Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2026 – Odpowiedzi

A

Obliczamy wartości poszczególnych pierwiastków, pamiętając o tym, że pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych dają w wyniku liczby ujemne. Skoro \((-3)^3=-27\), to \(\sqrt[3]{-27}=-3\). Analogicznie skoro \((-1)^5=-1\), to \(\sqrt[5]{-1}=-1\). W związku z tym:
$$\sqrt[3]{-27}+\sqrt[5]{-1}=-3+(-1)=-4$$

B

Aby obliczyć wartość tego wyrażenia, skorzystamy z podstawowych działań na potęgach. Na początku warto dostrzec, że \(4^{0,5}=4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2\), dzięki czemu w liczniku i mianowniku będziemy mieć potęgi o podstawach \(3\) oraz \(2\). Korzystając z tego, że przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach odejmujemy wykładniki, otrzymamy:
$$\frac{3^{-1}\cdot4^{0,5}}{3^{-2}\cdot2^{-1}}= \\
=\frac{3^{-1}\cdot2^{1}}{3^{-2}\cdot2^{-1}}= \\
=3^{-1-(-2)}\cdot2^{1-(-1)}= \\
=3^{1}\cdot2^{2}=3\cdot4=12$$

B

Wartość tego wyrażenia obliczymy korzystając z działań na logarytmach. Suma logarytmów o tych samych podstawach to logarytm z iloczynu liczb logarytmowanych, natomiast różnica logarytmów o tych samych podstawach to logarytm z ilorazu liczb logarytmowanych. W związku z tym:
$$\log_{8}4+\log_{8}32-\log_{8}2=\log_{8}\frac{4\cdot32}{2}=\log_{8}\frac{128}{2}=\log_{8}64$$

Teraz musimy sobie odpowiedzieć na pytanie: do której potęgi należy podnieść \(8\), aby otrzymać \(64\)? Oczywiście do drugiej, bo \(8^2=64\). To oznacza, że:
$$\log_{8}64=2$$

C

Wartość tego wyrażenia najprościej obliczymy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, czyli \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), gdzie w roli \(a\) wystąpi \(\pi+1\), a w roli \(b\) wystąpi \(\pi-1\). W związku z tym:
$$(\pi+1)^2-(\pi-1)^2=\left[(\pi+1)-(\pi-1)\right]\cdot\left[(\pi+1)+(\pi-1)\right]= \\
=(\pi+1-\pi+1)\cdot(\pi+1+\pi-1)=2\cdot2\pi=4\pi$$

Ewentualnie moglibyśmy też rozpisać oddzielnie każdy z kwadratów, korzystając ze wzorów \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), czyli:
$$(\pi+1)^2-(\pi-1)^2=\pi^2+2\pi+1-(\pi^2-2\pi+1)= \\
=\pi^2+2\pi+1-\pi^2+2\pi-1=4\pi$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Skoro \(n\) jest liczbą nieparzystą całkowitą, to możemy ją zapisać jako \(n=2k+1\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą.

Krok 2. Przekształcenie wyrażenia z treści zadania.
Podstawiamy \(n=2k+1\) do naszego wyrażenia i wykonujemy stosowne przekształcenia:
$$3n^2+6n+15=3(2k+1)^2+6(2k+1)+15= \\
=3(4k^2+4k+1)+12k+6+15= \\
=12k^2+12k+3+12k+6+15= \\
=12k^2+24k+24= \\
=12(k^2+2k+2)$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Skoro \(k\) jest liczbą całkowitą, to wyrażenie \(k^2+2k+2\) jest także liczbą całkowitą. Otrzymaliśmy więc iloczyn liczby \(12\) oraz liczby całkowitej, a taka liczba jest zawsze podzielna przez \(12\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy sprawdzisz podzielność jedynie dla wybranych liczb \(n\), zamiast ją udowodnić.
1 pkt
• Gdy zapiszesz liczbę nieparzystą w postaci \(n=2k+1\) i przekształcisz wyrażenie do postaci \(12(k^2+2k+2)\) (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
ALBO
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenie liczby nieparzystej, ale nie doprowadzisz dowodu do końca.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie, czyli dodatkowo uzasadnisz, że \(k^2+2k+2\) jest liczbą całkowitą (patrz: Krok 3.).

C

Rozwiązujemy nierówność, mnożąc na wstępie obie strony przez \(15\), tak aby pozbyć się ułamków:
$$\frac{7+2x}{5}\ge\frac{4}{15} \quad\bigg/\cdot15 \\
3\cdot(7+2x)\ge4 \\
21+6x\ge4 \\
6x\ge-17 \\
x\ge-\frac{17}{6} \\
x\ge-2\frac{5}{6}$$

Szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która jest nie mniejsza od \(-2\frac{5}{6}\). Taką liczbą jest \(-2\), bo liczba \(-3\) jest już mniejsza od \(-2\frac{5}{6}\), więc nie spełnia naszej nierówności.

B

Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Musimy więc przyrównać każdy z nawiasów do zera:
$$x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \\
x^2=4 \quad\lor\quad x^2=9 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Otrzymaliśmy zatem cztery rozwiązania, których suma jest równa:
$$2+(-2)+3+(-3)=0$$

A

Krok 1. Zamiana dzielenia na mnożenie.
Dzielenie ułamków zamieniamy na mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka:
$$\frac{4}{x^2+2x}:\frac{5x}{4-x^2}=\frac{4}{x^2+2x}\cdot\frac{4-x^2}{5x}$$

Krok 2. Rozpisanie wyrażenia do postaci iloczynowej.
Aby móc dokonać stosownych skróceń, rozpiszmy licznik i mianownik na czynniki. Z mianownika pierwszego ułamka możemy wyłączyć \(x\) przed nawias, czyli \(x^2+2x=x(x+2)\), natomiast licznik drugiego ułamka rozpiszemy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, czyli \(4-x^2=(2-x)(2+x)\). W związku z tym:
$$\frac{4}{x(x+2)}\cdot\frac{(2-x)(2+x)}{5x}=\frac{4\cdot(2-x)(2+x)}{x(x+2)\cdot5x}$$

Krok 3. Skrócenie wyrażenia.
W liczniku i mianowniku pojawia się ten sam czynnik \((x+2)\), zatem możemy go skrócić:
$$\frac{4\cdot(2-x)}{5x^2}=\frac{8-4x}{5x^2}$$

\(x\in\left(-\frac{1}{3};1\right)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy cokolwiek liczyć, musimy doprowadzić nierówność do postaci ogólnej. Wymnażamy lewą stronę nierówności i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:
$$x(3x-2)\lt1 \\
3x^2-2x\lt1 \\
3x^2-2x-1\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Posiadając postać ogólną, możemy przystąpić do liczenia delty:
Współczynniki: \(a=3,\;b=-2,\;c=-1\)

$$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16 \\
\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-4}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2+4}{6}=\frac{6}{6}=1$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli
Współczynnik kierunkowy \(a=3\) jest dodatni, zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Miejsca zerowe zaznaczamy niezamalowanymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak ostrej nierówności. Parabola będzie zatem wyglądać następująco:
---rysunek---

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, czyli te znajdujące się pod osią \(Ox\), a więc rozwiązaniem nierówności jest przedział:
$$x\in\left(-\frac{1}{3};1\right)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz nierówność do postaci ogólnej i obliczysz miejsca zerowe trójmianu, czyli \(x_{1}=-\frac{1}{3}\) oraz \(x_{2}=1\) (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Czekolada \(\mathcal{C}\) kosztuje \(x=8,30\) zł.

Krok 1. Zapisanie układu równań.
Na podstawie zakupów Piotra oraz Natalii możemy zapisać następujący układ równań:
$$\begin{cases}
8C+4B=82 \\
3C+9B=60
\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Układ możemy rozwiązać na dowolny sposób, chyba najprościej będzie dokonać tego metodą przeciwnych współczynników. Dla uproszczenia obliczeń podzielmy najpierw pierwsze równanie przez \(2\), a drugie przez \(3\):
$$\begin{cases}
4C+2B=41 \\
C+3B=20
\end{cases}$$

Chcemy doprowadzić do sytuacji, w której współczynniki przy \(B\) będą przeciwne, zatem pomnóżmy pierwsze równanie przez \(3\), a drugie przez \(-2\):
$$\begin{cases}
12C+6B=123 \\
-2C-6B=-40
\end{cases}$$

Dodając teraz oba równania stronami, otrzymamy:
$$10C=83 \\
C=8,3$$

Otrzymaliśmy zatem cenę czekolady, o którą pytano w treści zadania, więc rozwiązywanie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny układ równań wynikający z treści zadania (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(\langle-3;1\rangle\).
2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, jest przedział \((-2;4)\).
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje największą wartość, jest przedział \((-5;-3\rangle\).

Krok 1. Wyznaczenie zbioru wartości funkcji.
Zbiór wartości to wszystkie wartości \(y\), jakie przyjmuje nasza funkcja. Analizując wykres widzimy, że najniżej położonym punktem wykresu jest punkt o współrzędnych \((1,-3)\), który jest zamalowany, a więc wartość \(-3\) jest przyjmowana przez funkcję. Najwyższą przyjmowaną wartością jest \(1\), którą funkcja osiąga na całym poziomym fragmencie wykresu dla \(x\in(-5,-3]\). Funkcja przyjmuje też wszystkie wartości pośrednie, zatem zbiorem wartości jest przedział:
$$\langle-3;1\rangle$$

Krok 2. Wyznaczenie argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Interesują nas te argumenty \(x\), dla których wykres funkcji znajduje się pod osią \(Ox\). Z wykresu odczytujemy, że funkcja przecina oś \(Ox\) dla \(x=-2\) oraz \(x=4\) i pomiędzy tymi argumentami znajduje się pod osią. Same miejsca zerowe nie wchodzą do naszego zbioru, bo dla nich funkcja przyjmuje wartość równą zero, a nie ujemną. W związku z tym szukanym przedziałem jest:
$$(-2;4)$$

Krok 3. Wyznaczenie argumentów, dla których funkcja przyjmuje największą wartość.
Największą wartością funkcji jest \(1\) (co ustaliliśmy w pierwszym kroku). Wartość tę funkcja przyjmuje na całym poziomym fragmencie wykresu, czyli dla wszystkich argumentów z przedziału:
$$(-5;-3\rangle$$

Warto tu zwrócić uwagę na kółeczka na wykresie - punkt dla \(x=-5\) jest niezamalowany (więc nie należy do zbioru), natomiast punkt dla \(x=-3\) jest zamalowany (więc należy do zbioru). Podobnie wartość \(1\) pojawiłaby się jeszcze dla \(x=5\), ale tam kropka jest niezamalowana, więc ten argument nie wchodzi do naszego zbioru.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie uzupełnisz poprawnie żadnego ze zdań.
1 pkt
• Gdy poprawnie uzupełnisz jedno zdanie.
2 pkt
• Gdy poprawnie uzupełnisz dwa zdania.
3 pkt
• Gdy poprawnie uzupełnisz wszystkie trzy zdania.

\(m=-3\)

Krok 1. Zapisanie równania wynikającego z treści zadania.
Skoro wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-9)\), to po podstawieniu do wzoru funkcji \(x=0\) musimy otrzymać wartość \(-9\). W związku z tym:
$$f(0)=5\cdot0+m^2+6m \\
-9=m^2+6m$$

Krok 2. Rozwiązanie otrzymanego równania.
Przenosimy wszystko na jedną stronę i rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe:
$$m^2+6m+9=0$$

Możemy oczywiście liczyć klasycznie deltę, ale najszybciej będzie dostrzec, że lewa strona równania zwija się zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), zatem:
$$(m+3)^2=0 \\
m+3=0 \\
m=-3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie \(m^2+6m=-9\) wynikające z treści zadania (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a_{1}=36\) oraz \(r=-6\)

Krok 1. Zapisanie pierwszego równania na podstawie sumy \(S_{10}\).
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n\) możemy zapisać, że:
$$S_{10}=\frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=90 \\
(2a_{1}+9r)\cdot5=90 \\
2a_{1}+9r=18$$

Krok 2. Zapisanie drugiego równania na podstawie średniej arytmetycznej.
Skoro średnia arytmetyczna pierwszego, siódmego i ósmego wyrazu jest równa \(10\), to suma tych trzech wyrazów musi być równa \(30\). Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy rozpisać poszczególne wyrazy jako \(a_{7}=a_{1}+6r\) oraz \(a_{8}=a_{1}+7r\), zatem:
$$a_{1}+a_{7}+a_{8}=30 \\
a_{1}+a_{1}+6r+a_{1}+7r=30 \\
3a_{1}+13r=30$$

Krok 3. Rozwiązanie układu równań.
Otrzymane równania tworzą układ równań:
$$\begin{cases}
2a_{1}+9r=18 \\
3a_{1}+13r=30
\end{cases}$$

Skorzystamy z metody przeciwnych współczynników, mnożąc pierwsze równanie przez \(3\), a drugie przez \(-2\):
$$\begin{cases}
6a_{1}+27r=54 \\
-6a_{1}-26r=-60
\end{cases}$$

Dodając oba równania stronami, otrzymamy:
$$r=-6$$

Podstawiając teraz \(r=-6\) do pierwszego równania, wyznaczymy pierwszy wyraz ciągu:
$$2a_{1}+9\cdot(-6)=18 \\
2a_{1}-54=18 \\
2a_{1}=72 \\
a_{1}=36$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z sumy \(S_{10}\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie wynikające ze średniej arytmetycznej pierwszego, siódmego i ósmego wyrazu (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz oba równania i utworzysz z nich układ równań (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik, czyli pierwszy wyraz i różnicę ciągu (patrz: Krok 3.).

C

Krok 1. Wyznaczenie wartości \(x\).
Skorzystamy z własności ciągu geometrycznego dla trzech kolejnych wyrazów, zgodnie z którą \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\). W związku z tym:
$$(x+4)^2=x\cdot(2x+8) \\
x^2+8x+16=2x^2+8x \\
16=x^2 \\
x=4 \quad\lor\quad x=-4$$

Z treści zadania wynika, że wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, zatem odrzucamy rozwiązanie \(x=-4\) i zostaje nam \(x=4\).

Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu.
Skoro \(x=4\), to nasz ciąg składa się z wyrazów \(a_{1}=4,\;a_{2}=8,\;a_{3}=16\). Iloraz ciągu geometrycznego obliczymy dzieląc dowolny wyraz przez wyraz go poprzedzający, czyli:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{8}{4}=2$$

C

Przekształcamy prawą stronę równania korzystając z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), z której wynika, że \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\). W związku z tym:
$$\sin\alpha+\sin^2\alpha=\cos\alpha-\cos^2\alpha+1 \\
\sin\alpha+\sin^2\alpha=\cos\alpha+\sin^2\alpha \quad\bigg/-\sin^2\alpha \\
\sin\alpha=\cos\alpha$$

Dzieląc teraz obie strony przez \(\cos\alpha\) i korzystając z tego, że \(\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), otrzymamy:
$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=1 \\
\tg\alpha=1$$

B

Krok 1. Dostrzeżenie kąta opartego na średnicy.
Kąt wpisany \(ADC\) jest oparty na średnicy \(AC\), a z własności kątów wpisanych wiemy, że kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym. To oznacza, że \(|\sphericalangle ADC|=90°\).

Krok 2. Skorzystanie z własności kątów wpisanych opartych na tym samym łuku.
Kąty wpisane \(DBC\) oraz \(DAC\) są oparte na tym samym łuku \(DC\), a kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary. To oznacza, że \(|\sphericalangle DAC|=\beta\).

Krok 3. Obliczenie sumy \(\beta+\gamma\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(ACD\). Suma miar kątów w trójkącie jest równa \(180°\), a skoro \(|\sphericalangle ADC|=90°\), \(|\sphericalangle DAC|=\beta\) oraz \(|\sphericalangle ACD|=\gamma\), to:
$$\beta+\gamma+90°=180° \
\beta+\gamma=90°$$

\(|AD|=25\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie trapez równoramienny \(ABCD\) o dłuższej podstawie \(AB\) i poprowadźmy wysokość z wierzchołka \(D\), której spodek oznaczymy jako \(E\). Otrzymamy w ten sposób trójkąt prostokątny \(AED\) (który posłuży nam do obliczenia długości ramienia) oraz trójkąt prostokątny \(EBD\), w którym przy wierzchołku \(B\) znajduje się kąt \(\alpha\), a przeciwprostokątną jest przekątna \(BD=39\).
---rysunek dodam wkrótce---

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(EB\).
W trójkącie prostokątnym \(EBD\) cosinus kąta \(\alpha\) to stosunek przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przeciwprostokątnej, zatem:
$$\cos\alpha=\frac{|EB|}{|BD|} \\
\frac{12}{13}=\frac{|EB|}{39} \\
|EB|=\frac{12}{13}\cdot39 \\
|EB|=36$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trapezu, czyli długości odcinka \(DE\).
Znając wartość cosinusa możemy wyznaczyć wartość sinusa, korzystając z jedynki trygonometrycznej:
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \\
\sin^2\alpha+\left(\frac{12}{13}\right)^2=1 \\
\sin^2\alpha=1-\frac{144}{169} \\
\sin^2\alpha=\frac{25}{169} \\
\sin\alpha=\frac{5}{13} \quad\lor\quad \sin\alpha=-\frac{5}{13}$$

Ujemną wartość sinusa odrzucamy, bo dla kątów mniejszych od \(180^\circ\) sinus przyjmuje wartości dodatnie. To oznacza, że \(\sin\alpha=\frac{5}{13}\).

Sinus kąta \(\alpha\) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do przeciwprostokątnej, zatem:
$$\sin\alpha=\frac{|DE|}{|BD|} \\
\frac{5}{13}=\frac{|DE|}{39} \\
|DE|=\frac{5}{13}\cdot39 \\
|DE|=15$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Z własności trapezu równoramiennego wynika, że wysokości poprowadzone z wierzchołków \(D\) oraz \(C\) odcinają na dłuższej podstawie dwa jednakowe odcinki, których suma długości jest równa różnicy długości podstaw. Skoro różnica długości podstaw jest równa \(40\), to:
$$|AE|=\frac{|AB|-|CD|}{2} \\
|AE|=\frac{40}{2} \\
|AE|=20$$

Krok 5. Obliczenie długości ramienia \(AD\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(AED\). Znamy już długości obydwu przyprostokątnych, zatem długość ramienia \(AD\) obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|AE|^2+|DE|^2=|AD|^2 \\
20^2+15^2=|AD|^2 \\
400+225=|AD|^2 \\
|AD|^2=625 \\
|AD|=25$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy z poprawnymi oznaczeniami (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(EB\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu, czyli długość odcinka \(DE\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik, czyli długość ramienia \(AD\) (patrz: Krok 5.).

C

Krok 1. Obliczenie długości przyprostokątnych.
Trójkąt prostokątny równoramienny to tak naprawdę połówka kwadratu, czyli trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\), w którym przyprostokątne mają długość \(a\), a przeciwprostokątna \(a\sqrt{2}\). Skoro przeciwprostokątna ma długość \(8\), to:
$$a\sqrt{2}=8 \\
a=\frac{8}{\sqrt{2}} \\
a=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
a=\frac{8\sqrt{2}}{2} \\
a=4\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie obwodu trójkąta.
Obwód trójkąta to suma długości dwóch przyprostokątnych oraz przeciwprostokątnej, zatem:
$$Obw=4\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8 \\
Obw=8\sqrt{2}+8 \\
Obw=8(\sqrt{2}+1)$$

C

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Obliczmy najpierw obwód trójkąta \(ABC\):
$$Obw_{ABC}=6+9+12=27$$

Stosunek obwodów figur podobnych jest równy skali podobieństwa. Skoro obwód trójkąta \(KLM\) jest równy \(36\), to skala podobieństwa trójkąta \(KLM\) względem trójkąta \(ABC\) jest równa:
$$k=\frac{36}{27}=\frac{4}{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości najkrótszego boku trójkąta \(KLM\).
Najkrótszym bokiem trójkąta \(ABC\) jest bok \(AB\) o długości \(6\). W figurach podobnych najkrótszemu bokowi jednej figury odpowiada najkrótszy bok drugiej figury, zatem najkrótszy bok trójkąta \(KLM\) ma długość:
$$6\cdot\frac{4}{3}=8$$

C

Aby dwie proste określone wzorem \(y=ax+b\) były względem siebie równoległe, to ich współczynniki kierunkowe \(a\) muszą być sobie równe. W związku z tym:
$$m-3=-5 \\
m=-2$$

Dla pewności możemy jeszcze sprawdzić, że dla \(m=-2\) wyraz wolny prostej \(k\) jest równy \(m+4=2\), a więc jest różny od wyrazu wolnego prostej \(l\), który wynosi \(1\). Proste nie pokrywają się zatem, tylko są faktycznie równoległe.

D

Krok 1. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego znajduje się sześciokąt foremny, którego pole powierzchni jest tak naprawdę polem sześciu trójkątów równobocznych o boku równym krawędzi podstawy, czyli \(a=3\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=6\cdot\frac{3^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=6\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{54\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{27\sqrt{3}}{2}$$

Krok 2. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Skoro każda krawędź ma długość \(3\), to wysokość graniastosłupa jest także równa \(H=3\). Objętość graniastosłupa jest zatem równa:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=\frac{27\sqrt{3}}{2}\cdot3 \\
V=\frac{81\sqrt{3}}{2}$$

D

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy to kąt między krawędzią boczną a przekątną podstawy. Wysokość ostrosłupa, połowa przekątnej podstawy oraz krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny, w którym krawędź boczna o długości \(12\) jest przeciwprostokątną, a wysokość \(H\) jest przyprostokątną leżącą naprzeciwko kąta \(60°\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
$$\sin60°=\frac{H}{12} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{H}{12} \\
H=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
H=6\sqrt{3}$$

D

Oznaczmy przez \(n\) liczbę wierzchołków wielokąta znajdującego się w podstawie ostrosłupa. Taki ostrosłup ma \(2n\) krawędzi (bo mamy \(n\) krawędzi podstawy oraz \(n\) krawędzi bocznych) oraz \(n+1\) wierzchołków (bo mamy \(n\) wierzchołków podstawy oraz jeden wierzchołek ostrosłupa). Z treści zadania wynika, że liczba krawędzi jest o \(9\) większa od liczby wierzchołków, zatem:
$$2n=(n+1)+9 \\
2n=n+10 \\
n=10$$

Podstawą tego ostrosłupa jest więc dziesięciokąt.

C

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy kostką dwukrotnie, a w każdym rzucie może wypaść jedna z sześciu liczb oczek, zatem zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć:
$$|\Omega|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Suma wyrzuconych oczek ma być większa od \(10\), czyli musi być równa \(11\) lub \(12\). Wypiszmy pary rzutów, które spełniają ten warunek:
$$(5,6),\;(6,5),\;(6,6)$$

Są to więc tylko trzy pary liczb, zatem \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{3}{36}$$

1. Mediana jest równa \(7,5\).
2. Dominanta jest równa \(8\).
3. Prawdopodobieństwo jest równe \(\frac{1}{10}\).

Krok 1. Obliczenie mediany.
Mamy parzystą liczbę \(120\) wyników, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyników, czyli wyniku \(60\)-tego oraz \(61\)-szego (po uporządkowaniu wszystkich wyników w kolejności niemalejącej). Zliczając osoby od początku tabeli: \(4\) godziny zadeklarowało \(6\) osób, \(5\) godzin - kolejne \(4\) osoby (łącznie \(10\)), \(6\) godzin - kolejne \(14\) osób (łącznie \(24\)), \(7\) godzin - kolejne \(36\) osób (łącznie \(60\)). To oznacza, że \(60\)-tym wynikiem jest \(7\), natomiast \(61\)-szym wynikiem jest już \(8\). Mediana jest więc równa:
$$m=\frac{7+8}{2}=\frac{15}{2}=7,5$$

Krok 2. Wyznaczenie dominanty.
Dominanta to wartość, która występuje najczęściej. Najwięcej osób, bo aż \(38\), zadeklarowało \(8\) godzin snu, zatem dominanta jest równa \(8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Wszystkich ankietowanych jest \(120\), natomiast \(10\) godzin snu zadeklarowało \(12\) osób. Prawdopodobieństwo wylosowania takiej osoby jest więc równe:
$$P(A)=\frac{12}{120}=\frac{1}{10}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie uzupełnisz poprawnie żadnego ze zdań.
1 pkt
• Gdy poprawnie uzupełnisz jedno zdanie.
2 pkt
• Gdy poprawnie uzupełnisz dwa zdania.
3 pkt
• Gdy poprawnie uzupełnisz wszystkie trzy zdania.

Wzór funkcji to \(P(r)=20\pi r-4\pi r^2\), dziedziną jest przedział \(r\in(0;5)\), a pole powierzchni bocznej jest największe dla \(r=\frac{5}{2}\).

Krok 1. Wyznaczenie wysokości walca w zależności od promienia \(r\).
Średnica podstawy walca jest równa \(2r\). Z treści zadania wynika, że suma średnicy podstawy i wysokości walca jest równa \(10\), zatem:
$$2r+h=10 \\
h=10-2r$$

Krok 2. Wyznaczenie wzoru funkcji \(P\).
Pole powierzchni bocznej walca wyraża się wzorem \(P_{b}=2\pi rh\). Podstawiając wyznaczoną przed chwilą wysokość \(h=10-2r\), otrzymamy:
$$P(r)=2\pi r\cdot(10-2r) \\
P(r)=20\pi r-4\pi r^2$$

Krok 3. Wyznaczenie dziedziny funkcji \(P\).
Promień walca musi być liczbą dodatnią, zatem \(r\gt0\). Dodatnia musi być też wysokość walca, zatem:
$$10-2r\gt0 \\
-2r\gt-10 \\
r\lt5$$

Łącząc oba warunki otrzymujemy dziedzinę funkcji:
$$r\in(0;5)$$

Krok 4. Obliczenie promienia, dla którego pole powierzchni bocznej jest największe.
Funkcja \(P(r)=-4\pi r^2+20\pi r\) jest funkcją kwadratową o współczynnikach \(a=-4\pi,\;b=20\pi,\;c=0\). Współczynnik \(a\) jest ujemny, zatem parabola ma ramiona skierowane do dołu, a to oznacza, że funkcja przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli. Obliczmy pierwszą współrzędną wierzchołka:
$$r=\frac{-b}{2a} \\
r=\frac{-20\pi}{2\cdot(-4\pi)} \\
r=\frac{-20\pi}{-8\pi} \\
r=\frac{20}{8} \\
r=\frac{5}{2}$$

Otrzymana wartość należy do dziedziny funkcji, bo \(\frac{5}{2}\in(0;5)\), zatem pole powierzchni bocznej jest największe dla promienia \(r=\frac{5}{2}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wysokość walca w zależności od promienia, czyli \(h=10-2r\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji \(P\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz dziedzinę funkcji \(P\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik, czyli wzór i dziedzinę funkcji \(P\) oraz promień, dla którego pole powierzchni bocznej jest największe (patrz: Krok 4.).