Matura próbna – Matematyka – Grudzień 2024 – Odpowiedzi

B

Mamy klasyczny przykład równania z wartością bezwzględną, które musimy teraz rozwiązać. Aby wartość bezwzględna z \(x+4\) była równa \(7\), to albo \(x+4\) jest równe \(7\), albo też \(x+4\) jest równe \(-7\). Możemy więc ułożyć dwa równania:
$$x+4=7 \quad\land\quad x+4=-7 \\
x=3 \quad\land\quad x=-11$$

Suma rozwiązań jest więc równa:
$$3+(-11)=-8$$

A

Korzystając z działań na pierwiastkach i potęgach, możemy zapisać, że:
$$\left(\sqrt[5]{5}\cdot\frac{1}{5}\right)^{-5}=\left(5^{\frac{1}{5}}\cdot5^{-1}\right)^{-5}= \\
=\left(5^{\frac{1}{5}+(-1)}\right)^{-5}=\left(5^{-\frac{4}{5}}\right)^{-5}=5^{(-\frac{4}{5})\cdot(-5)}=5^4$$

Udowodniono przekształcając zapis do postaci iloczynu, którego jednym z czynników jest \(21\).

Powinniśmy dostrzec, że \(16^{24}=(2^4)^{24}=2^{96}\) i tym samym każdy ze składników tej sumy trzeba będzie rozpisać na iloczyn dwóch liczb w taki sposób, by jednym z tych czynników było właśnie \(2^{96}\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$2^{100}+4^{49}+16^{24}= \\
=2^{100}+(2^2)^49+(2^4)^{24}= \\
=2^{100}+2^{98}+2^{96}= \\
=2^{4}\cdot2^{96}+2^2\cdot2^{96}+2^{96}= \\
=16\cdot2^{96}+4\cdot2^{96}+1\cdot2^{96}= \\
=(16+4+1)\cdot2^{96}= \\
=21\cdot2^{96}$$

Otrzymany wynik oznacza, że liczba jest rzeczywiście podzielna przez \(21\) (a wynikiem tego dzielenia byłoby \(2^{96}\)), co należało udowodnić.

D

Korzystając z działań na logarytmach, możemy przekształcić nasze wyrażenie do następującej postaci:
$$log_{7}x+6log_{7}y=log_{7}x+log_{7}y^6=log_{7}{xy^6}$$

B

Do rozwiązania zadania skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(K_{n}=67925,76\)
\(K=60000\)
\(n=2\)

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$67925,76=60000\cdot(1+p)^{2} \\
1,132096=(1+p)^{2} \\
1,064=1+p \\
p=0,064=6,4\%$$

B

Celem zadanie jest uproszczenie podanego wyrażenia. Można zastosować tutaj różne metody, ale najprościej byłoby zauważyć, że zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia, wyrażenie \(x^2-1\) jest równe \((x+1)(x-1)\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\dfrac{x}{x^2-1}:\dfrac{3x^2}{x+1}= \\
=\dfrac{x}{x^2-1}\cdot\dfrac{x+1}{3x^2}= \\
=\dfrac{x}{(x+1)(x-1)}\cdot\dfrac{x+1}{3x^2}= \\
=\dfrac{x}{x-1}\cdot\dfrac{1}{3x^2}= \\
=\frac{1}{x-1}\cdot\dfrac{1}{3x}=\frac{1}{3x^2-3x}$$

A

Podstawiając podaną w treści zadania parę liczb dod naszego układu równań, otrzymamy taką oto sytuację:
\begin{cases}
a\cdot(-1)+3\cdot6=20 \\
-1+b\cdot6=5
\end{cases}

\begin{cases}
-a+18=20 \\
6b=6
\end{cases}

\begin{cases}
a=-2 \\
b=1
\end{cases}

Na koniec musimy podać wartość wyrażenia \(a\cdot b\), zatem:
$$a\cdot b=(-2)\cdot1=-2$$

\(x=-6\)

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość naszych mianowników musi być od tego zera różna. Musimy więc zapisać następujące założenia:
$$x-1=\neq0 \quad\lor\quad 2x-2\neq0 \\
x\neq1 \quad\lor\quad 2x\neq2 \\
x\neq1 \quad\lor\quad x\neq1$$

Z obydwu równań wyszło nam to samo założenie, czyli że \(x\neq1\).

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Do rozwiązania można podejść na różne sposoby, ale chyba taką najpopularniejszą metodą będzie po prostu wymnożenie tego na krzyż, zatem:
$$(x+3)\cdot(2x-2)=(x-1)\cdot x \\
2x^2-2x+6x-6=x^2-x \\
2x^2+4x-6=x^2-x \\
x^2+5x-6=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=5,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot(-6)=25-(-24)=25+24=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-7}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+7}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=1\) musimy odrzucić, ponieważ jak ustaliliśmy na początku, dla tej wartości mianownik ułamka jest równy zero. To oznacza, że jedynym rozwiązaniem tego równania będzie \(x=-6\).

\(x\in\langle-1,7\rangle\)

Krok 1. Doprowadzenie do postaci ogólnej.
Rozwiązywanie powinniśmy zacząć od przekształcenia naszej nierówności w taki sposób, by otrzymać postać ogólną, zatem:
$$x(x-6)\le7 \\
x^2-6x\le7 \\
x^2-6x-7\le0$$

Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=-7\)
$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-7)=36-(-28)=36+28=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-8}{2\cdot1}=\frac{6-8}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+8}{2\cdot1}=\frac{6+8}{2}=\frac{14}{2}=7$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi obliczone miejsca zerowe (kropki zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i przystępujemy do szkicowania paraboli. Współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=1\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Nasza parabola musi więc wyglądać w ten sposób:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera lub równe zero. Zerkamy więc na to, co jest pod osią \(Ox\) i na tej osi, i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(x\in\langle-1,7\rangle\).

1. \((-4,4\rangle\)
2. \(\langle-1,3\rangle\)
3. \((1,3)\)
4. \((-4,-2\rangle\)

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi iksów. Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości dla argumentów od \(-4\) (bez tego argumentu, bo kropka jest niezamalowana) aż do \(4\) włącznie, zatem dziedziną funkcji będzie przedział \(x\in(-4,4\rangle\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Nasza funkcja przyjmuje wartości od \(-1\) aż do \(3\) włącznie. Tu najważniejszą pułapką jest dostrzeżenie, że mimo iż kropka przy wartości równej \(3\) jest niezamalowana, to przecież wartość równa \(3\) jest przyjmowana np. dla argumentów \(x=-3\) czy też \(x=-2\), więc zbiorem wartości będzie przedział obustronnie domknięty: \(y\in\langle-1,3\rangle\).

Krok 3. Rozwiązanie trzeciej części zadania.
Z wykresu odczytujemy, że funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów z przedziału \((1,3)\).

Krok 4. Rozwiązanie czwartej części zadania.
Największą wartością tej funkcji jest \(y=3\). Taka wartość jest przyjmowana dla argumentów od \(-4\) aż do \(-2\), ale bez argumentu \(-4\), bo kropka jest niezamalowana. Czyli taka największa wartość jest przyjmowana w przedziale \((-4,-2\rangle\).

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
W tym zadaniu idealnie sprawdzi nam się wzór na współczynnik kierunkowy \(a\):
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$

Podstawiając współrzędne punktów \((0, 4)\) oraz \((2, 0)\), otrzymamy:
$$a=\frac{0-4}{2-0} \\
a=\frac{-4}{2} \\
a=-2$$

Jeśli nie pamiętamy o tym wzorze, to do obliczeń współczynnika \(a\) moglibyśmy podejść nieco bardziej standardowo. Skoro wykres funkcji typu \(y=ax+b\) przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0, 4)\), to możemy stwierdzić, że współczynnik \(b=4\). To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem \(y=ax+4\). Brakujący współczynnik \(a\) poznamy podstawiając do tej postaci współrzędne punktu \((2, 0)\), przez który przechodzi wykres tej funkcji, zatem:
$$0=2\cdot a+4 \\
-4=2a \\
a=-2$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Z rysunku wynika, że podstawa takiego trójkąta ma długość \(2\) jednostek, a wysokość to \(4\) jednostki, zatem korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4 \\
P=4$$

Zdanie jest więc fałszem.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Podstawiając \(x=36\) do wzoru naszej funkcji otrzymamy:
$$f(36)=log_{6}36$$

\(log_{6}36\) jest równy \(2\), ponieważ \(6^2=36\), zatem zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Funkcja logarytmiczna \(f(x)=log_{a}x\) jest rosnąca, gdy \(a\gt1\). W naszym przypadku \(a=6\), więc funkcja będzie rzeczywiście rosnąca, czyli zdanie jest prawdą.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Zobaczmy jak się zachowuje nasz ciąg na kilku początkowych wyrazach:
\(a_{1}=3\cdot(-1)^1+10=3\cdot(-1)+10=-3+10=7 \\
a_{2}=3\cdot(-1)^2+10=3\cdot1+10=3+10=13 \\
a_{3}=3\cdot(-1)^3+10=3\cdot(-1)+10=-3+10=7 \\
a_{4}=3\cdot(-1)^4+10=3\cdot1+10=3+10=13\)

Widzimy, że jest to ciąg, który naprzemiennie składa się z liczby \(7\) oraz \(13\). Nie jest to więc ciąg geometryczny, czyli zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Widząc zależność między poszczególnymi wyrazami tego ciągu, możemy stwierdziić, że suma pierwszych ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu będzie równa:
$$S_{8}=7+13+7+13+7+13+7+13 \\
S_{8}=80$$

Zdanie jest więc prawdą.

D

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów takiego ciągu zachodzi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając teraz wyrazy podane w treści zadania, otrzymamy:
$$4+2m=\frac{5m+m}{2} \\
4+2m=\frac{6m}{2} \\
4+2m=3m \\
m=4$$

C

Krok 1. Oblicznie ilorazu ciągu geometrycznego.
Znając wartości dwóch sąsiednich wyrazów, możemy zapisać, że:
$$q=\frac{a_{3}}{a_{2}} \\
q=\frac{1}{9}:\frac{1}{6} \\
q=\frac{1}{9}\cdot6 \\
q=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$

Krok 2. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Korzystając z własności ciągów geometrycznych, możemy zapisać, że:
$$a_{5}=a_{3}\cdot q^2 \\
a_{5}=\frac{1}{9}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2 \\
a_{5}=\frac{1}{9}\cdot\frac{4}{9} \\
a_{5}=\frac{4}{81}$$

A

Korzystając z jedynki trygonometrycznej, możemy zapisać, że:
$$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\
\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2+cos^2\alpha=1 \\
\frac{3}{16}+cos^2\alpha=1 \\
cos^2\alpha=\frac{13}{16} \\
cos\alpha=\sqrt{\frac{13}{16}} \quad\lor\quad cos\alpha=-\sqrt{\frac{13}{16}}$$

Dodatni wynik musimy odrzucić, ponieważ \(\alpha\) jest kątem rozwartym, a dla takich kątów cosinus przyjmuje wartości ujemne. Zostaje nam więc jedynie \(cos\alpha=-\sqrt{\frac{13}{16}}\), co możemy jeszcze rozpisać jako:
$$-\sqrt{\frac{13}{16}}=-\frac{\sqrt{13}}{4}$$

\(P=22,14\)

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że trójkąty \(ACD\) i \(ABC\) są podobne. Skąd to wiemy? Widzimy, że obydwa trójkąty mają kąt prosty. W dodatku kąty \(ACD\) i \(CAB\) to są naprzemianległe, więc mają one jednakową miarę np. \(\alpha\). Tym samym i trzecie kąty w tych trójkątach będą miały tą samą miarę, czyli wynika to wprost z cechy kąt-kąt-kąt.


Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Możemy od razu obliczyć skalę podobieństwa naszych trójkątów. Jeśli przyjmiemy, że duży trójkąt \(ABC\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ACD\) jest trójkątem podobnym, to skala podobieństwa wyniesie:
$$k=\frac{6}{7,5} \\
k=0,8$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\), możemy zapisać, że:
$$|BC|^2+6^2=7,5^2 \\
|BC|^2+36=56,25 \\
|BC|^2+=20,25 \\
|BC|=4,5 \quad\lor\quad |BC|=-4,5$$

Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam \(|BC|=4,5\).

Krok 4. Obliczenie długości \(AD\) oraz \(DC\).
Skoro skala podobieństwa naszych trójkątów wynosi \(k=0,8\) i znamy wszystkie długości trójkąta \(ABC\), to tym samym możemy obliczyć długości przyprostokątnych w trójkącie \(ACD\), które są górną podstawą oraz wysokością naszej figury. Trzeba tylko uważać, by do obliczeń brać odpowiednie długości boków, które są bokami odpowiadającymi w danych figurach:
$$|AD|=k\cdot|BC| \\
|AD|=0,8\cdot4,5 \\
|AD|=3,6$$

$$|DC|=k\cdot|AC| \\
|DC|=0,8\cdot6 \\
|DC|=4,8$$

Krok 5. Obliczenie pola trapezu.
Znamy już wszystkie potrzebne długości do obliczenia pola trapezu, zatem:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(7,5+4,8)\cdot3,6 \\
P=\frac{1}{2}\cdot12,3\cdot3,6 \\
P=22,14$$

B

Krok 1. Obliczenie miary kąta środkowego \(ASB\).
Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że miara kąta środkowego \(ASB\) będzie dwa razy większa od miary kąta wpisanego \(ACB\), zatem:
$$|\sphericalangle ASB|=2\cdot60°=120°$$

Krok 2. Obliczenie długości obwodu okręgu.
Skoro okrąg ma promień \(r=6\), to jego obwód będzie równy:
$$Obw=2\pi\cdot r \\
Obw=2\pi\cdot6 \\
Obw=12\pi$$

Krok 3. Obliczenie długości łuku.
Skoro kąt środkowy ma miarę \(120°\) to łuk na którym się on opiera będzie stanowił \(\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}\) obwodu okręgu. W związku z tym długość łuku \(AB\) będzie równa:
$$\frac{1}{3}\cdot12\pi=4\pi$$

A

Krok 1. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Znając współrzędne obydwu punktów możemy obliczyć długość odcinka \(AC\) (czyli długość przekątnej naszego kwadratu):
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(3-(-2))^2+(4-(-1))^2} \\
|AC|=\sqrt{5^2+5^2} \\
|AC|=\sqrt{25+25} \\
|AC|=\sqrt{50} \\
|AC|=\sqrt{25\cdot2} \\
|AC|=5\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro więc przekątna ma długość \(5\sqrt{2}\), to możemy zapisać, że:
$$a\sqrt{2}=5\sqrt{2} \\
a=5$$

B

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Skoro więc prosta \(k\) ma współczynnik \(a=-7\), to prosta \(l\) będzie się wyrażać równaniem \(y=-7x+b\).

Musimy jeszcze ustalić jaki jest współczynnik \(b\) naszej prostej \(l\). Z własności takich prostych moglibyśmy stwierdzić, że skoro przecina ona oś \(Oy\) w punkcie \((0,6)\), to \(b=6\). Jeśli tego nie widzimy lub nie pamiętamy o tej własności, to zawsze możemy podstawić \(x=0\) oraz \(y=6\) do równania takiej prostej:
$$6=-7x\cdot0+b \\
b=6$$

Tym samym prosta \(l\) wyraża się równaniem \(y=-7x+6\).


Chcąc się dowiedzieć jaka jest druga współrzędna poszukiwanego punktu o współrzędnych \((1,p)\), wystarczy podstawić \(x=1\) do wyznaczonego równania prostej, zatem:
$$y=-7\cdot1+6 \\
y=-7+6 \\
y=-1$$

Czyli liczba \(p=-1\).

C

Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(x_{S}, y_{S})\) i promieniu \(r\) zapisujemy jako:
$$(x-x_{S})^2+(y-y_{S})^2=r^2$$

Ustalmy może najpierw co się tak naprawdę musi stać, by okrąg miał jakieś punkty wspólne z osią \(Ox\) lub \(Oy\). Aby tak się stało, długość promienia musi być równa lub większa od jednej ze współrzędnych wierzchołka środka okręgu, a nawet można powiedzieć, że musi być równa lub większa od wartości bezwzględnej jednej z takich współrzędnych. Tak przykładowo, gdybyśmy mieli okrąg o środku w punkcie \(S=(5;6)\) i promień miałby długość \(r=2\), to wtedy okrąg nie stykałby się z żadną osią, ale gdyby ten promień był większy i był równy przynajmniej \(5\), no to okrąg zacząłby się stykać z osią \(Ox\), a każdy jeszcze większy okrąg zacząłby tę oś przecinać w dwóch miejscach.

Z podanych okręgów wynika, że:
okrąg \(o_{1}\) ma promień \(r=1\)
okrąg \(o_{2}\) ma promień \(r=3\)
okrąg \(o_{3}\) ma promień \(r=2\)
okrąg \(o_{4}\) ma promień \(r=4\)

Teraz zerkając na współrzędne środka okręgu (które możemy odczytać z równań) widzimy, że punktów wspólnych z osiami nie będzie mieć okrąg \(o_{3}\), bo tutaj \(S=(3,4)\), a promień to \(r=2\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:
--rysunek będzie później--

Widzimy, że na rysunku utworzył nam się kluczowy trójkąt prostokątny, którego dolna podstawa jest równa \(2\) (bo jest to połowa długości boku kwadratu) i to właśnie z niego obliczymy wysokość ostrosłupa.

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Tangens opisuje nam zależność między przyprostokątnymi trójkąta, czyli w naszym przypadku między wysokością ostrosłupa, a dolną podstawą o długości \(2\). Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{H}{2}$$

Skoro \(tg\alpha=3\), to:
$$3=\frac{H}{2} \\
H=6$$

D

Krok 1. Zapisanie długości krawędzi prostopadłościanu.
Jeżeli najdłuższa krawędź ma długość \(p\), a wszystkie długości są trzema kolejnymi liczbami parzystymi, to moglibyśmy te długości (od największej do najmniejszej) zapisać jako:
$$p,\quad p-2,\quad p-4$$

Krok 2. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Korzystając ze wzoru na objętość \(V=abc\), możemy zapisać, że:
$$V=p\cdot(p-2)\cdot(p-4) \\
V=(p^2-2p)\cdot(p-4) \\
V=p^3-4p^2-2p^2+8p \\
V=p^3-6p^2+8p$$

\(120°\)

Krok 1. Obliczenie długości promienia podstawy.
Znamy wysokość naszej bryły, wiemy też jest jaka jest jej objętość, a to pozwoli nam obliczyć pole podstawy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
8\pi=\frac{1}{3}P_{p}\cdot2 \\
4\pi=\frac{1}{3}P_{p} \\
P_{p}=12\pi$$

W podstawie stożka mamy koło, którego pole wyrażamy wzorem \(P=\pi r^2\). Skoro tak, to możemy bez problemu obliczyć promień podstawy naszego stożka:
$$\pi r^2=12\pi \\
r^2=12 \\
r=\sqrt{12} \quad\lor\quad r=-\sqrt{12}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ promień musi być liczbą dodatnią, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{12}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(r=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby obliczyć miarę kąta rozwarcia tego stożka, dobrze będzie zacząć od narysowania prostego szkicu całej tej sytuacji:


Krok 3. Obliczenie kąta rozwarcia stożka.
Powinniśmy dostrzec, że na rysunku powstał nam trójkąt prostokątny o kątach \(30°, 60°, 90°\). Skąd to wiemy? Jedna przyprostokątna (wysokość stożka) ma długość \(2\), a druga przyprostokątna (promień podstawy) jest \(\sqrt{3}\) razy większa i ma długość \(2\sqrt{3}\). Jest to właśnie charakterystyczna cecha trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Jeśli tego nie dostrzegamy, to odpowiednie miary kątów możemy obliczyć z użyciem funkcji trygonometrycznych, w tym przypadku z tangensa.

Skoro tak, to interesujący nas górny kąt \(\alpha\) (który jest połową kąta rozwarcia stożka), ma miarę \(60°\). Kąt rozwarcia stożka będzie kątem dwa razy większym, czyli tym samym będzie miał on miarę \(120°\).

B

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry \(0, 1, 2, 3\) (np. \(12303, 11111\)), jest:
\(32\)
\(384\)
\(512\)
\(576\)


Ustalmy jakie cyfry mogą znaleźć się na poszczególnych miejscach naszej liczby pięciocyfrowej. Szczególną uwagę trzeba zwrócić na to, że pierwszą cyfrą naszej liczby nie może być \(0\), bo nie ma takiej liczby jak np. \(01111\), a oprócz tego, trzeba uwzględnić fakt, że ostatnia cyfra musi być nieparzysta.
· Na pierwszym miejscu może znaleźć się jedna z trzech cyfr: \(1, 2\) lub \(3\). Mamy więc \(3\) możliwości.
· Na drugim miejscu może znaleźć się jedna z czterech cyfr: \(0, 1, 2\) lub \(3\). Mamy więc \(4\) możliwości.
· Na trzecim miejscu może znaleźć się jedna z czterech cyfr: \(0, 1, 2\) lub \(3\). Mamy więc \(4\) możliwości.
· Na czwartym miejscu może znaleźć się jedna z czterech cyfr: \(0, 1, 2\) lub \(3\). Mamy więc \(4\) możliwości.
· Na piątym miejscu może znaleźć się jedna z dwóch cyfr: \(1\) lub \(3\). Mamy więc \(2\) możliwości.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich interesujących nas liczb pięciocyfrowych nieparzystych będziemy mieć:
$$3\cdot4\cdot4\cdot4\cdot2=384$$

\(p=\frac{11}{24}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro w pierwszym zbiorze mamy \(6\) liczb, a w drugim zbiorze tylko \(4\), to zgodnie z regułą mnożenia, liczba zdarzeń elementarnych będzie równa:
$$|Ω|=6\cdot4=24$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są takie pary liczb, których iloczyn będzie podzielny przez \(4\). Wypiszmy zatem interesujące nas kombinacje:
$$(1,8); \\
(2,8);(2;10); \\
(3,8); \\
(4,7);(4,8);(4,9);(4,10); \\
(5,8); \\
(6,8);(6;10)$$

W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=11\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{11}{24}$$

1. \(6,38\)
2. \(6,5\)

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Średnią arytmetyczną obliczymy wymnażając liczbę książek przez liczbę uczniów i dzieląc to przez sumę wszystkich uczniów, zatem:
$$śr=\frac{4\cdot5+5\cdot8+6\cdot12+7\cdot13+8\cdot12}{5+8+12+13+12} \\
śr=\frac{20+40+72+91+96}{50} \\
śr=\frac{319}{50} \\
śr=6,38$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Mamy \(50\) uczniów, a więc jest to parzysta liczba. To oznacza, że mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyników, czyli \(a_{25}\) oraz \(a_{26}\).

Gdybyśmy uporządkowali liczbę przeczytanych książek w porządku niemalejącym, to mielibyśmy ciąg liczb typu:
$$4,4,4,4,4,5,5,...$$

Obrazowo rzecz ujmując, musimy teraz ustalić, jakie liczby będą na pozycji numer \(25\) i \(26\). Widzimy, że uczniów, którzy przeczytali \(6\) lub mniej książek jest \(5+8+12=25\). Czyli ten \(25\)-ty uczeń przeczytał \(6\) książek, a \(26\)-ty przeczytał już \(7\) książek. To oznacza, że mediana będzie równa:
$$m=\frac{6+7}{2} \\
m=\frac{13}{2} \\
m=6,5$$

\(P(x)=-26x^2+96x\), \(x\in(0,3)\) oraz \(x=\frac{24}{13}\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Przyjmijmy, że \(|AB|=x\), a tym samym \(|AE|=3x\). Dodatkowo oznaczmy trzecią krawędź \(|AD|=y\). Z treści zadania wynika, że suma wszystkich długości krawędzi jest równa \(48\), zatem:
$$4\cdot x+4\cdot y+4\cdot3x=48 \\
4x+4y+12x=48 \\
4y+16x=48 \\
4y=48-16x \\
y=12-4x$$

Pole powierzchni całkowitej moglibyśmy obliczyć jako:
$$P=2\cdot(x\cdot y+x\cdot3x+y\cdot3x) \\
P=2\cdot(xy+3x^2+3xy) \\
P=2\cdot(3x^2+4xy) \\
P=6x^2+8xy$$


Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, podstawmy wartość \(y\) z równania \(y=12-4x\) do równania \(P=6x^2+8xy\), zatem:
$$P=6x^2+8x\cdot(12-4x) \\
P=6x^2+96x-32x^2 \\
P=-26x^2+96x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni całkowitej można opisać wyrażeniem \(-26x^2+96x\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)). Tym samym moglibyśmy zapisać, że \(P(x)=-26x^2+96x\).

Krok 3. Zapisanie założeń.
Wszystkie długości krawędzi muszą być większe od zera, zatem:
$$x\gt0 \quad\land\quad 3x\gt0 \quad\land\quad 12-4x\gt0 \\
x\gt0 \quad\land\quad x\gt0 \quad\land\quad -4x\gt-12 \\
x\gt0 \quad\land\quad x\gt0 \quad\land\quad x\lt3$$

Zwróć uwagę, że przy nierówności \(-4x\gt-12\) kiedy dzieliliśmy obydwie strony przez \(-4\), trzeba było zmienić znak nierówności na przeciwny. Otrzymane wyniki oznaczają, że nasz \(x\) musi być większy od zera i mniejszy od \(3\), zatem dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0,3)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-26\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-96}{2\cdot(-26)} \\
x_{W}=\frac{-96}{-52} \\
x_{W}=\frac{24}{13}$$

Otrzymany wynik mieści się w wyznaczonej wcześniej dziedzinie funkcji, a to oznacza, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa będzie największe, gdy \(x=\frac{24}{13}\).