Matura próbna – Matematyka – Grudzień 2024

Powinniśmy dostrzec, że \(16^{24}=(2^4)^{24}=2^{96}\) i tym samym każdy ze składników tej sumy trzeba będzie rozpisać na iloczyn dwóch liczb w taki sposób, by jednym z tych czynników było właśnie \(2^{96}\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$2^{100}+4^{49}+16^{24}= \\
=2^{100}+(2^2)^49+(2^4)^{24}= \\
=2^{100}+2^{98}+2^{96}= \\
=2^{4}\cdot2^{96}+2^2\cdot2^{96}+2^{96}= \\
=16\cdot2^{96}+4\cdot2^{96}+1\cdot2^{96}= \\
=(16+4+1)\cdot2^{96}= \\
=21\cdot2^{96}$$

Otrzymany wynik oznacza, że liczba jest rzeczywiście podzielna przez \(21\) (a wynikiem tego dzielenia byłoby \(2^{96}\)), co należało udowodnić.

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość naszych mianowników musi być od tego zera różna. Musimy więc zapisać następujące założenia:
$$x-1=\neq0 \quad\lor\quad 2x-2\neq0 \\
x\neq1 \quad\lor\quad 2x\neq2 \\
x\neq1 \quad\lor\quad x\neq1$$

Z obydwu równań wyszło nam to samo założenie, czyli że \(x\neq1\).

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Do rozwiązania można podejść na różne sposoby, ale chyba taką najpopularniejszą metodą będzie po prostu wymnożenie tego na krzyż, zatem:
$$(x+3)\cdot(2x-2)=(x-1)\cdot x \\
2x^2-2x+6x-6=x^2-x \\
2x^2+4x-6=x^2-x \\
x^2+5x-6=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=5,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot(-6)=25-(-24)=25+24=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-7}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+7}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=1\) musimy odrzucić, ponieważ jak ustaliliśmy na początku, dla tej wartości mianownik ułamka jest równy zero. To oznacza, że jedynym rozwiązaniem tego równania będzie \(x=-6\).

Krok 1. Doprowadzenie do postaci ogólnej.
Rozwiązywanie powinniśmy zacząć od przekształcenia naszej nierówności w taki sposób, by otrzymać postać ogólną, zatem:
$$x(x-6)\le7 \\
x^2-6x\le7 \\
x^2-6x-7\le0$$

Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=-7\)
$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-7)=36-(-28)=36+28=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-8}{2\cdot1}=\frac{6-8}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+8}{2\cdot1}=\frac{6+8}{2}=\frac{14}{2}=7$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi obliczone miejsca zerowe (kropki zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i przystępujemy do szkicowania paraboli. Współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=1\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Nasza parabola musi więc wyglądać w ten sposób:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera lub równe zero. Zerkamy więc na to, co jest pod osią \(Ox\) i na tej osi, i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(x\in\langle-1,7\rangle\).

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi iksów. Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości dla argumentów od \(-4\) (bez tego argumentu, bo kropka jest niezamalowana) aż do \(4\) włącznie, zatem dziedziną funkcji będzie przedział \(x\in(-4,4\rangle\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Nasza funkcja przyjmuje wartości od \(-1\) aż do \(3\) włącznie. Tu najważniejszą pułapką jest dostrzeżenie, że mimo iż kropka przy wartości równej \(3\) jest niezamalowana, to przecież wartość równa \(3\) jest przyjmowana np. dla argumentów \(x=-3\) czy też \(x=-2\), więc zbiorem wartości będzie przedział obustronnie domknięty: \(y\in\langle-1,3\rangle\).

Krok 3. Rozwiązanie trzeciej części zadania.
Z wykresu odczytujemy, że funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów z przedziału \((1,3)\).

Krok 4. Rozwiązanie czwartej części zadania.
Największą wartością tej funkcji jest \(y=3\). Taka wartość jest przyjmowana dla argumentów od \(-4\) aż do \(-2\), ale bez argumentu \(-4\), bo kropka jest niezamalowana. Czyli taka największa wartość jest przyjmowana w przedziale \((-4,-2\rangle\).

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że trójkąty \(ACD\) i \(ABC\) są podobne. Skąd to wiemy? Widzimy, że obydwa trójkąty mają kąt prosty. W dodatku kąty \(ACD\) i \(CAB\) to są naprzemianległe, więc mają one jednakową miarę np. \(\alpha\). Tym samym i trzecie kąty w tych trójkątach będą miały tą samą miarę, czyli wynika to wprost z cechy kąt-kąt-kąt.


Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Możemy od razu obliczyć skalę podobieństwa naszych trójkątów. Jeśli przyjmiemy, że duży trójkąt \(ABC\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ACD\) jest trójkątem podobnym, to skala podobieństwa wyniesie:
$$k=\frac{6}{7,5} \\
k=0,8$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\), możemy zapisać, że:
$$|BC|^2+6^2=7,5^2 \\
|BC|^2+36=56,25 \\
|BC|^2+=20,25 \\
|BC|=4,5 \quad\lor\quad |BC|=-4,5$$

Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam \(|BC|=4,5\).

Krok 4. Obliczenie długości \(AD\) oraz \(DC\).
Skoro skala podobieństwa naszych trójkątów wynosi \(k=0,8\) i znamy wszystkie długości trójkąta \(ABC\), to tym samym możemy obliczyć długości przyprostokątnych w trójkącie \(ACD\), które są górną podstawą oraz wysokością naszej figury. Trzeba tylko uważać, by do obliczeń brać odpowiednie długości boków, które są bokami odpowiadającymi w danych figurach:
$$|AD|=k\cdot|BC| \\
|AD|=0,8\cdot4,5 \\
|AD|=3,6$$

$$|DC|=k\cdot|AC| \\
|DC|=0,8\cdot6 \\
|DC|=4,8$$

Krok 5. Obliczenie pola trapezu.
Znamy już wszystkie potrzebne długości do obliczenia pola trapezu, zatem:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(7,5+4,8)\cdot3,6 \\
P=\frac{1}{2}\cdot12,3\cdot3,6 \\
P=22,14$$

Krok 1. Obliczenie długości promienia podstawy.
Znamy wysokość naszej bryły, wiemy też jest jaka jest jej objętość, a to pozwoli nam obliczyć pole podstawy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
8\pi=\frac{1}{3}P_{p}\cdot2 \\
4\pi=\frac{1}{3}P_{p} \\
P_{p}=12\pi$$

W podstawie stożka mamy koło, którego pole wyrażamy wzorem \(P=\pi r^2\). Skoro tak, to możemy bez problemu obliczyć promień podstawy naszego stożka:
$$\pi r^2=12\pi \\
r^2=12 \\
r=\sqrt{12} \quad\lor\quad r=-\sqrt{12}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ promień musi być liczbą dodatnią, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{12}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(r=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby obliczyć miarę kąta rozwarcia tego stożka, dobrze będzie zacząć od narysowania prostego szkicu całej tej sytuacji:


Krok 3. Obliczenie kąta rozwarcia stożka.
Powinniśmy dostrzec, że na rysunku powstał nam trójkąt prostokątny o kątach \(30°, 60°, 90°\). Skąd to wiemy? Jedna przyprostokątna (wysokość stożka) ma długość \(2\), a druga przyprostokątna (promień podstawy) jest \(\sqrt{3}\) razy większa i ma długość \(2\sqrt{3}\). Jest to właśnie charakterystyczna cecha trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Jeśli tego nie dostrzegamy, to odpowiednie miary kątów możemy obliczyć z użyciem funkcji trygonometrycznych, w tym przypadku z tangensa.

Skoro tak, to interesujący nas górny kąt \(\alpha\) (który jest połową kąta rozwarcia stożka), ma miarę \(60°\). Kąt rozwarcia stożka będzie kątem dwa razy większym, czyli tym samym będzie miał on miarę \(120°\).

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro w pierwszym zbiorze mamy \(6\) liczb, a w drugim zbiorze tylko \(4\), to zgodnie z regułą mnożenia, liczba zdarzeń elementarnych będzie równa:
$$|Ω|=6\cdot4=24$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są takie pary liczb, których iloczyn będzie podzielny przez \(4\). Wypiszmy zatem interesujące nas kombinacje:
$$(1,8); \\
(2,8);(2;10); \\
(3,8); \\
(4,7);(4,8);(4,9);(4,10); \\
(5,8); \\
(6,8);(6;10)$$

W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=11\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{11}{24}$$

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Średnią arytmetyczną obliczymy wymnażając liczbę książek przez liczbę uczniów i dzieląc to przez sumę wszystkich uczniów, zatem:
$$śr=\frac{4\cdot5+5\cdot8+6\cdot12+7\cdot13+8\cdot12}{5+8+12+13+12} \\
śr=\frac{20+40+72+91+96}{50} \\
śr=\frac{319}{50} \\
śr=6,38$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Mamy \(50\) uczniów, a więc jest to parzysta liczba. To oznacza, że mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyników, czyli \(a_{25}\) oraz \(a_{26}\).

Gdybyśmy uporządkowali liczbę przeczytanych książek w porządku niemalejącym, to mielibyśmy ciąg liczb typu:
$$4,4,4,4,4,5,5,...$$

Obrazowo rzecz ujmując, musimy teraz ustalić, jakie liczby będą na pozycji numer \(25\) i \(26\). Widzimy, że uczniów, którzy przeczytali \(6\) lub mniej książek jest \(5+8+12=25\). Czyli ten \(25\)-ty uczeń przeczytał \(6\) książek, a \(26\)-ty przeczytał już \(7\) książek. To oznacza, że mediana będzie równa:
$$m=\frac{6+7}{2} \\
m=\frac{13}{2} \\
m=6,5$$

Krok 1. Zapisanie równań.
Przyjmijmy, że \(|AB|=x\), a tym samym \(|AE|=3x\). Dodatkowo oznaczmy trzecią krawędź \(|AD|=y\). Z treści zadania wynika, że suma wszystkich długości krawędzi jest równa \(48\), zatem:
$$4\cdot x+4\cdot y+4\cdot3x=48 \\
4x+4y+12x=48 \\
4y+16x=48 \\
4y=48-16x \\
y=12-4x$$

Pole powierzchni całkowitej moglibyśmy obliczyć jako:
$$P=2\cdot(x\cdot y+x\cdot3x+y\cdot3x) \\
P=2\cdot(xy+3x^2+3xy) \\
P=2\cdot(3x^2+4xy) \\
P=6x^2+8xy$$


Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, podstawmy wartość \(y\) z równania \(y=12-4x\) do równania \(P=6x^2+8xy\), zatem:
$$P=6x^2+8x\cdot(12-4x) \\
P=6x^2+96x-32x^2 \\
P=-26x^2+96x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni całkowitej można opisać wyrażeniem \(-26x^2+96x\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)). Tym samym moglibyśmy zapisać, że \(P(x)=-26x^2+96x\).

Krok 3. Zapisanie założeń.
Wszystkie długości krawędzi muszą być większe od zera, zatem:
$$x\gt0 \quad\land\quad 3x\gt0 \quad\land\quad 12-4x\gt0 \\
x\gt0 \quad\land\quad x\gt0 \quad\land\quad -4x\gt-12 \\
x\gt0 \quad\land\quad x\gt0 \quad\land\quad x\lt3$$

Zwróć uwagę, że przy nierówności \(-4x\gt-12\) kiedy dzieliliśmy obydwie strony przez \(-4\), trzeba było zmienić znak nierówności na przeciwny. Otrzymane wyniki oznaczają, że nasz \(x\) musi być większy od zera i mniejszy od \(3\), zatem dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0,3)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-26\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-96}{2\cdot(-26)} \\
x_{W}=\frac{-96}{-52} \\
x_{W}=\frac{24}{13}$$

Otrzymany wynik mieści się w wyznaczonej wcześniej dziedzinie funkcji, a to oznacza, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa będzie największe, gdy \(x=\frac{24}{13}\).