar \(6\): dowolny kolor oprócz koloru obszaru \(5\), czyli \(6\) możliwości.

Łączna liczba sposobów:
$$7\cdot6\cdot6\cdot6\cdot6\cdot6=7\cdot6^{5}$$

D

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Liczby naturalne dwucyfrowe to liczby od \(10\) do \(99\), a takich liczb jest \(90\). Możemy zatem zapisać, że: \(|Ω|=90\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Musimy znaleźć wszystkie wielokrotności liczby \(34\), które są liczbami dwucyfrowymi. Takimi liczbami będą:
$$34; \quad 68$$

Mamy więc dwa zdarzenia sprzyjające, czyli \(|A|=2\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{2}{90}$$

C

Średnią ważoną obliczamy dzieląc sumę iloczynów ocen i ich wag przez sumę wszystkich wag:
$$śr=\frac{4\cdot2+4\cdot2+3\cdot2+2\cdot3+5\cdot3+5\cdot4+4\cdot4}{3\cdot2+2\cdot3+2\cdot4} \\
śr=\frac{8+8+6+6+15+20+16}{6+6+8} \\
śr=\frac{79}{20} \\
śr=3,95$$

B

Mamy \(50\) meczów (liczba parzysta), zatem mediana jest średnią arytmetyczną \(25\)-tej i \(26\)-tej wartości w uporządkowanym ciągu danych. Analizując diagram widzimy wyraźnie, że połowa meczów zakończyła się strzeleniem \(0\) bramek lub \(1\) bramki. Gdybyśmy więc wypisywali te wyniki w ciągu, to \(25\)-tym wynikiem byłaby \(1\) bramka, a już \(26\)-stym byłyby \(2\) bramki. W związku z tym mediana będzie równa:
$$m=\frac{1+2}{2} \\
m=1,5$$