Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2025 – Odpowiedzi

C

\(\sqrt{5}\) to w przybliżeniu \(2,24\), a to sprawia, że pod pierwszą wartością bezwzględną mamy ujemny wynik, za to pod drugą wartością ten wynik będzie dodatni. To oznacza, że chcąc opuścić wartości bezwzględne, musimy zmienić znaki liczb pod pierwszą wartością i przepisać to, co jest pod drugą. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$|\sqrt{5}-3|+|\sqrt{5}-1|=-\sqrt{5}+3+\sqrt{5}-1=2$$

D

Korzystając z własności działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\frac{25^{-2}}{125^{-4}}=\frac{(5^2)^{-2}}{(5^3)^{-4}}= \\
=\frac{5^{-4}}{5^{-12}}=5^{-4}:5^{-12}=5^{4-(-12)}=5^8$$

C

Korzystając z własności działań na pierwiastkach, otrzymamy:
$$\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{192}=\sqrt[3]{8\cdot3}+\sqrt[3]{64\cdot3}=2\sqrt[3]{3}+4\sqrt[3]{3}=6\sqrt[3]{3}$$

A

Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$log_{3}2-log_{3}18=log_{3}\left(\frac{1}{9}\right)=-2$$

Jeżeli nie umiemy podać z pamięci wartości \(log_{3}\frac{1}{9}\), to możemy standardowo zapisać, że rozwiązaniem tego logarytmu jest \(x\) i całość wyglądałaby w ten oto sposób:
$$log_{3}\frac{1}{9}=x \quad\Longleftrightarrow\quad 3^x=\frac{1}{9}$$

Teraz sprowadzając potęgi do jednakowej podstawy, otrzymamy:
$$3^x=\frac{1}{9} \\
3^x=3^{-2} \\
x=-2$$

Wykazano, zapisując liczbę w postaci \(31\cdot2^{145}\).

Naszą liczbę możemy rozpisać w następujący sposób:
$$8^{50}-2^{145}=(2^3)^{50}-2^{145}=2^{150}-2^{145}$$

Otrzymaliśmy odejmowanie potęg o jednakowych podstawach. Teraz moglibyśmy rozbić liczbę \(2^{150}\) na iloczyn \(2^{5}\cdot2^{145}\). Z kolei dla lepszego zobrazowania można też byłoby rozpisać \(2^{145}\) jako \(1\cdot2^{145}\). To doprowadzi nas do następującej sytuacji:
$$2^{150}-2^{145}=2^{5}\cdot2^{145}-1\cdot2^{145}=32\cdot2^{145}-1\cdot2^{145}=31\cdot2^{145}$$

Otrzymaliśmy w ten sposób iloczyn dwóch liczb całkowitych, z czego jedna jest równa właśnie \(31\). To oznacza, że nasza liczba jest podzielna przez \(31\), co należało udowodnić.

A

W zadaniu musimy umiejętnie skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Przy okazji musimy uważać na znaki podczas upraszczania zapisu. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$(3x+y)^2-(3x-y)^2=9x^2+6xy+y^2-(9x^2-6xy+y^2)= \\
=9x^2+6xy+y^2-9x^2+6xy-y^2=12xy$$

A

Rozwiązując nierówność musimy pamiętać o tym, by zmienić znak na przeciwny gdy będziemy mnożyć lub dzielić obydwie strony przez liczbę ujemną. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$3-x\ge\frac{5x-1}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
6-2x\ge5x-1 \\
-7x\ge-7 \quad\bigg/:(-1) \\
x\le1$$

To oznacza, że rozwiązania naszej nierówności mieszczą się w przedziale \((-\infty,1]\).

\(x=\frac{4}{3}\)

Krok 1. Rozpisanie równania.
Tego typu równania najprościej jest rozwiązywać wykonując tzw. mnożenie na krzyż, zatem:
$$\frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8} \\
3\cdot(x-8)=(3x-7)\cdot5x \\
3x-24=15x^2-35x \\
-15x^2+38x-24=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, zatem przy rozwiązaniu możemy posłużyć się deltą:

Współczynniki: \(a=-15,\;b=38,\;c=-24\)
$$Δ=b^2-4ac=38^2-4\cdot(-15)\cdot(-24)=1444-1440=4 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-38-2}{2\cdot(-15)}=\frac{-40}{-30}=\frac{4}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-38+2}{2\cdot(-15)}=\frac{-36}{-30}=\frac{6}{5}$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Celem zadania jest podanie które z otrzymanych rozwiązań mieści się w przedziale \((\frac{5}{4},+\infty)\), czyli które rozwiązanie tak naprawdę jest większe od \(1,25\). Taką liczbą będzie tylko \(\frac{4}{3}\) (bo jest to w przybliżeniu \(1,33\)), zatem jedynym rozwiązaniem do tego zadania będzie \(x=\frac{4}{3}\).

\(x\in(-3,1)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Rozwiązywanie nierówności rozpoczynamy od przeniesienia wyrazów na lewą stronę, otrzymując następującą sytuację:
$$-3x^2\gt6x-9 \\
-3x^2-6x+9\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-3,\;b=-6,\;c=9\)
$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot(-3)\cdot9=36-(-108)=144 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-12}{2\cdot(-3)}=\frac{6-12}{-6}=\frac{-6}{-6}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+12}{2\cdot(-3)}=\frac{6+12}{-6}=\frac{18}{-6}=-3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-3\) oraz \(x=1\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:

--rysunek dodam później---

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości większych od zera, czyli tych które znajdują się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$$x\in(-3,1)$$

C

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Podane równanie jest zapisane w postaci iloczynowej, zatem aby lewa strona równania była równa \(0\), to któryś z nawiasów musi być równy \(0\). W związku z tym możemy zapisać, że:
$$3x-12=0 \quad\lor\quad 10+5x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \\
3x=12 \quad\lor\quad 5x=-10 \quad\lor\quad x=3 \\
x=4 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x=3$$

Krok 2. Obliczenie sumy rozwiązań.
Suma rozwiązań tego równania jest zatem równa:
$$4+(-2)+3=5$$

\(51 kg\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści wynika, że łącznie wszystkich pomidorów było \(75kg\), więc możemy zapisać, że:
$$x+y=75$$

Dodatkowo bazując na cenie pomidorów i łącznym ich koszcie zakupu możemy zapisać, że:
$$11x+7,98y=752,52$$

Bazując na tych dwóch równaniach możemy stworzyć prosty układ równań:
\begin{cases}
x+y=75 \\
11x+7,98y=752,52
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Nasz układ możemy rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie chyba wykorzystać metodę podstawiania. Z pierwszego równania wynika wprost, że \(y=75-x\), zatem podstawiając to wyrażenie do drugiego równania, otrzymamy:
$$11x+7,98\cdot(75-x)=752,52 \\
11x+598,5-7,98x=752,52 \\
3,02x=154,02 \\
x=51$$

Przez \(x\) oznaczono liczbę kilogramów pomidorów malinowych, a to oznacza, że właściciel kupił \(51kg\) pomidorów malinowych.

A

Krok 1. Zapisanie układu równań.
Funkcję liniową zapisujemy w postaci typu \(y=ax+b\). Celem zadania jest wyznaczenie wzoru funkcji, która przechodzi przez dwa znane nam punkty. Z pierwszego zdania wynika, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((-3,0)\), natomiast z drugiego zdania wynika, że przechodzi także przez punkt o współrzędnych \(\left(0,-\frac{3}{2}\right)\). Podstawiając więc do postaci \(y=ax+b\) współrzędne raz jednego, raz drugiego punktu, otrzymamy taki oto układ równań do rozwiązania:
\begin{cases}
0=-3a+b \\
-\frac{3}{2}=0a+b
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Z drugiego równania wprost wynika, że \(b=-\frac{3}{2}\), zatem brakuje nam już tylko znajomości współczynnika \(a\). Poznamy go, gdy podstawimy wyznaczone \(b\) do pierwszego równania, zatem:
$$0=-3a-\frac{3}{2} \\
3a=-\frac{3}{2} \\
a=-\frac{1}{2}$$

Tym samym wzorem tej funkcji liniowej będzie \(y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\).

C

Chcąc obliczyć szósty wyraz tego ciągu wystarczy podstawić \(n=6\) do wzoru, zatem:
$$a_{6}=\frac{32\cdot (-1)^6}{2^{6-1}} \\
a_{6}=\frac{32\cdot1}{2^{5}} \\
a_{6}=\frac{32}{32} \\
a_{6}=1$$

B

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że:
$$a_{10}=a_{6}+4r$$

Podstawiając teraz dane z treści zadania do powyższego równania, otrzymamy:
$$-24=a_{6}+4\cdot(-4) \\
-24=a_{6}-16 \\
a_{6}=-8$$

B

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że:
$$a_{6}=a_{3}\cdot q^3$$

Z treści zadania wynika, że \(a_{3}=-8\cdot a_6\), zatem korzystając z wcześniej zapisanej własności, otrzymamy:
$$a_{3}=-8\cdot(a_{3}\cdot q^3) \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{1}{8}\right) \\
-\frac{1}{8}a_{3}=a_{3}\cdot q^3 \quad\bigg/:a_{3} \\
-\frac{1}{8}=q^3 \\
q=-\frac{1}{2}$$

B

Krok 1. Obliczenie przybliżonej wartości liczby \(x\).
Znając wartości dwóch pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, możemy stwierdzić, że różnica ciągu wynosi:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=1-\sqrt{5} \\
r\approx-1,24$$

Tym samym możemy stwierdzić, że trzeci wyraz, zapisany jako \(x\), jest równy w przybliżeniu \(1-1,24\approx-0,24\). Jest to wartość ujemna, zatem \(x\lt0\).

Krok 2. Obliczenie przybliżonej wartości liczby \(y\).
Znając wartości dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, możemy stwierdzić, że iloraz ciągu wynosi:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{1}{\sqrt{5}} \\
q=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \\
q=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

Tym samym możemy stwierdzić, że trzeci wyraz, zapisany jako \(y\), jest równy:
$$a_{3}=a_{2}\cdot q \\
y=1\cdot\frac{\sqrt{5}}{5} \\
y=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

Otrzymana wartość jest dodatnia, zatem \(y\gt0\).

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro \(cos\alpha=\frac{5}{13}\) to możemy stwierdzić, że przyprostokątna leżąca przy kącie \(\alpha\) ma długość \(5x\), natomiast przeciwprostokątna ma długość \(13x\). Tym samym moglibyśmy od razu dostrzec (lub obliczyć z twierdzenia Pitagorasa), że druga przyprostokątna będzie miała długość \(12x\).
--rysunek dodam później--

Krok 2. Obliczenie tangensa kąta \alpha.
Tangens opisuje stosunek między dwoma przyprostokątnymi, zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{12x}{5x}=\frac{12}{5}$$

D

Korzystając z tzw. "małej tabelki" trygonometrycznej możemy odczytać wszystkie potrzebne wartości sinusów oraz cosinusów, a tym samym wartość naszego wyrażenia będzie równa:
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}= \\
=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Spójrzmy na trójkąty \(ACD\) oraz \(BCD\). Obydwa te trójkąty mają jednakową podstawę \(CD\) i mają tą samą wysokość. To prowadzi nas do wniosku, że tym samym pola tych dwóch trójkątów muszą być jednakowe. Skoro tak, to moglibyśmy zauważyć, że na pole trójkąta \(ACD\) składają się pola dwóch trójkątów, czyli \(AED\) oraz \(ECD\), z kolei na pole trójkąta \(BCD\) składa się pole trójkąta \(BCD\) oraz ponownie \(ECD\). Moglibyśmy więc ułożyć równanie:
$$P_{ACD}=P_{BCD} \\
P_{AED}+P_{ECD}=P_{BCD}+P_{ECD} \\
P_{AED}=P_{BCD}$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Trójkąty \(ABE\) oraz \(CDE\) są trójkątami podobnymi (wynika to z cechy kąt-kąt-kąt). Skoro bok \(AB\) jest \(2\) razy dłuższy od boku \(CD\), to moglibyśmy ustalić, że skala podobieństwa tych trójkątów wynosi \(k=2\). Z własności trójkątów podobnych wiemy, że gdy trójkąt ma boki \(k\) razy większe, to pole tego trójkąta będzie \(k^2\) razy większe. Tym samym moglibyśmy stwierdzić, że pole trójkąta \(ABE\) będzie \(4\) razy większe, zatem zdanie jest fałszem.

\(0\)

Proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). W naszym przypadku oznaczałoby to, że musimy sprawdzić kiedy \(3-m\) będzie równe \(m+3\), zatem musimy rozwiązać następujące równanie:
$$3-m=m+3 \\
-2m=0 \\
m=0$$

To oznacza, że te dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy \(m=0\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Odczytanie współrzędnych środka okręgu i promienia okręgu.
Okrąg o środku w punkcie \(S=x_{S}, y_{S}\) i promieniu \(r\) możemy opisać równaniem:
$$(x-x_{S})^2+(y-y_{S})^2=r^2$$

W takim razie możemy z treści zadania odczytać współrzędne środka okręgu \(\mathcal{O}\):
$$(x-1)^2+(y+3)^2=4 \\
(x-1)^2+(y-(-3))^2=2^2$$

Widzimy wyraźnie, że środkiem będzie punkt \(S=(1,-3)\), z kolei promień okręgu jest równy \(r=2\). Nasz okrąg będzie więc wyglądał następująco:
---rysunek dodam później---

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Skoro współrzędna \(y\) środka okręgu jest równa \(-3\), a promień okręgu to \(r=2\), to okrąg "nie dojdzie" do osi \(Ox\), stąd też nie będzie miał on z tą osią punktów wspólnych, co widać zresztą na rysunku. Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Na rysunku pomocniczym bardzo dobrze widać, że ten okrąg będzie miał rzeczywiście dwa punkty wspólne z osią \(Oy\), zatem zdanie jest prawdą.

\(V=48\) oraz \(P_{c}=56\sqrt{3}\)

Krok 1. Oblicznie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to graniatosłup prawidłowy trójkątny, to wiemy iż w jego podstawie znajduje się trójkąt równoboczny. Z rysunku wynika, że ten trójkąt ma wysokość równą \(2\sqrt{3}\). Korzystając zatem ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, możemy zapisać, że:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
2\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
4\sqrt{3}=a\sqrt{3} \\
a=4$$

Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABE\). Jest to trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Obliczyliśmy przed chwilą, że ta dolna przyprostokątna ma długość \(4\), zatem korzystając z własności tego trójkąta możemy stwierdzić, że ta dłuższa przyprostokątna będzie mieć długość \(\sqrt{3}\) razy większą, czyli że tym samym \(H=4\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie znajduje się trójkąt równoboczny o boku \(a=4\), zatem korzystając ze wzoru na pole takiego trójkąta możemy stwierdzić, że:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{16\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=4\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa, możemy zapisać, że:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=4\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3} \\
V=16\cdot3 \\
V=48$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Na pole powierzchni całkowitej składają się dwa pola podstawy oraz trzy ściany boczne, które są prostokątami o bokach \(4\times4\sqrt{3}\). Skoro tak, to:
$$P_{c}=2\cdot4\sqrt{3}+3\cdot4\cdot4\sqrt{3} \\
P_{c}=8\sqrt{3}+48\sqrt{3} \\
P_{c}=56\sqrt{3}$$

D

Korzystając ze wzoru na objętość walca, możemy zapisać, że:
$$V=\pi r^2\cdot H \\
16\pi^2=\pi 2^2\cdot H \\
16\pi^2=4\pi\cdot H \\
H=4\pi$$

C

Zastanówmy się, na ile możliwych sposobów możemy uzupełnić każdą z cyfr naszej liczby, tak aby pojawiły się tutaj tylko cyfry nieparzyste i by liczba była większa od \(500\).
· W rzędzie setek może pojawić się jedna z trzech cyfr: \(5, 7\) lub \(9\) (bo liczba ma być większa od \(500), zatem mamy tutaj \(3\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· W rzędzie dziesiątek może pojawić się jedna z pięciu cyfr: \(1, 3, 5, 7\) lub \(9\), zatem mamy tutaj \(5\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· W rzędzie jedności może pojawić się jedna z pięciu cyfr: \(1, 3, 5, 7\) lub \(9\), zatem mamy tutaj \(5\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$3\cdot5\cdot5=75$$

\(p=\frac{1}{6}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W każdym rzucie może wypaść jeden z sześciu wyników. Skoro rzucamy kostką dwukrotnie, to zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których otrzymamy liczbę nieparzystą, podzielną przez \(3\). Takich zdarzeń wbrew pozorom nie jest wiele (zwłaszcza, że cyfrą jedności może być tylko \(1\), \(3\) lub \(5\)), zatem wypiszmy te możliwości:
$$15, 21, 33, 45, 51, 63$$

To oznacza, że tylko \(6\) przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

1. \(1\)
2. \(2\)
3. \(125\%\)

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Dominanta to wynik, który w danym zdarzeniu występuje najczęściej. Widzimy, że najczęściej mieliśmy jedną usterkę, stąd też dominanta jest tutaj równa \(1\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Średnia arytmetyczna będzie równa:
$$śr=\frac{16\cdot1+10\cdot2+6\cdot3+2\cdot4+2\cdot5}{16+10+6+2+2} \\
śr=\frac{16+20+18+8+10}{36} \\
śr=\frac{72}{36} \\
śr=2$$

Krok 3. Rozwiązanie trzeciej części zadania.
Przynajmniej dwie usterki wykryto w \(10+6+2+2=20\) samochodach. Jedna usterka wystąpiła w \(16\) samochodach. To oznacza, że liczba samochodów z przynajmniej dwoma usterkami stanowi \(\frac{20}{16}=125\%\) liczby samochodów z jedną usterką.

\(260 zł\)

Krok 1. Ustalenie, kiedy dzienny przychód będzie największy.
\(P(x)\) jest funkcją kwadratową, która jest zapisana w postaci iloczynowej \(P(x)=(80-x)(120+5x)\). Wykres tej funkcji będzie parabolą z ramionami skierowanymi do dołu (dobrze to widać w momencie, gdy wymnożymy przez siebie nawiasy - otrzymalibyśmy wtedy postać ogólną, w której na początku znajdzie się \(-x^2\)). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku.
--rysunek dodam później---

Musimy więc ustalić jaka jest pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, czyli musimy obliczyć \(p\). Mamy tak naprawdę dwie możliwości. Możemy wymnożyć przez siebie te dwa nawiasy, uporządkować cały zapis do postaci ogólnej i z niej wyliczyć tę współrzędną za pomocą wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). Ale możemy postąpić jeszcze sprytniej - z postaci iloczynowej bardzo łatwo możemy wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji (wystarczy przyrównać nawiasy do zera), a z własności parabol wiemy, że współrzędna \(p\) będzie średnią arytmetyczną tych miejsc zerowych. I zastosujmy może to drugie podejście skoro jest taka okazja.

Obliczmy zatem miejsca zerowe, czyli sprawdźmy, kiedy \((80-x)(120+5x)=0\). Jest to równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, więc przyrównujemy nawiasy do zera:
$$80-x=0 \quad\lor\quad 120+5x=0 \\
x=80 \quad\lor\quad 5x=-120 \\
x=80 \quad\lor\quad x=-24$$

Tym samym współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli będzie równa:
$$p=\frac{80+(-24)}{2} \\
p=\frac{56}{2} \\
p=28$$

To oznacza, że przychód będzie największy, gdy \(x=28\).

Krok 2. Usalenie ceny wynajęcia jednoosobowego pokoju.
Wiemy już, że przychód będzie największy, gdy hotel wykona \(28\) podwyżek o \(5 zł\) (czyli obrazowo rzecz ujmując, gdy hotel zostawi \(28\) pokoi pustych). Każdy niewynajęty pokój zwiększa cenę za dobę hotelową o \(5 zł\), zatem ta cena powinna wzrosnąć o:
$$28\cdot5=140 zł$$

Cena wyjściowa wynosiła \(120 zł\), zatem ostateczna cena wynajęcia pokoju powinna wynieść:
$$120zł+140zł=260zł$$