Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2024 (stara matura) – Odpowiedzi

B

Obniżenie ceny od \(20\%\) sprawia, że mamy \(80\%\) ceny początkowej, czyli zapisując to w ułamku dziesiętnym będzie to \(0,8\) początkowej wartości. Skoro mamy dwie takie obniżki, to nowa cena komputera będzie równa:
$$0,8\cdot0,8\cdot2950=1888$$

Ewentualnie możemy sobie całość rozpisać w następujący spososób:
Początkowa cena: \(2950\)
Cena po pierwszej obniżce: \(0,8\cdot2950=2360\)
Cena po drugiej obniżce: \(0,8\cdot2360=1888\)

C

Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\left(\frac{4}{25}\right)^{-0,5}=\left(\frac{4}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}= \\
=\left(\frac{25}{4}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2,5$$

B

Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$log_{2}40-log_{2}5=log_{2}\frac{40}{5}=log_{2}8=3$$

Jeśli nie umiemy podać z pamięci wartości \(log_{2}8\), to możemy standardowo zapisać, że rozwiązaniem tego logarytmu jest \(x\) i całość wyglądałaby w ten oto sposób:
$$log_{2}8=x \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x=8$$

Teraz sprowadzając potęgi do jednakowej podstawy, otrzymamy:
$$2^x=8 \\
2^x=2^3 \\
x=3$$

B

W zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Aby lepiej zobrazować sobie sposób rozwiązywania, wystarczy skorzystać z przemienności dodawania w drugim nawiasie i zamienić te składniki miejscami. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$(\sqrt{8}-\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{8})=(\sqrt{8}-\sqrt{2})(\sqrt{8}+\sqrt{2})= \\
=(\sqrt{8})^2-(\sqrt{2})^2=8-2=6$$

D

Jednym z pierwszych kroków jaki powinniśmy poczynić przy rozwiązywaniu takich nierówności jest pozbycie się samej formy ułamka. W tym celu trzeba będzie przemnożyć obydwie strony nierówności przez \(17\), a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{3(6-x)}{17}\le3 \\
\frac{18-3x}{17}\le3 \\
18-3x\le51 \\
-3x\le33 \quad\bigg/:(-3) \\
x\ge-11$$

Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną trzeba było zmienić znak na przeciwny. Otrzymany wynik oznacza, że interesują nas liczby, które są większe lub równe \(-11\), więc poszukiwanym przedziałem rozwiązań będzie \(\langle-11,+\infty)\).

D

Krok 1. Zapisanie założeń.
Mamy równanie, w którego mianowniku pojawiła się niewiadoma \(x\). W związku z tym, że na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, musimy zapisać stosowne założenia do naszego zadania:
$$2x-6\neq0 \\
2x\neq6 \\
x\neq3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń możemy przystąpić do obliczeń. To równanie będzie najprościej rozwiązać metodą mnożenia na krzyż, zatem:
$$7\cdot(x-1)=4\cdot(2x-6) \\
7x-7=8x-24 \\
-x-7=-24 \\
-x=-17 \\
x=17$$

Otrzymany wynik nie wyklucza się z zapisanymi założeniami, więc \(x=17\) to ostateczne rozwiązanie tego równania.

C

Krok 1. Zapisanie założeń.
Mamy równanie wymierne, czyli takie, w którego mianowniku znalazła się niewiadoma \(x\). W związku z tym, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość mianownika musi być różna od zera, stąd też:
$$2x+4\neq0 \\
2x\neq-4 \\
x\neq-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązywania, a całość zaczynamy od standardowego wymnożenia obydwu stron przez wartość w mianowniku, zatem:
$$\frac{x(x+5)(2-x)}{2x+4}=0 \quad\bigg/\cdot(2x+4) \\
x(x+5)(2-x)=0$$

Otrzymaliśmy postać iloczynową. Aby wartość wyrażenia po lewej stronie była równa zero, to albo to co stoi przed nawiasem jest równe zero, albo któryś z nawiasów jest równy zero, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad x+5=0 \quad\lor\quad 2-x=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-5 \quad\lor\quad x=2$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z zapisanymi na początku założeniami. Okazuje się, że żadnego z rozwiązań nie musimy odrzucić, bo żadne nie jest równe \(-2\), stąd też możemy stwierdzić, że nasze równanie ma trzy rozwiązania: \((-5)\), \(0\) oraz \(2\).

B

Nic nie stoi na przeszkodzie by wyznaczyć równania tych dwóch prostych (wystarczy odczytać z rysunku współrzędne dwóch punktów przez które taka prosta przechodzi i skorzystać albo ze wzoru z tablic albo z tak zwanej metody układu równań). Jednak w takich zadaniach bardzo często jesteśmy w stanie dojść do prawidłowej odpowiedzi analizując podany rysunek.

Po pierwsze powinniśmy dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca. To oznacza, że jedna prosta powinna mieć dodatni współczynnik \(a\), natomiast druga powinna mieć ujemny. Odpada nam więc już pierwsza odpowiedź.

Po drugie - moglibyśmy dostrzec, że prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), co z kolei mówi nam, że ta prosta ma współczynnik \(b=2\). Ograniczamy się więc już tylko do odpowiedzi B oraz D. Prosta rosnąca przecina oś \(OY\) dla \(y=-3\) i tym samym mamy już pewność, że interesującym nas układem równań jest ten z odpowiedzi B.

C

Wartości funkcji odczytujemy z wiersza \(y\). Widzimy, że taką największą wartością przyjmowaną przez naszą funkcję będzie \(y=5\).

D

Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Z tabelki wynika, że taka sytuacja ma miejsce dla \(x=4\).

A

Z treści zadania wynika, że do bańki zmieści się maksymalnie \(10\) litrów mleka. Waga tego mleka (w kilogramach) będzie zatem równa:
$$10\cdot1,03=10,3$$

Do tego musimy doliczyć masę samej bańki, która jest równa \(6,5 kg\). Tym samym cała pełna bańka, a tym samym największa wartość funkcji \(g\), będzie równa:
$$10,3+6,5=16,8$$

D

Masa mleka jest równa \(1,03\cdot x\), czyli po prostu \(1,03x\). Do tego dochodzi nam stała masa samej bańki, która jest równa \(6,5\) kilograma. Możemy więc zapisać, że funkcja \(g\) będzie określona wzorem \(g(x)=1,03x+6,5\).

D

Zbiór wartości odczytujemy z osi \(OY\). Widzimy wyraźnie, że funkcja przyjmuje wartości od \(-2\), aż do nieskończoności, więc zbiorem wartości będzie przedział \(\langle-2, +\infty)\).

A

Oś symetrii przechodzi zawsze przez wierzchołek paraboli. Widzimy, że pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa \(x=1\) i taka też będzie oś symetrii.

C

Podane wzory są zapisane w postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\). We wszystkich odpowiedziach współczynnik \(a\) jest jednakowy, więc nie musimy go obliczać - całość będzie więc sprowadzać się do poprawnego odczytania współrzędnych wierzchołka paraboli. Z rysunku wynika wprost, że \(W=(1,-2)\), czyli że tym samym \(p=1\) oraz \(q=-2\). Tym samym podstawiając te dane do postaci kanonicznej możemy stwierdzić, że wzorem tej funkcji będzie \(f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2-2\).

B

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość drugiego i trzeciego wyrazu, możemy bez problemu obliczyć różnicę naszego ciągu:
$$r=a_{3}-a_{2} \\
r=9-4 \\
r=5$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając różnicę ciągu oraz wartość drugiego wyrazu, możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu:
$$a_{1}=a_{2}-r \\
a_{1}=4-5 \\
a_{1}=-1$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(m\).
Skoro pierwszy wyraz jest równy \(-1\), to możemy zapisać, że:
$$2m-5=-1 \\
2m=4 \\
m=2$$

A

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że piąty wyraz możemy rozpisać jako:
$$a_{5}=a_{2}\cdot q^3$$

Podstawiając teraz dane z treści zadania, otrzymamy:
$$54=2\cdot q^3 \\
27=q^3 \\
q=3$$

B

Ustalmy może najpierw co liczymy i czego szukamy. Jeśli podstawilibyśmy \(n=3\) do wzoru z treści zadania, to obliczylibyśmy ile jest równe \(S_{3}\), czyli ile jest równe \(a_{1}+a_{2}+a_{3}\). Celem tego zadania jest jednak poznanie samej wartości \(a_{3}\). Jak tego dokonać?

Powinniśmy zauważyć, że licząc \(S_{2}\) obliczymy sumę \(a_{1}+a_{2}\), natomiast licząc \(S_{3}\) obliczymy sumę \(a_{1}+a_{2}+a_{3}\). Różnica między tymi wynikami jest więc niczym innym jak poszukiwanym przez nas \(a_{3}\). Obliczmy zatem osobno \(S_{2}\) oraz \(S_{3}\):
$$S_{2}=2^2+2\cdot2=4+4=8 \\
S_{3}=3^2+2\cdot3=9+6=15$$

Jak już ustaliliśmy, trzeci wyraz ciągu będzie różnicą tych dwóch sum, zatem:
$$a_{3}=S_{3}-S_{2} \\
a_{3}=15-8 \\
a_{3}=7$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby się nie pomylić w oznaczeniu boków, zróbmy sobie prosty szkic tej całej sytuacji, oznaczając długość boku \(AB\) (czyli przeciwprostokątnej) jako \(x\), natomiast \(BC\) jako \(x-8\).


Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej \(AB\).
Sinus opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej przy danym kącie względem przeciwprostokątnej, zatem możemy zapisać, że:
$$\frac{x-8}{x}=\frac{3}{5}$$

Jest to równanie wymierne (w sumie można byłoby nawet zapisać założenie, że \(x\neq0\)), które najprościej będzie rozwiązać metodą mnożenia na krzyż:
$$5\cdot(x-8)=3x \\
5x-40=3x \\
2x-40=0 \\
2x=40 \\
x=20$$

Jako \(x\) oznaczyliśmy długość przeciwprostokątnej, zatem zadanie możemy uznać za zakończone.

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zadanie możemy rozwiązać korzystając z jedynki trygonometrycznej (obliczymy wtedy wartość sinusa, a tangens naszego kąta będzie równy \(\frac{sin\alpha}{cos\alpha})\), ale znacznie prostsza będzie metoda trójkąta prostokątnego. Skoro cosinus jest równy \(\frac{24}{25}\), to długość boku przy kącie \alpha możemy opisać jako \(24x\), natomiast długość przeciwprostokątnej jako \(25x\).


Krok 2. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$a^2+(24x)^2=(25x)^2 \\
a^2+576x^2=625x^2 \\
a^2=49x^2 \\
a=7x \quad\lor\quad a=-7x$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok musi mieć dodatnią długość, zatem zostaje nam \(7x\).

Krok 3. Obliczenie tangensa kąta \(\alpha\).
Tangens opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej przy kącie \(\alpha\) względem przyprostokątnej naprzeciwko tego kąta. Możemy więc stwierdzić, że \(tg\alpha=\frac{7x}{24x}=\frac{7}{24}\).

A

Chcąc obliczyć pole tego trójkąta, wystarczy skorzystać z tzw. wzoru na pole trójkąta z sinusem, czyli:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin\alpha \\
P=\frac{1}{2}\cdot5\cdot2\cdot\frac{3}{5} \\
P=5\cdot\frac{3}{5} \\
P=3$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy zauważyć, że poszukiwany kąt wpisany \(KLM\) leży na tym samym łuku co kąt przy wierzchołku \(S\), ale nie ten o mierze \(160°\), tylko ten o mierze \(360°-160°=200°\).


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(KLM\).
Zgodnie z własnościami kątów wpisanych i środkowych, miara kąta \(KLM\) będzie dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego \(200°\), zatem:
$$|\sphericalangle KLM|=200°:2=100°$$

D

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe \(a\). Pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(3m-2\), natomiast druga \(2m+4\). Musimy zatem rozwiązać następujące równanie:
$$3m-2=2m+4 \\
m=6$$

A

Skoro odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu, to środek tego odcinka będzie jednocześnie środkiem okręgu. Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$S=\left(\frac{-4+6}{2};\frac{7+(-1)}{2}\right) \\
S=\left(\frac{2}{2};\frac{6}{2}\right) \\
S=(1;3)$$

C

Ważna uwaga - w treści zadania jest mowa o wszystkich ścianach, a nie tylko o ścianach bocznych. Jeśli więc ostrosłup ma \(12\) ścian, to będzie miał on \(1\) ścianę jako podstawę i \(11\) ścian jako ściany boczne. Tym samym w podstawie takiej bryły jest jedenastokąt, więc \(n=11\). Liczba wierzchołków ostrosłupa jest równa \(n+1\), więc ta bryła będzie mieć \(12\) wierzchołków.

C

Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że trójkąt \(ABH\) jest po prostu trójkątem prostokątnym i w dodatku jest to bardzo charakterystyczny trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z własności takich trójkąt wynika, że przyprostokątna (czyli poszukiwana przekątna \(BH\)) będzie dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, która w naszym przypadku jest równa \(6\). To oznacza, że:
$$|BH|=2\cdot6 \\
|BH|=12$$

A

Krok 1. Ustalenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Skoro długości są trzema kolejnymi liczbami parzystymi, a największa z tych liczb jest równa \(10\), to nasz prostopadłościan będzie mieć wymiary \(6\times8\times10\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Znając długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu, możemy bez problemu obliczyć jego pole powierzchni całkowitej:
$$P_{c}=2\cdot(ab+ac+bc) \\
P_{c}=2\cdot(6\cdot8+6\cdot10+8\cdot10) \\
P_{c}=2\cdot(48+60+80) \\
P_{c}=2\cdot188 \\
P_{c}=376$$

C

Przykładami liczb, które mają w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek o \(3\) większą od cyfry jedności są np. \(74\) czy też \(52\). Musimy teraz ustalić ile jest takich liczb. Najprościej będzie wypisać sobie po kolei wszystkie takie możliwości:
$$30; 41; 52; 63; 74; 85; 96$$

Takich liczb jest więc łącznie \(7\).

B

Celem zadania jest po prostu obliczenie średniej arytmetycznej otrzymanych wyników, więc całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$śr=\frac{2\cdot0+2\cdot1+5\cdot2+6\cdot3+11\cdot4+6\cdot5}{32} \\
śr=\frac{0+2+10+18+44+30}{32} \\
śr=\frac{104}{32} \\
śr=3,25$$

\(x\in\langle-3;1\rangle\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Rozwiązywanie nierówności powinniśmy zacząć od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę, wykonując przy okazji mnożenie z lewej strony, a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$x(x+2)\le3 \\
x^2+2x-3\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=4-(-12)=4+12=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-4}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+4}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-3\) oraz \(x=1\) (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze lub równe zero, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią (wraz z zamalowanymi kropkami). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\langle-3;1\rangle$$

Można doprowadzić do postaci \((x-2y)^2\gt0\)

Kluczem do sukcesu będzie umiejętne przekształcenie podanej nierówności, a następnie "zwinięcie" zapisu z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$x^2+4y^2-4\gt4(xy-1) \\
x^2+4y^2-4\gt4xy-4 \\
x^2-4xy+4y^2\gt0 \\
(x-2y)^2\gt0$$

Z treści zadania wynika, że \(x\neq2y\), więc wartość którą otrzymaliśmy w nawiasie jest na pewno różna od zera. Podnosząc dowolną liczbę rzeczywistą (różną od zera) do kwadratu, otrzymamy zawsze dodatni wynik, co należało właśnie udowodnić.

\(sin\alpha=\frac{1}{2}\) oraz \(y_{P}=-3\)

Krok 1. Ustalenie miary kąta \(\alpha\).
W tym zadaniu trzeba było skorzystać z rzadko stosowanej własności wzorów funkcji liniowych. Współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \(Ox\). Mówiąc wprost, z własności funkcji liniowych wynika, że:
$$tg\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że tangens przyjmuje taką wartość dla kąta o mierze \(30°\).

Krok 2. Obliczenie wartości sinusa.
Celem zadania jest podanie sinusa naszego kąta, czyli w tym przypadku sinusa kąta \(30°\). Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(sin30°\) jest równy \(\frac{1}{2}\) i taka też będzie nasza odpowiedź.

Krok 3. Obliczenie drugiej współrzędnej punktu \(P\).
Celem zadania jest obliczenie jeszcze drugiej współrzędnej punktu \(P\) (szukamy tylko drugiej współrzędnej, bo skoro punkt \(P\) jest miejscem przecięcia się z osią \(Oy\) to wiadomo, że pierwsza współrzędna to \(x=0\)). Aby poznać tę współrzędną, wystarczy pamiętać, że ta druga współrzędna będzie równa współczynnikowi \(b\) naszej funkcji liniowej, czyli od ręki moglibyśmy zapisać, że \(y_{B}=-3\). Jeśli nie pamiętamy o tej własności, możemy podstawić po prostu \(x=0\) do wzoru funkcji:
$$f(0)=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot0-3 \\
f(0)=-3$$

\(r=-3\)

Z treści zadania wynika, że możemy ułożyć następujące równanie:
$$a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}+12$$

Korzystając teraz z własności ciągów arytmetycznych (lub po prostu ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu), możemy rozpisać nasze wyrazy w taki sposób, by zawsze odnosić się do wybranego wyrazu np. pierwszego. Przykładowo możemy rozpisać, że \(a_{2}=a_{1}+r\) lub że \(a_{4}=a_{1}+3r\). Otrzymamy wtedy taką oto sytuację:
$$a_{1}+a_{1}+r=a_{1}+2r+a_{1}+3r+12 \\
2a_{1}+r=2a_{1}+5r+12 \\
-4r=12 \\
r=-3$$

\(|BE|=20\)

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i ustalenie skali podobieństwa.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąty \(ABE\) oraz \(DCE\) są trójkątami podobnymi na podstawie cechy kąt-kąt-kąt (mają one jednakowy kąt przy wierzchołku \(E\) oraz są trójkątami prostokątnymi, więc i miara trzeciego kąta jest jednakowa). Wiemy, że analogiczne dwa boki mają długości odpowiednio: \(12\) oraz \(6\), więc jeśli przyjmiemy, że mniejszy trójkąt \(DCE\) jest trójkątem podstawowym, a większy \(ABE\) jest podobnym, to skala podobieństwa będzie równa:
$$k=\frac{12}{6} \\
k=2$$

Oczywiście moglibyśmy też przyjąć to podobieństwo na odwrót, co sprawiłoby, że \(k=\frac{1}{2}\) i wtedy konsekwentnie trzeba byłoby właśnie tę skalę brać do dalszych obliczeń.

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AE\).
Ustaliliśmy już, że większy trójkąt ma boki \(2\) razy większe od mniejszego. Jeśli więc oznaczylibyśmy bok \(DE\) jako \(x\), to bok \(AE\) miałby długość \(2x\). Z treści zadania wynika, że suma tych boków jest równa \(24\), zatem:
$$x+2x=24 \\
3x=24 \\
x=8$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(|DE|=8\) oraz \(|AE|=2\cdot8=16\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BE\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABE\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długości dwóch boków: \(12\) oraz \(16\). Poszukiwany bok \(BE\) jest przeciwprostokątną tego trójkąta, zatem z pomocą przyjdzie nam twierdzenie Pitagorasa:
$$12^2+16^2=|BE|^2 \\
144+256=|BE|^2 \\
400=|BE|^2 \\
|BE|=20 \quad\lor\quad |BE|=-20$$

Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam \(|BE|=20\).

\(p=\frac{4}{15}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy jedną z pięciu liczb z pierwszego zbioru i jedną z trzech liczb drugiego wzoru, zatem zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot3=15\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Chcemy, by suma wylosowanych liczb była większa od \(9\). Wypiszmy zatem pasujące pary liczb, które taką sumę dadzą. Nie będzie to trudne, bo wystarczy zauważyć, że z liczbami \(0\), \(4\) oraz \(5\) nie utworzymy żadnej takiej pary.
$$(7,3); (9,1); (9,2); (9,3)$$

Są więc tylko \(4\) takie pary, a to oznacza, że \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{15}$$

\(B=(6;2)\) oraz \(|BS|=3\sqrt{10}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie przynajmniej szkic tej całej sytuacji, tak aby potem mieć lepszy obraz tego co trzeba będzie za chwilę policzyć. Sytuacja z treści zadania wygląda mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Punkt A jest miejscem przecięcia się dwóch prostych podanych w treści zadania. Z geometrycznej interpretacji układu równań wynika, że poznamy współrzędne punkt \(A\) w momencie, gdy rozwiążemy następujący układ równań:
\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x-1 \\
y=2x-4
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy następujące równanie:
$$\frac{1}{2}x-1=2x-4 \\
-1,5x-1=-4 \\
-1,5x=-3 \\
x=2$$

Znamy już pierwszą współrzędną punktu \(A\). Aby poznać drugą współrzędną, wystarczy podstawić obliczone przed chwilą \(x=2\) do jednego z równań z układu, np. do drugiego:
$$y=2\cdot2-4 \\
y=4-4 \\
y=0$$

To oznacza, że \(A=(2;0)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, więc punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\). Znamy współrzędne punktu \(A\), znamy też współrzędne środka \(S\), więc z poznaniem współrzędnych punktu \(C\) pomoże nam wzór na środek odcinka:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Znając współrzędne obydwu punktów wystarczy podstawić te dane do wzoru. Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
9=\frac{2+x_{C}}{2} \\
18=2+x_{C} \\
x_{C}=16 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
11=\frac{0+y_{C}}{2} \\
y_{C}=22$$

To oznacza, że \(C=(16;22)\).

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Prosta \(BC\) będzie prostą równoległą do \(AD\), która będzie przechodzić przez wyznaczony przed chwilą punkt \(C\). Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Skoro prosta \(AD\) wyraża się równaniem \(y=2x-4\) to prosta \(BC\) będzie wyrażać się równaniem \(y=2x+b\). Brakujący współczynnik \(b\) poznamy podstawiając do tego wyrażenia współrzędne punktu \(C=(16;22)\), zatem:
$$22=2\cdot16+b \\
22=32+b \\
b=-10$$

Tym samym prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=2x-10\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Punkt B będzie miejscem przecięcia się prostej \(AB\) oraz wyznaczonej przed chwilą prostej \(BC\). Musimy więc postąpić podobnie jak przy wyznaczeniu współrzędnych punktu \(A\), czyli rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x-1 \\
y=2x-10
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x-1=2x-10 \\
-1,5x-1=-10 \\
-1,5x=-9 \\
x=6$$

Aby poznać drugą współrzędną punktu \(B\), wystarczy podstawić \(x=6\) do jednego z równań z układu, np. drugiego:
$$y=2\cdot6-10 \\
y=12-10 \\
y=2$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(B=(6;2)\).

Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(BS\).
Na sam koniec musimy jeszcze obliczyć długość odcinka \(BS\). Znamy współrzędne obydwu punktów \(B=(6;2)\) oraz \(S=(9;11)\), więc z pomocą przyjdzie nam wzór na długość odcinka:
$$|BS|=\sqrt{(x_{S}-x_{B})^2+(y_{S}-y_{B})^2} \\
|BS|=\sqrt{(9-6)^2+(11-2)^2} \\
|BS|=\sqrt{3^2+9^2} \\
|BS|=\sqrt{9+81} \\
|BS|=\sqrt{90} \\
|BS|=\sqrt{9\cdot10} \\
|BS|=3\sqrt{10}$$