Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2026 (stara matura) – Odpowiedzi

A

Obliczamy wartości poszczególnych pierwiastków, pamiętając o tym, że pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych dają w wyniku liczby ujemne. Skoro \((-3)^3=-27\), to \(\sqrt[3]{-27}=-3\). Analogicznie skoro \((-1)^5=-1\), to \(\sqrt[5]{-1}=-1\). W związku z tym:
$$\sqrt[3]{-27}+\sqrt[5]{-1}=-3+(-1)=-4$$

B

Aby obliczyć wartość tego wyrażenia, skorzystamy z podstawowych działań na potęgach. Na początku warto dostrzec, że \(4^{0,5}=4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2\), dzięki czemu w liczniku i mianowniku będziemy mieć potęgi o podstawach \(3\) oraz \(2\). Korzystając z tego, że przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach odejmujemy wykładniki, otrzymamy:
$$\frac{3^{-1}\cdot4^{0,5}}{3^{-2}\cdot2^{-1}}= \\
=\frac{3^{-1}\cdot2^{1}}{3^{-2}\cdot2^{-1}}= \\
=3^{-1-(-2)}\cdot2^{1-(-1)}= \\
=3^{1}\cdot2^{2}=3\cdot4=12$$

B

Wartość tego wyrażenia obliczymy korzystając z działań na logarytmach. Suma logarytmów o tych samych podstawach to logarytm z iloczynu liczb logarytmowanych, natomiast różnica logarytmów o tych samych podstawach to logarytm z ilorazu liczb logarytmowanych. W związku z tym:
$$\log_{8}4+\log_{8}32-\log_{8}2=\log_{8}\frac{4\cdot32}{2}=\log_{8}\frac{128}{2}=\log_{8}64$$

Teraz musimy sobie odpowiedzieć na pytanie: do której potęgi należy podnieść \(8\), aby otrzymać \(64\)? Oczywiście do drugiej, bo \(8^2=64\). To oznacza, że:
$$\log_{8}64=2$$

C

Wartość tego wyrażenia najprościej obliczymy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, czyli \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), gdzie w roli \(a\) wystąpi \(\pi+1\), a w roli \(b\) wystąpi \(\pi-1\). W związku z tym:
$$(\pi+1)^2-(\pi-1)^2=\left[(\pi+1)-(\pi-1)\right]\cdot\left[(\pi+1)+(\pi-1)\right]= \\
=(\pi+1-\pi+1)\cdot(\pi+1+\pi-1)=2\cdot2\pi=4\pi$$

Ewentualnie moglibyśmy też rozpisać oddzielnie każdy z kwadratów, korzystając ze wzorów \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), czyli:
$$(\pi+1)^2-(\pi-1)^2=\pi^2+2\pi+1-(\pi^2-2\pi+1)= \\
=\pi^2+2\pi+1-\pi^2+2\pi-1=4\pi$$

C

Rozwiązujemy nierówność, mnożąc na wstępie obie strony przez \(15\), tak aby pozbyć się ułamków:
$$\frac{7+2x}{5}\ge\frac{4}{15} \quad\bigg/\cdot15 \\
3\cdot(7+2x)\ge4 \\
21+6x\ge4 \\
6x\ge-17 \\
x\ge-\frac{17}{6} \\
x\ge-2\frac{5}{6}$$

Szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która jest nie mniejsza od \(-2\frac{5}{6}\). Taką liczbą jest \(-2\), bo liczba \(-3\) jest już mniejsza od \(-2\frac{5}{6}\), więc nie spełnia naszej nierówności.

B

Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Musimy więc przyrównać każdy z nawiasów do zera:
$$x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \\
x^2=4 \quad\lor\quad x^2=9 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Otrzymaliśmy zatem cztery rozwiązania, których suma jest równa:
$$2+(-2)+3+(-3)=0$$

D

Zbiór wartości to wszystkie wartości \(y\), jakie przyjmuje nasza funkcja. Analizując wykres widzimy, że najniżej położonym punktem wykresu jest punkt o współrzędnych \((1,-3)\), który jest zamalowany, a więc wartość \(-3\) jest przyjmowana przez funkcję. Najwyższą przyjmowaną wartością jest \(1\), którą funkcja osiąga na całym poziomym fragmencie wykresu dla \(x\in(-5,-3]\). Funkcja przyjmuje też wszystkie wartości pośrednie, zatem zbiorem wartości jest przedział:
$$\langle-3;1\rangle$$

D

Interesują nas te argumenty \(x\), dla których wykres funkcji znajduje się pod osią \(Ox\). Z wykresu odczytujemy, że funkcja przecina oś \(Ox\) dla \(x=-2\) oraz \(x=4\) i pomiędzy tymi argumentami znajduje się pod osią. Same miejsca zerowe nie wchodzą do naszego zbioru, bo dla nich funkcja przyjmuje wartość równą zero, a nie ujemną. W związku z tym szukanym przedziałem jest:
$$(-2;4)$$

C

Największą wartością funkcji jest \(1\). Wartość tę funkcja przyjmuje na całym poziomym fragmencie wykresu, czyli dla wszystkich argumentów z przedziału:
$$(-5;-3\rangle$$

Warto tu zwrócić uwagę na kółeczka na wykresie - punkt dla \(x=-5\) jest niezamalowany (więc nie należy do zbioru), natomiast punkt dla \(x=-3\) jest zamalowany (więc należy do zbioru). Podobnie wartość \(1\) pojawiłaby się jeszcze dla \(x=5\), ale tam kropka jest niezamalowana, więc ten argument nie wchodzi do naszego zbioru.

B

Osią symetrii paraboli jest zawsze pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek, czyli prosta o równaniu \(x=p\). Skoro \(p=2\), to osią symetrii jest prosta \(x=2\).

D

Aby przejść z postaci kanonicznej do postaci ogólnej, wystarczy rozpisać wzór funkcji korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), a następnie uporządkować całe wyrażenie:
$$f(x)=2(x-2)^2+4 \\
f(x)=2(x^2-4x+4)+4 \\
f(x)=2x^2-8x+8+4 \\
f(x)=2x^2-8x+12$$

C

Aby obliczyć trzeci wyraz ciągu, wystarczy podstawić \(n=3\) do wzoru ciągu. Musimy przy tym pamiętać, że potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność potęgi o wykładniku dodatnim, czyli \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=2^2=4\). W związku z tym:
$$a_{3}=32\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3-5} \\
a_{3}=32\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \\
a_{3}=32\cdot2^2 \\
a_{3}=32\cdot4 \\
a_{3}=128$$

C

Przekształćmy wzór ciągu korzystając z działań na potęgach:
$$a_{n}=32\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-5} \\
a_{n}=32\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-5} \\
a_{n}=32\cdot32\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\
a_{n}=1024\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$$

Widzimy więc, że jest to ciąg geometryczny, bo każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego poprzez pomnożenie go przez \(\frac{1}{2}\), a to oznacza, że iloraz tego ciągu jest równy \(q=\frac{1}{2}\). Możemy to też potwierdzić wyznaczając kilka początkowych wyrazów: \(a_{1}=512,\;a_{2}=256,\;a_{3}=128\), a następnie dzieląc dowolny wyraz przez wyraz go poprzedzający:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{256}{512}=\frac{1}{2}$$

C

Krok 1. Wyznaczenie wartości \(x\).
Skorzystamy z własności ciągu geometrycznego dla trzech kolejnych wyrazów, zgodnie z którą \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\). W związku z tym:
$$(x+4)^2=x\cdot(2x+8) \\
x^2+8x+16=2x^2+8x \\
16=x^2 \\
x=4 \quad\lor\quad x=-4$$

Z treści zadania wynika, że wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, zatem odrzucamy rozwiązanie \(x=-4\) i zostaje nam \(x=4\).

Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu.
Skoro \(x=4\), to nasz ciąg składa się z wyrazów \(a_{1}=4,\;a_{2}=8,\;a_{3}=16\). Iloraz ciągu geometrycznego obliczymy dzieląc dowolny wyraz przez wyraz go poprzedzający, czyli:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{8}{4}=2$$

C

Przekształcamy prawą stronę równania korzystając z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), z której wynika, że \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\). W związku z tym:
$$\sin\alpha+\sin^2\alpha=\cos\alpha-\cos^2\alpha+1 \\
\sin\alpha+\sin^2\alpha=\cos\alpha+\sin^2\alpha \quad\bigg/-\sin^2\alpha \\
\sin\alpha=\cos\alpha$$

Dzieląc teraz obie strony przez \(\cos\alpha\) i korzystając z tego, że \(tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), otrzymamy:
$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=1 \\
tg\alpha=1$$

B

Krok 1. Dostrzeżenie kąta opartego na średnicy.
Kąt wpisany \(ADC\) jest oparty na średnicy \(AC\), a z własności kątów wpisanych wiemy, że kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym. To oznacza, że \(|\sphericalangle ADC|=90°\).

Krok 2. Skorzystanie z własności kątów wpisanych opartych na tym samym łuku.
Kąty wpisane \(DBC\) oraz \(DAC\) są oparte na tym samym łuku \(DC\), a kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary. To oznacza, że \(|\sphericalangle DAC|=\beta\).

Krok 3. Obliczenie sumy \(\beta+\gamma\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(ACD\). Suma miar kątów w trójkącie jest równa \(180°\), a skoro \(|\sphericalangle ADC|=90°\), \(|\sphericalangle DAC|=\beta\) oraz \(|\sphericalangle ACD|=\gamma\), to:
$$\beta+\gamma+90°=180° \
\beta+\gamma=90°$$

C

Krok 1. Obliczenie długości przyprostokątnych.
Trójkąt prostokątny równoramienny to tak naprawdę połówka kwadratu, czyli trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\), w którym przyprostokątne mają długość \(a\), a przeciwprostokątna \(a\sqrt{2}\). Skoro przeciwprostokątna ma długość \(8\), to:
$$a\sqrt{2}=8 \\
a=\frac{8}{\sqrt{2}} \\
a=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
a=\frac{8\sqrt{2}}{2} \\
a=4\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie obwodu trójkąta.
Obwód trójkąta to suma długości dwóch przyprostokątnych oraz przeciwprostokątnej, zatem:
$$Obw=4\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8 \\
Obw=8\sqrt{2}+8 \\
Obw=8(\sqrt{2}+1)$$

C

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Obliczmy najpierw obwód trójkąta \(ABC\):
$$Obw_{ABC}=6+9+12=27$$

Stosunek obwodów figur podobnych jest równy skali podobieństwa. Skoro obwód trójkąta \(KLM\) jest równy \(36\), to skala podobieństwa trójkąta \(KLM\) względem trójkąta \(ABC\) jest równa:
$$k=\frac{36}{27}=\frac{4}{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości najkrótszego boku trójkąta \(KLM\).
Najkrótszym bokiem trójkąta \(ABC\) jest bok \(AB\) o długości \(6\). W figurach podobnych najkrótszemu bokowi jednej figury odpowiada najkrótszy bok drugiej figury, zatem najkrótszy bok trójkąta \(KLM\) ma długość:
$$6\cdot\frac{4}{3}=8$$

A

Skoro odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu, to środek okręgu \(S\) jest jednocześnie środkiem tego odcinka. Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka możemy zapisać, że:
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
-6=\frac{-15+y_{B}}{2} \\
-12=-15+y_{B} \\
y_{B}=3$$

D

Krok 1. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej.
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty obliczymy korzystając ze wzoru:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\
a=\frac{2-(-6)}{4-0} \\
a=\frac{8}{4} \\
a=2$$

Wiemy zatem, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=2x+b\). Musimy teraz ustalić jaki jest współczynnik \(b\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się prostej z osią \(Oy\). Skoro punkt \(A=(0,-6)\) leży na naszej prostej i ma pierwszą współrzędną równą zero, to prosta przecina oś \(Oy\) właśnie w tym punkcie, a więc \(b=-6\). W związku z tym bok \(AB\) zawiera się w prostej o równaniu:
$$y=2x-6$$

A

Krok 1. Ustalenie, przy którym wierzchołku znajduje się kąt prosty.
Z treści zadania wiemy, że trójkąt \(ABC\) jest prostokątny. Sprawdźmy, przy którym wierzchołku znajduje się kąt prosty, obliczając długości poszczególnych boków ze wzoru na długość odcinka:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}=\sqrt{(4-0)^2+(2-(-6))^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80} \\
|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}=\sqrt{(0-4)^2+(4-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20} \\
|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(0-0)^2+(4-(-6))^2}=\sqrt{100}=10$$

Sprawdźmy, czy spełniona jest równość wynikająca z Twierdzenia Pitagorasa dla najdłuższego boku \(AC\):
$$|AB|^2+|BC|^2=80+20=100=|AC|^2$$

Równość jest spełniona, zatem kąt prosty znajduje się przy wierzchołku \(B\), a przeciwprostokątną jest bok \(AC\).

Krok 2. Obliczenie tangensa kąta \(CAB\).
Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. Naprzeciwko kąta \(CAB\) leży bok \(BC\), natomiast przy tym kącie leży bok \(AB\), zatem:
$$tg\alpha=\frac{|BC|}{|AB|} \\
tg\alpha=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{80}} \\
tg\alpha=\sqrt{\frac{20}{80}} \\
tg\alpha=\sqrt{\frac{1}{4}} \\
tg\alpha=\frac{1}{2}$$

C

Aby dwie proste określone wzorem \(y=ax+b\) były względem siebie równoległe, to ich współczynniki kierunkowe \(a\) muszą być sobie równe. W związku z tym:
$$m-3=-5 \\
m=-2$$

Dla pewności możemy jeszcze sprawdzić, że dla \(m=-2\) wyraz wolny prostej \(k\) jest równy \(m+4=2\), a więc jest różny od wyrazu wolnego prostej \(l\), który wynosi \(1\). Proste nie pokrywają się zatem, tylko są faktycznie równoległe.

D

Krok 1. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego znajduje się sześciokąt foremny, którego pole powierzchni jest tak naprawdę polem sześciu trójkątów równobocznych o boku równym krawędzi podstawy, czyli \(a=3\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=6\cdot\frac{3^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=6\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{54\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{27\sqrt{3}}{2}$$

Krok 2. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Skoro każda krawędź ma długość \(3\), to wysokość graniastosłupa jest także równa \(H=3\). Objętość graniastosłupa jest zatem równa:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=\frac{27\sqrt{3}}{2}\cdot3 \\
V=\frac{81\sqrt{3}}{2}$$

D

Wysokość stożka, promień podstawy oraz tworząca tworzą trójkąt prostokątny, w którym tworząca o długości \(12\) jest przeciwprostokątną, a wysokość \(H\) jest przyprostokątną leżącą naprzeciwko kąta \(60°\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
$$\sin60°=\frac{H}{12} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{H}{12} \\
H=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
H=6\sqrt{3}$$

D

Oznaczmy przez \(n\) liczbę wierzchołków wielokąta znajdującego się w podstawie ostrosłupa. Taki ostrosłup ma \(2n\) krawędzi (bo mamy \(n\) krawędzi podstawy oraz \(n\) krawędzi bocznych) oraz \(n+1\) wierzchołków (bo mamy \(n\) wierzchołków podstawy oraz jeden wierzchołek ostrosłupa). Z treści zadania wynika, że liczba krawędzi jest o \(9\) większa od liczby wierzchołków, zatem:
$$2n=(n+1)+9 \\
2n=n+10 \\
n=10$$

Podstawą tego ostrosłupa jest więc dziesięciokąt.

\(x\in\left(-\frac{1}{3};1\right)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy cokolwiek liczyć, musimy doprowadzić nierówność do postaci ogólnej. Wymnażamy lewą stronę nierówności i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:
$$x(3x-2)\lt1 \\
3x^2-2x\lt1 \\
3x^2-2x-1\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Posiadając postać ogólną, możemy przystąpić do liczenia delty:
Współczynniki: \(a=3,\;b=-2,\;c=-1\)

$$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16 \\
\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-4}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2+4}{6}=\frac{6}{6}=1$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli
Współczynnik kierunkowy \(a=3\) jest dodatni, zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Miejsca zerowe zaznaczamy niezamalowanymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak ostrej nierówności. Parabola będzie zatem wyglądać następująco:
---rysunek---

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, czyli te znajdujące się pod osią \(Ox\), a więc rozwiązaniem nierówności jest przedział:
$$x\in\left(-\frac{1}{3};1\right)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz nierówność do postaci ogólnej i obliczysz miejsca zerowe trójmianu, czyli \(x_{1}=-\frac{1}{3}\) oraz \(x_{2}=1\) (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Udowodniono, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia

Krok 1. Przekształcenie nierówności.
Wymnażamy poszczególne wyrażenia, korzystając przy okazji ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), a następnie przenosimy wszystko na lewą stronę:
$$x^2+(y-1)(y+1)\gt2(x-1) \\
x^2+y^2-1\gt2x-2 \\
x^2+y^2-1-2x+2\gt0 \\
x^2-2x+1+y^2\gt0$$

Krok 2. Zwinięcie wyrażenia zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia.
Dostrzegamy, że wyrażenie \(x^2-2x+1\) zwija się zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), zatem naszą nierówność możemy zapisać jako:
$$(x-1)^2+y^2\gt0$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, zatem \(y^2\ge0\). Z treści zadania wiemy, że \(x\neq1\), a to oznacza, że \(x-1\neq0\), czyli \((x-1)^2\gt0\). Suma liczby dodatniej oraz liczby nieujemnej jest zawsze dodatnia, zatem:
$$(x-1)^2+y^2\gt0$$

Nierówność jest więc prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\), co należało wykazać.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy sprawdzisz nierówność jedynie dla wybranych liczb, zamiast ją udowodnić.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci \((x-1)^2+y^2\gt0\), ale nie powołasz się na założenie \(x\neq1\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wyróżnik odpowiedniego trójmianu kwadratowego, ale nie wyciągniesz z niego wniosku.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie, czyli dodatkowo uzasadnisz, że przy założeniu \(x\neq1\) składnik \((x-1)^2\) jest dodatni, a cała suma dodatnia (patrz: Krok 3.).

\(8,30 zł\)

Krok 1. Zapisanie układu równań.
Na podstawie zakupów Piotra oraz Natalii możemy zapisać następujący układ równań:
$$\begin{cases}
8C+4B=82 \\
3C+9B=60
\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Układ możemy rozwiązać na dowolny sposób, chyba najprościej będzie dokonać tego metodą przeciwnych współczynników. Dla uproszczenia obliczeń podzielmy najpierw pierwsze równanie przez \(2\), a drugie przez \(3\):
$$\begin{cases}
4C+2B=41 \\
C+3B=20
\end{cases}$$

Chcemy doprowadzić do sytuacji, w której współczynniki przy \(B\) będą przeciwne, zatem pomnóżmy pierwsze równanie przez \(3\), a drugie przez \(-2\):
$$\begin{cases}
12C+6B=123 \\
-2C-6B=-40
\end{cases}$$

Dodając teraz oba równania stronami, otrzymamy:
$$10C=83 \\
C=8,3$$

Otrzymaliśmy zatem cenę czekolady, o którą pytano w treści zadania, więc rozwiązywanie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny układ równań wynikający z treści zadania (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(m=-3\)

Krok 1. Zapisanie równania wynikającego z treści zadania.
Skoro wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-9)\), to po podstawieniu do wzoru funkcji \(x=0\) musimy otrzymać wartość \(-9\). W związku z tym:
$$f(0)=5\cdot0+m^2+6m \\
-9=m^2+6m$$

Krok 2. Rozwiązanie otrzymanego równania.
Przenosimy wszystko na jedną stronę i rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe:
$$m^2+6m+9=0$$

Możemy oczywiście liczyć klasycznie deltę, ale najszybciej będzie dostrzec, że lewa strona równania zwija się zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), zatem:
$$(m+3)^2=0 \\
m+3=0 \\
m=-3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie \(m^2+6m=-9\) wynikające z treści zadania (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Średnia arytmetyczna jest równa \(7,4\), a mediana jest równa \(m=7,5\).

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Aby obliczyć średnią arytmetyczną, musimy zsumować wszystkie zadeklarowane godziny snu (mnożąc każdą liczbę godzin przez liczbę osób, które ją zadeklarowały), a następnie podzielić otrzymany wynik przez liczbę wszystkich ankietowanych:
$$\overline{x}=\frac{5\cdot4+6\cdot14+7\cdot32+8\cdot38+9\cdot12}{100} \\
\overline{x}=\frac{20+84+224+304+108}{100} \\
\overline{x}=\frac{740}{100} \\
\overline{x}=7,4$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Mamy parzystą liczbę \(100\) wyników, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyników, czyli wyniku \(50\)-tego oraz \(51\)-szego (po uporządkowaniu wszystkich wyników w kolejności niemalejącej). Zliczając osoby od początku tabeli: \(5\) godzin zadeklarowały \(4\) osoby, \(6\) godzin kolejne \(14\) osób (łącznie \(18\)), \(7\) godzin kolejne \(32\) osoby (łącznie \(50\)). To oznacza, że \(50\)-tym wynikiem jest \(7\), natomiast \(51\)-szym wynikiem jest już \(8\). Mediana jest więc równa:
$$m=\frac{7+8}{2}=\frac{15}{2}=7,5$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz tylko średnią arytmetyczną (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz tylko medianę (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P(A)=\frac{1}{4}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy kostką dwukrotnie, a w każdym rzucie może wypaść jedna z sześciu liczb oczek, zatem zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć:
$$|\Omega|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Suma wyrzuconych oczek ma być liczbą parzystą większą od \(7\), czyli musi być równa \(8\), \(10\) lub \(12\). Wypiszmy pary rzutów, które spełniają ten warunek:
$$\text{suma }8:\;(2,6),\;(3,5),\;(4,4),\;(5,3),\;(6,2) \\
\text{suma }10:\;(4,6),\;(5,5),\;(6,4) \\
\text{suma }12:\;(6,6)$$

Łącznie mamy więc \(5+3+1=9\) par liczb, zatem \(|A|=9\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy otrzymasz prawdopodobieństwo większe od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczbę zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|AD|=25\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie trapez równoramienny \(ABCD\) o dłuższej podstawie \(AB\) i poprowadźmy wysokość z wierzchołka \(D\), której spodek oznaczymy jako \(E\). Otrzymamy w ten sposób trójkąt prostokątny \(AED\) (który posłuży nam do obliczenia długości ramienia) oraz trójkąt prostokątny \(EBD\), w którym przy wierzchołku \(B\) znajduje się kąt \(\alpha\), a przeciwprostokątną jest przekątna \(BD=39\).
---rysunek dodam wkrótce---

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(EB\).
W trójkącie prostokątnym \(EBD\) cosinus kąta \(\alpha\) to stosunek przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przeciwprostokątnej, zatem:
$$\cos\alpha=\frac{|EB|}{|BD|} \\
\frac{12}{13}=\frac{|EB|}{39} \\
|EB|=\frac{12}{13}\cdot39 \\
|EB|=36$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trapezu, czyli długości odcinka \(DE\).
Znając wartość cosinusa możemy wyznaczyć wartość sinusa, korzystając z jedynki trygonometrycznej:
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \\
\sin^2\alpha+\left(\frac{12}{13}\right)^2=1 \\
\sin^2\alpha=1-\frac{144}{169} \\
\sin^2\alpha=\frac{25}{169} \\
\sin\alpha=\frac{5}{13} \quad\lor\quad \sin\alpha=-\frac{5}{13}$$

Ujemną wartość sinusa odrzucamy, bo dla kątów mniejszych od \(180^\circ\) sinus przyjmuje wartości dodatnie. To oznacza, że \(\sin\alpha=\frac{5}{13}\).

Sinus kąta \(\alpha\) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do przeciwprostokątnej, zatem:
$$\sin\alpha=\frac{|DE|}{|BD|} \\
\frac{5}{13}=\frac{|DE|}{39} \\
|DE|=\frac{5}{13}\cdot39 \\
|DE|=15$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Z własności trapezu równoramiennego wynika, że wysokości poprowadzone z wierzchołków \(D\) oraz \(C\) odcinają na dłuższej podstawie dwa jednakowe odcinki, których suma długości jest równa różnicy długości podstaw. Skoro różnica długości podstaw jest równa \(40\), to:
$$|AE|=\frac{|AB|-|CD|}{2} \\
|AE|=\frac{40}{2} \\
|AE|=20$$

Krok 5. Obliczenie długości ramienia \(AD\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(AED\). Znamy już długości obydwu przyprostokątnych, zatem długość ramienia \(AD\) obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|AE|^2+|DE|^2=|AD|^2 \\
20^2+15^2=|AD|^2 \\
400+225=|AD|^2 \\
|AD|^2=625 \\
|AD|=25$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy z poprawnymi oznaczeniami (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(EB\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu, czyli długość odcinka \(DE\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik, czyli długość ramienia \(AD\) (patrz: Krok 5.).

\(H=2\sqrt{15}\)

Krok 1. Obliczenie pola podstawy i długości krawędzi podstawy.
Skoro pole powierzchni całkowitej jest równe \(80\) i jest \(5\) razy większe od pola podstawy, to:
$$P_{p}=\frac{80}{5}=16$$

W podstawie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego znajduje się kwadrat, zatem możemy wyznaczyć długość krawędzi podstawy:
$$a^2=16 \\
a=4$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstawy oraz pola powierzchni bocznej, zatem:
$$P_{b}=P_{c}-P_{p}=80-16=64$$

Na pole powierzchni bocznej składają się cztery jednakowe trójkąty równoramienne o podstawie \(a=4\) oraz wysokości \(h\), zatem:
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
64=4\cdot\frac{1}{2}\cdot4\cdot h \\
64=8h \\
h=8$$

Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Wysokość ostrosłupa \(H\), połowa krawędzi podstawy (czyli odcinek o długości \(\frac{a}{2}=2\)) oraz wysokość ściany bocznej \(h=8\) tworzą trójkąt prostokątny, w którym wysokość ściany bocznej jest przeciwprostokątną. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$H^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=h^2 \\
H^2+2^2=8^2 \\
H^2+4=64 \\
H^2=60 \\
H=\sqrt{60} \\
H=\sqrt{4\cdot15} \\
H=2\sqrt{15}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy z poprawnymi oznaczeniami.
2 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy i długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik, czyli wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.).

a) \(a_{1}=36\) oraz \(r=-6\)
b) \(k=257\)

Krok 1. Zapisanie pierwszego równania na podstawie sumy \(S_{10}\).
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n\) możemy zapisać, że:
$$S_{10}=\frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=90 \\
(2a_{1}+9r)\cdot5=90 \\
2a_{1}+9r=18$$

Krok 2. Zapisanie drugiego równania na podstawie średniej arytmetycznej.
Skoro średnia arytmetyczna pierwszego, siódmego i ósmego wyrazu jest równa \(10\), to suma tych trzech wyrazów musi być równa \(30\). Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy rozpisać poszczególne wyrazy jako \(a_{7}=a_{1}+6r\) oraz \(a_{8}=a_{1}+7r\), zatem:
$$a_{1}+a_{7}+a_{8}=30 \\
a_{1}+a_{1}+6r+a_{1}+7r=30 \\
3a_{1}+13r=30$$

Krok 3. Rozwiązanie układu równań.
Otrzymane równania tworzą układ równań:
$$\begin{cases}
2a_{1}+9r=18 \\
3a_{1}+13r=30
\end{cases}$$

Skorzystamy z metody przeciwnych współczynników, mnożąc pierwsze równanie przez \(3\), a drugie przez \(-2\):
$$\begin{cases}
6a_{1}+27r=54 \\
-6a_{1}-26r=-60
\end{cases}$$

Dodając oba równania stronami, otrzymamy:
$$r=-6$$

Podstawiając teraz \(r=-6\) do pierwszego równania, wyznaczymy pierwszy wyraz ciągu:
$$2a_{1}+9\cdot(-6)=18 \\
2a_{1}-54=18 \\
2a_{1}=72 \\
a_{1}=36$$

Krok 4. Obliczenie liczby \(k\), dla której \(a_{k}=-1500\).
Korzystamy ponownie ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, podstawiając do niego wyznaczone przed chwilą \(a_{1}=36\) oraz \(r=-6\):
$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \\
-1500=36+(k-1)\cdot(-6) \\
-1536=(k-1)\cdot(-6) \\
k-1=\frac{-1536}{-6} \\
k-1=256 \\
k=257$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z sumy \(S_{10}\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie wynikające ze średniej arytmetycznej pierwszego, siódmego i ósmego wyrazu (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz oba równania i utworzysz z nich układ równań (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz pierwszy wyraz i różnicę ciągu, czyli rozwiążesz część a) zadania (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy zapiszesz równanie, z którego można obliczyć liczbę \(k\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik, czyli odpowiedzi do obu części zadania.