Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2024

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy naszą liczbę rozpisać w następujący sposób:
$$(2n+5)^2+3=4n^2+20n+25+3=4n^2+20n+28=4\cdot(n^2+5n+7)$$

Teraz powinniśmy dostrzec, że \(n^2+5n+7\) będzie sumą trzech liczb naturalnych, czyli wartość tego całego nawiasu jest dodatnia. Stojąca przed nawiasem czwórka informuje nas więc, że ta cała liczba będzie podzielna przez \(4\), a to co jest w nawiasie będzie po prostu wynikiem tego dzielenia, co należało wykazać.

W każdym podanym przykładzie mamy po lewej stronie jednakową sumę logarytmów, a celem naszego zadania jest tak naprawdę umiejętne wykorzystanie własności działań na potęgach i rozpisanie tej wartości na dwa różne sposoby. Sumę naszych logarytmów moglibyśmy rozpisać jako:
$$log_{2}16+log_{2}9=log_{2}144=log_{2}(16\cdot9)=log_{2}144$$

I taki wynik mamy w odpowiedzi C. Ale ten sam przykład moglibyśmy rozwiązać nieco inaczej. Moglibyśmy po prostu wyliczyć osobno wartości każdego z tych logarytmów (zwłaszcza z tego pierwszego logarytmu otrzymamy ładny wynik, bo skoro \(2^4=16\) to tym samym \(log_{2}16=4\)), co sprawi iż otrzymamy taką oto sytuację:
$$log_{2}16+log_{2}9=4+log_{2}3^2=4+2\cdot log_{2}3$$

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$x^3+5x^2-2x-10=0 \\
x^2(x+5)-2(x+5)=0 \\
(x^2-2)\cdot(x+5)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-2=0 \quad\lor\quad x+5=0 \\
x^2=2 \quad\lor\quad x=-5 \\
x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-5$$

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Wartości funkcji odczytujemy z wiersza \(y\). Widzimy, że taką największą wartością przyjmowaną przez naszą funkcję będzie \(y=5\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Z tabelki wynika, że taka sytuacja ma miejsce dla \(x=4\).

Krok 1. Ustalenie miary kąta \(\alpha\).
W tym zadaniu trzeba było skorzystać z rzadko stosowanej własności wzorów funkcji liniowych. Współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \(Ox\). Mówiąc wprost, z własności funkcji liniowych wynika, że:
$$tg\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że tangens przyjmuje taką wartość dla kąta o mierze \(30°\).

Krok 2. Obliczenie wartości sinusa.
Celem zadania jest podanie sinusa naszego kąta, czyli w tym przypadku sinusa kąta \(30°\). Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(sin30°\) jest równy \(\frac{1}{2}\) i taka też będzie nasza odpowiedź.

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i ustalenie skali podobieństwa.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąty \(ABE\) oraz \(DCE\) są trójkątami podobnymi na podstawie cechy kąt-kąt-kąt (mają one jednakowy kąt przy wierzchołku \(E\) oraz są trójkątami prostokątnymi, więc i miara trzeciego kąta jest jednakowa). Wiemy, że analogiczne dwa boki mają długości odpowiednio: \(12\) oraz \(6\), więc jeśli przyjmiemy, że mniejszy trójkąt \(DCE\) jest trójkątem podstawowym, a większy \(ABE\) jest podobnym, to skala podobieństwa będzie równa:
$$k=\frac{12}{6} \\
k=2$$

Oczywiście moglibyśmy też przyjąć to podobieństwo na odwrót, co sprawiłoby, że \(k=\frac{1}{2}\) i wtedy konsekwentnie trzeba byłoby właśnie tę skalę brać do dalszych obliczeń.

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AE\).
Ustaliliśmy już, że większy trójkąt ma boki \(2\) razy większe od mniejszego. Jeśli więc oznaczylibyśmy bok \(DE\) jako \(x\), to bok \(AE\) miałby długość \(2x\). Z treści zadania wynika, że suma tych boków jest równa \(24\), zatem:
$$x+2x=24 \\
3x=24 \\
x=8$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(|DE|=8\) oraz \(|AE|=2\cdot8=16\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BE\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABE\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długości dwóch boków: \(12\) oraz \(16\). Poszukiwany bok \(BE\) jest przeciwprostokątną tego trójkąta, zatem z pomocą przyjdzie nam twierdzenie Pitagorasa:
$$12^2+16^2=|BE|^2 \\
144+256=|BE|^2 \\
400=|BE|^2 \\
|BE|=20 \quad\lor\quad |BE|=-20$$

Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam \(|BE|=20\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie przynajmniej szkic tej całej sytuacji, tak aby potem mieć lepszy obraz tego co trzeba będzie za chwilę policzyć. Sytuacja z treści zadania wygląda mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Punkt A jest miejscem przecięcia się dwóch prostych podanych w treści zadania. Z geometrycznej interpretacji układu równań wynika, że poznamy współrzędne punkt \(A\) w momencie, gdy rozwiążemy następujący układ równań:
\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x-1 \\
y=2x-4
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy następujące równanie:
$$\frac{1}{2}x-1=2x-4 \\
-1,5x-1=-4 \\
-1,5x=-3 \\
x=2$$

Znamy już pierwszą współrzędną punktu \(A\). Aby poznać drugą współrzędną, wystarczy podstawić obliczone przed chwilą \(x=2\) do jednego z równań z układu, np. do drugiego:
$$y=2\cdot2-4 \\
y=4-4 \\
y=0$$

To oznacza, że \(A=(2;0)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, więc punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\). Znamy współrzędne punktu \(A\), znamy też współrzędne środka \(S\), więc z poznaniem współrzędnych punktu \(C\) pomoże nam wzór na środek odcinka:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Znając współrzędne obydwu punktów wystarczy podstawić te dane do wzoru. Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
9=\frac{2+x_{C}}{2} \\
18=2+x_{C} \\
x_{C}=16 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
11=\frac{0+y_{C}}{2} \\
y_{C}=22$$

To oznacza, że \(C=(16;22)\).

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Prosta \(BC\) będzie prostą równoległą do \(AD\), która będzie przechodzić przez wyznaczony przed chwilą punkt \(C\). Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Skoro prosta \(AD\) wyraża się równaniem \(y=2x-4\) to prosta \(BC\) będzie wyrażać się równaniem \(y=2x+b\). Brakujący współczynnik \(b\) poznamy podstawiając do tego wyrażenia współrzędne punktu \(C=(16;22)\), zatem:
$$22=2\cdot16+b \\
22=32+b \\
b=-10$$

Tym samym prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=2x-10\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Punkt B będzie miejscem przecięcia się prostej \(AB\) oraz wyznaczonej przed chwilą prostej \(BC\). Musimy więc postąpić podobnie jak przy wyznaczeniu współrzędnych punktu \(A\), czyli rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x-1 \\
y=2x-10
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x-1=2x-10 \\
-1,5x-1=-10 \\
-1,5x=-9 \\
x=6$$

Aby poznać drugą współrzędną punktu \(B\), wystarczy podstawić \(x=6\) do jednego z równań z układu, np. drugiego:
$$y=2\cdot6-10 \\
y=12-10 \\
y=2$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(B=(6;2)\).

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy jedną z pięciu liczb z pierwszego zbioru i jedną z trzech liczb drugiego wzoru, zatem zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot3=15\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Chcemy, by suma wylosowanych liczb była większa od \(9\). Wypiszmy zatem pasujące pary liczb, które taką sumę dadzą. Nie będzie to trudne, bo wystarczy zauważyć, że z liczbami \(0\), \(4\) oraz \(5\) nie utworzymy żadnej takiej pary.
$$(7,3); (9,1); (9,2); (9,3)$$

Są więc tylko \(4\) takie pary, a to oznacza, że \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{15}$$

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że suma dwóch liczb ma być równa \(12\), czyli:
$$x+y=12 \\
y=12-x$$

Dodatkowo od razu możemy zapisać założenia do naszego zadania. Liczby muszą być nieujemne, a jednocześnie ich suma jest równa \(12\), więc każda z tych liczb musi być większa lub równa \(0\) i jednocześnie mniejsza lub równa \(12\). Zapisalibyśmy więc założenie, że \(x\in\langle0;12\rangle\) oraz \(y\in\langle0;12\rangle\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(f(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie wartości wyrażenia z użyciem jednej zmiennej, czyli zmiennej \(x\). Aby tego dokonać, wystarczy podstawić wyznaczone \(y=12-x\) do wyrażenia \(2x^2+y^2\), otrzymując:
$$2x^2+(12-x)^2= \\
=2x^2+144-24x+x^2= \\
=3x^2-24x+144$$

Teraz całość musimy potraktować jako funkcję kwadratową, więc moglibyśmy zapisać, że \(f(x)=3x^2-24x+144\).

Krok 3. Wyznaczenie wartości \(x\) oraz \(y\).
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik kierunkowy \(a=3\) jest większy od zera.


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) ta wartość będzie najmniejsza, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do góry osiągnie swoją najmniejszą wartość w wierzchołku. Aby obliczyć tę wartość, musimy skorzystać ze wzoru na współrzędną \(x_{W}\) (często oznaczaną też jako \(p\)):
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-(-24)}{2\cdot3} \\
x_{W}=\frac{24}{6} \\
x_{W}=4$$

To oznacza, że najmniejsza wartość będzie przyjmowana wtedy, gdy \(x=4\). Od razu możemy obliczyć jaka będzie wartość \(y\). W tym celu wystarczy skorzystać z równania zapisanego w pierwszym kroku, czyli:
$$y=12-4 \\
y=8$$

Krok 4. Wyznaczenie najmniejszej wartości.
Największą pułapką tego zadania jest to, że obliczona przed chwilą wartość \(y=8\) to nie jest najmniejsza wartość funkcji. Musimy zwrócić uwagę, że \(x\) oraz \(y\) to liczby, dla których ta najmniejsza wartość jest przyjmowana, więc trzeba byłoby teraz podstawić \(x=4\) oraz \(y=8\) do tego wyrażenia i sprawdzić jaki wynik otrzymamy:
$$2\cdot4^2+8^2=2\cdot16+64=32+64=96$$

Równie dobrze można byłoby skorzystać z naszej funkcji \(f(x)=3x^3-24x+144\) i obliczyć \(f(4)\), co wyglądałoby następująco:
$$f(4)=3\cdot4^2-24\cdot4+144 \\
f(4)=3\cdot16-96+144 \\
f(4)=48-96+144 \\
f(4)=96$$