Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2025 (stara matura) – Odpowiedzi

Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}}\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{192}\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Liczba \(log_{3}2-log_{3}18\) jest równa:

Zadanie 4. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) wartość wyrażenia \((3x+y)^{2}-(3x-y)^{2}\) jest równa wartości wyrażenia:

Zadanie 5. (1pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3-x>\frac{5x-1}{2}\) jest przedział:

Zadanie 6. (1pkt) Suma wszystkich rozwiązań równania \((3x-12)(10+5x)(x-3)=0\) jest równa

Zadanie 7. (1pkt) Miejscem zerowym funkcji liniowej \(g\) jest liczba \(-3\). Dla argumentu \(0\) funkcja \(g\) przyjmuje wartość \(-\frac{3}{2}\). Funkcja \(g\) jest określona wzorem

Zadanie 8. (1pkt) Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).


Wartość wyrażenia \(f(-2)+3\cdot f(2)\) jest równa

Zadanie 9. (1pkt) Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).


Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

Zadanie 10. (1pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+bx+c,\) gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(6\). W układzie współrzędnych \((x, y)\) prosta o równaniu \(x=1\) jest osią symetrii wykresu funkcji \(f\). Współczynnik \(b\) jest równy:

Zadanie 11. (1pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+bx+c,\) gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(6\). W układzie współrzędnych \((x, y)\) prosta o równaniu \(x=1\) jest osią symetrii wykresu funkcji \(f\). Funkcja \(f\) jest określona wzorem

Zadanie 12. (1pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+bx+c,\) gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(6\). W układzie współrzędnych \((x, y)\) prosta o równaniu \(x=1\) jest osią symetrii wykresu funkcji \(f\). Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x-3)\). Osią symetrii wykresu funkcji \(g\) jest prosta o równaniu

Zadanie 13. (1pkt) Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Różnica tego ciągu jest równa \(-4\) oraz \(a_{10} = -24\). Szósty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Zadanie 14. (1pkt) Ciąg geometryczny \((a_n)\), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od \(0\), jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(a_3 = -8 \cdot a_6\). Iloraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Zadanie 15. (1pkt) Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(cos\alpha=\frac{5}{13}\). Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Zadanie 16. (1pkt) Liczba \(sin 30° \cdot cos 60° + sin 60° \cdot cos 30°\) jest równa

Zadanie 17. (1pkt) Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\) i o promieniu \(36\). Punkt \(S\) leży na odcinku \(BD\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(40°\), a kąt \(DBC\) ma miarę \(65°\) (zobacz rysunek).


Miara kąta ostrego \(BSA\) jest równa

Zadanie 18. (1pkt) Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\) i o promieniu \(36\). Punkt \(S\) leży na odcinku \(BD\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(40°\), a kąt \(DBC\) ma miarę \(65°\) (zobacz rysunek).


Długość łuku \(BC\), na którym jest oparty kąt wpisany \(CDB\), jest równa

Zadanie 19. (1pkt) Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) takich, że \(|AB| = 2 \cdot |CD|\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).


Pole trójkąta \(CDE\) jest równe \(2\), a pole trójkąta \(BCE\) jest równe \(4\). Pole trójkąta \(AED\) jest równe

Zadanie 20. (1pkt) Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) takich, że \(|AB| = 2 \cdot |CD|\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).


Pole trójkąta \(CDE\) jest równe \(2\), a pole trójkąta \(BCE\) jest równe \(4\). Pole trójkąta \(ABE\) jest równe

Zadanie 21. (1pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB| = 6\), \(|AC| = 4\) oraz \(|\sphericalangle CAB| = 60°\) (zobacz rysunek).


Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Zadanie 22. (1pkt) W układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami
\(k: y = (3 - m)x + 5\)
\(l: y = (m + 3)x - 4\)
Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa

Zadanie 23. (1pkt) Każda ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkątem równobocznym o boku długości \(8\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Zadanie 24. (1pkt) Objętość walca o promieniu podstawy \(2\) jest równa \(16\pi^2\). Wysokość tego walca jest równa

Zadanie 25. (1pkt) Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(500\), w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest

Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(-3x^2\gt6x-9\)

Zadanie 27. (2pkt) Wykaż, że liczba \(8^{50} - 2^{145}\) jest podzielna przez \(31\).

Zadanie 28. (2pkt) Rozwiąż równanie \(\frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8}\), gdzie \(x \neq \frac{7}{3}\) i \(x \neq 8\).

Zadanie 29. (2pkt) Właściciel restauracji kupił \(75\) kilogramów pomidorów: \(x\) kg pomidorów malinowych w cenie \(11\) złotych za kilogram oraz \(y\) kg pomidorów cherry w cenie \(7,98\) złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie \(752,52\) złotych.
Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.

Zadanie 30. (2pkt) W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu \(2025\) roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie.
Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.


Oblicz średnią arytmetyczną oraz medianę liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów.

Zadanie 31. (2pkt) Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez \(3\).

Zadanie 32. (4pkt) Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{32\cdot (-1)^n}{2^{n-1}}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Trzywyrazowy ciąg \((x, a_6, 2x + 10)\), gdzie \(x\) jest liczbą rzeczywistą, jest arytmetyczny.
Oblicz \(x\) oraz różnicę tego ciągu arytmetycznego.

Zadanie 33. (4pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\). Wysokość podstawy \(ABC\) jest równa \(2\sqrt{3}\). Przekątna \(AE\) ściany bocznej \(ABED\) tworzy z krawędzią \(AB\) kąt o mierze \(60°\) (zobacz rysunek).


Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Zadanie 34. (5pkt) W układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są punkty \(A = (-4, 7)\) oraz \(B = (12, 3)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(C\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(D\).
Oblicz współrzędne punktów \(C\) i \(D\) oraz pole trójkąta \(ACD\).