Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2024 – Odpowiedzi

C

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Stosując standardowy mechanizm rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną, otrzymamy następującą sytuację:
$$x+1\lt3 \quad\land\quad x+1\gt-3 \\
x\lt2 \quad\land\quad x\gt-4$$

Wyszło nam, że ta nierówność jest spełniana dla \(x\in(-4;2)\).

Krok 2. Ustalenie ile liczb całkowitych dodatnich spełnia nierówność.
Musimy jeszcze ustalić, ile liczb całkowitych dodatnich mieści się w wyznaczonym przedziale. Będą to oczywiście liczby od \(-3, -2, -1, 0\) oraz \(1\). Takich liczb jest więc łącznie \(5\).

C

Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\left(\frac{4}{25}\right)^{-0,5}=\left(\frac{4}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}= \\
=\left(\frac{25}{4}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2,5$$

Udowodniono, doprowadzając do postaci typu \(4(n^2+5n+7)\).

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy naszą liczbę rozpisać w następujący sposób:
$$(2n+5)^2+3=4n^2+20n+25+3=4n^2+20n+28=4\cdot(n^2+5n+7)$$

Teraz powinniśmy dostrzec, że \(n^2+5n+7\) będzie sumą trzech liczb naturalnych, czyli wartość tego całego nawiasu jest dodatnia. Stojąca przed nawiasem czwórka informuje nas więc, że ta cała liczba będzie podzielna przez \(4\), a to co jest w nawiasie będzie po prostu wynikiem tego dzielenia, co należało wykazać.

C. oraz E.

W każdym podanym przykładzie mamy po lewej stronie jednakową sumę logarytmów, a celem naszego zadania jest tak naprawdę umiejętne wykorzystanie własności działań na potęgach i rozpisanie tej wartości na dwa różne sposoby. Sumę naszych logarytmów moglibyśmy rozpisać jako:
$$log_{2}16+log_{2}9=log_{2}144=log_{2}(16\cdot9)=log_{2}144$$

I taki wynik mamy w odpowiedzi C. Ale ten sam przykład moglibyśmy rozwiązać nieco inaczej. Moglibyśmy po prostu wyliczyć osobno wartości każdego z tych logarytmów (zwłaszcza z tego pierwszego logarytmu otrzymamy ładny wynik, bo skoro \(2^4=16\) to tym samym \(log_{2}16=4\)), co sprawi iż otrzymamy taką oto sytuację:
$$log_{2}16+log_{2}9=4+log_{2}3^2=4+2\cdot log_{2}3$$

D

Jednym z pierwszych kroków jaki powinniśmy poczynić przy rozwiązywaniu takich nierówności jest pozbycie się samej formy ułamka. W tym celu trzeba będzie przemnożyć obydwie strony nierówności przez \(17\), a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{3(6-x)}{17}\le3 \\
\frac{18-3x}{17}\le3 \\
18-3x\le51 \\
-3x\le33 \quad\bigg/:(-3) \\
x\ge-11$$

Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną trzeba było zmienić znak na przeciwny. Otrzymany wynik oznacza, że interesują nas liczby, które są większe lub równe \(-11\), więc poszukiwanym przedziałem rozwiązań będzie \(\langle-11,+\infty)\).

C

Krok 1. Zapisanie założeń.
Mamy równanie wymierne, czyli takie, w którego mianowniku znalazła się niewiadoma \(x\). W związku z tym, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość mianownika musi być różna od zera, stąd też:
$$2x+4\neq0 \\
2x\neq-4 \\
x\neq-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązywania, a całość zaczynamy od standardowego wymnożenia obydwu stron przez wartość w mianowniku, zatem:
$$\frac{x(x+5)(2-x)}{2x+4}=0 \quad\bigg/\cdot(2x+4) \\
x(x+5)(2-x)=0$$

Otrzymaliśmy postać iloczynową. Aby wartość wyrażenia po lewej stronie była równa zero, to albo to co stoi przed nawiasem jest równe zero, albo któryś z nawiasów jest równy zero, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad x+5=0 \quad\lor\quad 2-x=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-5 \quad\lor\quad x=2$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z zapisanymi na początku założeniami. Okazuje się, że żadnego z rozwiązań nie musimy odrzucić, bo żadne nie jest równe \(-2\), stąd też możemy stwierdzić, że nasze równanie ma trzy rozwiązania: \((-5)\), \(0\) oraz \(2\).

\(x=\sqrt{2}\), \(x=-\sqrt{2}\) oraz \(x=-5\)

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$x^3+5x^2-2x-10=0 \\
x^2(x+5)-2(x+5)=0 \\
(x^2-2)\cdot(x+5)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-2=0 \quad\lor\quad x+5=0 \\
x^2=2 \quad\lor\quad x=-5 \\
x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-5$$

B

Nic nie stoi na przeszkodzie by wyznaczyć równania tych dwóch prostych (wystarczy odczytać z rysunku współrzędne dwóch punktów przez które taka prosta przechodzi i skorzystać albo ze wzoru z tablic albo z tak zwanej metody układu równań). Jednak w takich zadaniach bardzo często jesteśmy w stanie dojść do prawidłowej odpowiedzi analizując podany rysunek.

Po pierwsze powinniśmy dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca. To oznacza, że jedna prosta powinna mieć dodatni współczynnik \(a\), natomiast druga powinna mieć ujemny. Odpada nam więc już pierwsza odpowiedź.

Po drugie - moglibyśmy dostrzec, że prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), co z kolei mówi nam, że ta prosta ma współczynnik \(b=2\). Ograniczamy się więc już tylko do odpowiedzi B oraz D. Prosta rosnąca przecina oś \(OY\) dla \(y=-3\) i tym samym mamy już pewność, że interesującym nas układem równań jest ten z odpowiedzi B.

1. D.
2. C.

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Wartości funkcji odczytujemy z wiersza \(y\). Widzimy, że taką największą wartością przyjmowaną przez naszą funkcję będzie \(y=5\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Z tabelki wynika, że taka sytuacja ma miejsce dla \(x=4\).

\(\frac{1}{2}\)

Krok 1. Ustalenie miary kąta \(\alpha\).
W tym zadaniu trzeba było skorzystać z rzadko stosowanej własności wzorów funkcji liniowych. Współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \(Ox\). Mówiąc wprost, z własności funkcji liniowych wynika, że:
$$tg\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że tangens przyjmuje taką wartość dla kąta o mierze \(30°\).

Krok 2. Obliczenie wartości sinusa.
Celem zadania jest podanie sinusa naszego kąta, czyli w tym przypadku sinusa kąta \(30°\). Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(sin30°\) jest równy \(\frac{1}{2}\) i taka też będzie nasza odpowiedź.

B

Ustalmy może najpierw co liczymy i czego szukamy. Jeśli podstawilibyśmy \(n=3\) do wzoru z treści zadania, to obliczylibyśmy ile jest równe \(S_{3}\), czyli ile jest równe \(a_{1}+a_{2}+a_{3}\). Celem tego zadania jest jednak poznanie samej wartości \(a_{3}\). Jak tego dokonać?

Powinniśmy zauważyć, że licząc \(S_{2}\) obliczymy sumę \(a_{1}+a_{2}\), natomiast licząc \(S_{3}\) obliczymy sumę \(a_{1}+a_{2}+a_{3}\). Różnica między tymi wynikami jest więc niczym innym jak poszukiwanym przez nas \(a_{3}\). Obliczmy zatem osobno \(S_{2}\) oraz \(S_{3}\):
$$S_{2}=2^2+2\cdot2=4+4=8 \\
S_{3}=3^2+2\cdot3=9+6=15$$

Jak już ustaliliśmy, trzeci wyraz ciągu będzie różnicą tych dwóch sum, zatem:
$$a_{3}=S_{3}-S_{2} \\
a_{3}=15-8 \\
a_{3}=7$$

A

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że piąty wyraz możemy rozpisać jako:
$$a_{5}=a_{2}\cdot q^3$$

Podstawiając teraz dane z treści zadania, otrzymamy:
$$54=2\cdot q^3 \\
27=q^3 \\
q=3$$

A. 2.,

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość drugiego i trzeciego wyrazu, możemy bez problemu obliczyć różnicę naszego ciągu:
$$r=a_{3}-a_{2} \\
r=9-4 \\
r=5$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając różnicę ciągu oraz wartość drugiego wyrazu, możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu:
$$a_{1}=a_{2}-r \\
a_{1}=4-5 \\
a_{1}=-1$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(m\).
Skoro pierwszy wyraz jest równy \(-1\), to możemy zapisać, że:
$$2m-5=-1 \\
2m=4 \\
m=2$$

Tym samym jesteśmy w stanie stwierdzić, że nasz ciąg jest rosnący (bo ma dodatnią różnicę) oraz \(m=2\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zadanie możemy rozwiązać korzystając z jedynki trygonometrycznej (obliczymy wtedy wartość sinusa, a tangens naszego kąta będzie równy \(\frac{sin\alpha}{cos\alpha})\), ale znacznie prostsza będzie metoda trójkąta prostokątnego. Skoro cosinus jest równy \(\frac{24}{25}\), to długość boku przy kącie \alpha możemy opisać jako \(24x\), natomiast długość przeciwprostokątnej jako \(25x\).


Krok 2. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$a^2+(24x)^2=(25x)^2 \\
a^2+576x^2=625x^2 \\
a^2=49x^2 \\
a=7x \quad\lor\quad a=-7x$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok musi mieć dodatnią długość, zatem zostaje nam \(7x\).

Krok 3. Obliczenie tangensa kąta \(\alpha\).
Tangens opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej przy kącie \(\alpha\) względem przyprostokątnej naprzeciwko tego kąta. Możemy więc stwierdzić, że \(tg\alpha=\frac{7x}{24x}=\frac{7}{24}\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby się nie pomylić w oznaczeniu boków, zróbmy sobie prosty szkic tej całej sytuacji, oznaczając długość boku \(AB\) (czyli przeciwprostokątnej) jako \(x\), natomiast \(BC\) jako \(x-8\).


Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej \(AB\).
Sinus opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej przy danym kącie względem przeciwprostokątnej, zatem możemy zapisać, że:
$$\frac{x-8}{x}=\frac{3}{5}$$

Jest to równanie wymierne (w sumie można byłoby nawet zapisać założenie, że \(x\neq0\)), które najprościej będzie rozwiązać metodą mnożenia na krzyż:
$$5\cdot(x-8)=3x \\
5x-40=3x \\
2x-40=0 \\
2x=40 \\
x=20$$

Jako \(x\) oznaczyliśmy długość przeciwprostokątnej, zatem zadanie możemy uznać za zakończone.

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wyglądać będzie następująco:


Krok 2. Obliczenie długości boku \(BC\).
W tym zadaniu skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Szukany bok leży naprzeciwko kąta \(BAC\), więc możemy go oznaczyć jako \(c\), a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$c^2=a^b+b^2-2ab\cdot cos|\sphericalangle BAC| \\
c^2=5^2+2^2-2\cdot5\cdot2\cdot\frac{3}{5} \\
c^2=25+4-12 \\
c^2=29-12 \\
c^2=17 \\
c=\sqrt{17} \quad\lor\quad c=-\sqrt{17}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{17}\).

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy zauważyć, że poszukiwany kąt wpisany \(KLM\) leży na tym samym łuku co kąt przy wierzchołku \(S\), ale nie ten o mierze \(160°\), tylko ten o mierze \(360°-160°=200°\).


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(KLM\).
Zgodnie z własnościami kątów wpisanych i środkowych, miara kąta \(KLM\) będzie dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego \(200°\), zatem:
$$|\sphericalangle KLM|=200°:2=100°$$

\(|BE|=20\)

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i ustalenie skali podobieństwa.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąty \(ABE\) oraz \(DCE\) są trójkątami podobnymi na podstawie cechy kąt-kąt-kąt (mają one jednakowy kąt przy wierzchołku \(E\) oraz są trójkątami prostokątnymi, więc i miara trzeciego kąta jest jednakowa). Wiemy, że analogiczne dwa boki mają długości odpowiednio: \(12\) oraz \(6\), więc jeśli przyjmiemy, że mniejszy trójkąt \(DCE\) jest trójkątem podstawowym, a większy \(ABE\) jest podobnym, to skala podobieństwa będzie równa:
$$k=\frac{12}{6} \\
k=2$$

Oczywiście moglibyśmy też przyjąć to podobieństwo na odwrót, co sprawiłoby, że \(k=\frac{1}{2}\) i wtedy konsekwentnie trzeba byłoby właśnie tę skalę brać do dalszych obliczeń.

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AE\).
Ustaliliśmy już, że większy trójkąt ma boki \(2\) razy większe od mniejszego. Jeśli więc oznaczylibyśmy bok \(DE\) jako \(x\), to bok \(AE\) miałby długość \(2x\). Z treści zadania wynika, że suma tych boków jest równa \(24\), zatem:
$$x+2x=24 \\
3x=24 \\
x=8$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(|DE|=8\) oraz \(|AE|=2\cdot8=16\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BE\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABE\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długości dwóch boków: \(12\) oraz \(16\). Poszukiwany bok \(BE\) jest przeciwprostokątną tego trójkąta, zatem z pomocą przyjdzie nam twierdzenie Pitagorasa:
$$12^2+16^2=|BE|^2 \\
144+256=|BE|^2 \\
400=|BE|^2 \\
|BE|=20 \quad\lor\quad |BE|=-20$$

Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam \(|BE|=20\).

\(B=(6,2)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie przynajmniej szkic tej całej sytuacji, tak aby potem mieć lepszy obraz tego co trzeba będzie za chwilę policzyć. Sytuacja z treści zadania wygląda mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Punkt A jest miejscem przecięcia się dwóch prostych podanych w treści zadania. Z geometrycznej interpretacji układu równań wynika, że poznamy współrzędne punkt \(A\) w momencie, gdy rozwiążemy następujący układ równań:
\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x-1 \\
y=2x-4
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy następujące równanie:
$$\frac{1}{2}x-1=2x-4 \\
-1,5x-1=-4 \\
-1,5x=-3 \\
x=2$$

Znamy już pierwszą współrzędną punktu \(A\). Aby poznać drugą współrzędną, wystarczy podstawić obliczone przed chwilą \(x=2\) do jednego z równań z układu, np. do drugiego:
$$y=2\cdot2-4 \\
y=4-4 \\
y=0$$

To oznacza, że \(A=(2;0)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, więc punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\). Znamy współrzędne punktu \(A\), znamy też współrzędne środka \(S\), więc z poznaniem współrzędnych punktu \(C\) pomoże nam wzór na środek odcinka:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Znając współrzędne obydwu punktów wystarczy podstawić te dane do wzoru. Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
9=\frac{2+x_{C}}{2} \\
18=2+x_{C} \\
x_{C}=16 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
11=\frac{0+y_{C}}{2} \\
y_{C}=22$$

To oznacza, że \(C=(16;22)\).

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Prosta \(BC\) będzie prostą równoległą do \(AD\), która będzie przechodzić przez wyznaczony przed chwilą punkt \(C\). Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Skoro prosta \(AD\) wyraża się równaniem \(y=2x-4\) to prosta \(BC\) będzie wyrażać się równaniem \(y=2x+b\). Brakujący współczynnik \(b\) poznamy podstawiając do tego wyrażenia współrzędne punktu \(C=(16;22)\), zatem:
$$22=2\cdot16+b \\
22=32+b \\
b=-10$$

Tym samym prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=2x-10\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Punkt B będzie miejscem przecięcia się prostej \(AB\) oraz wyznaczonej przed chwilą prostej \(BC\). Musimy więc postąpić podobnie jak przy wyznaczeniu współrzędnych punktu \(A\), czyli rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x-1 \\
y=2x-10
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x-1=2x-10 \\
-1,5x-1=-10 \\
-1,5x=-9 \\
x=6$$

Aby poznać drugą współrzędną punktu \(B\), wystarczy podstawić \(x=6\) do jednego z równań z układu, np. drugiego:
$$y=2\cdot6-10 \\
y=12-10 \\
y=2$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(B=(6;2)\).

D

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe \(a\). Pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(3m-2\), natomiast druga \(2m+4\). Musimy zatem rozwiązać następujące równanie:
$$3m-2=2m+4 \\
m=6$$

A

Krok 1. Obliczenie współrzędnych środka okręgu.
Skoro odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu, to środek tego odcinka będzie jednocześnie środkiem okręgu. Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$S=\left(\frac{-4+6}{2};\frac{7+(-1)}{2}\right) \\
S=\left(\frac{2}{2};\frac{6}{2}\right) \\
S=(1;3)$$

Krok 2. Zapisanie równania okręgu.
Równanie okręgu zapisujemy jako \((x−a)^2+(y−b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień okręgu. Teoretycznie powinniśmy jeszcze obliczyć długość promienia (co byłoby możliwe, bo przecież to jest połowa odcinka \(AB\)), ale nie ma takiej potrzeby, bo wszystkie z podanych odpowiedzi mają tą samą wartość \(r^2\), więc jesteśmy w stanie rozwiązać to zadanie bez znajomości długości promienia. Przyjmując więc, że \(r^2=41\), możemy stwierdzić, że nasz okrąg wyraża się równaniem:
$$(x-1)^2+(y-3)^2=41$$

C

Ważna uwaga - w treści zadania jest mowa o wszystkich ścianach, a nie tylko o ścianach bocznych. Jeśli więc ostrosłup ma \(12\) ścian, to będzie miał on \(1\) ścianę jako podstawę i \(11\) ścian jako ściany boczne. Tym samym w podstawie takiej bryły jest jedenastokąt, więc \(n=11\). Liczba wierzchołków ostrosłupa jest równa \(n+1\), więc ta bryła będzie mieć \(12\) wierzchołków.

A

Krok 1. Ustalenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Skoro długości są trzema kolejnymi liczbami parzystymi, a największa z tych liczb jest równa \(10\), to nasz prostopadłościan będzie mieć wymiary \(6\times8\times10\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Znając długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu, możemy bez problemu obliczyć jego pole powierzchni całkowitej:
$$P_{c}=2\cdot(ab+ac+bc) \\
P_{c}=2\cdot(6\cdot8+6\cdot10+8\cdot10) \\
P_{c}=2\cdot(48+60+80) \\
P_{c}=2\cdot188 \\
P_{c}=376$$

C

Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że trójkąt \(ABH\) jest po prostu trójkątem prostokątnym i w dodatku jest to bardzo charakterystyczny trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z własności takich trójkąt wynika, że przyprostokątna (czyli poszukiwana przekątna \(BH\)) będzie dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, która w naszym przypadku jest równa \(6\). To oznacza, że:
$$|BH|=2\cdot6 \\
|BH|=12$$

C

Przykładami liczb, które mają w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek o \(3\) większą od cyfry jedności są np. \(74\) czy też \(52\). Musimy teraz ustalić ile jest takich liczb. Najprościej będzie wypisać sobie po kolei wszystkie takie możliwości:
$$30; 41; 52; 63; 74; 85; 96$$

Takich liczb jest więc łącznie \(7\).

B

Celem zadania jest po prostu obliczenie średniej arytmetycznej otrzymanych wyników, więc całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$śr=\frac{2\cdot0+2\cdot1+5\cdot2+6\cdot3+11\cdot4+6\cdot5}{32} \\
śr=\frac{0+2+10+18+44+30}{32} \\
śr=\frac{104}{32} \\
śr=3,25$$

\(p=\frac{4}{15}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy jedną z pięciu liczb z pierwszego zbioru i jedną z trzech liczb drugiego wzoru, zatem zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot3=15\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Chcemy, by suma wylosowanych liczb była większa od \(9\). Wypiszmy zatem pasujące pary liczb, które taką sumę dadzą. Nie będzie to trudne, bo wystarczy zauważyć, że z liczbami \(0\), \(4\) oraz \(5\) nie utworzymy żadnej takiej pary.
$$(7,3); (9,1); (9,2); (9,3)$$

Są więc tylko \(4\) takie pary, a to oznacza, że \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{15}$$

\(x=4\) oraz \(y=8\), a najmniejsza wartość jest równa \(96\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że suma dwóch liczb ma być równa \(12\), czyli:
$$x+y=12 \\
y=12-x$$

Dodatkowo od razu możemy zapisać założenia do naszego zadania. Liczby muszą być nieujemne, a jednocześnie ich suma jest równa \(12\), więc każda z tych liczb musi być większa lub równa \(0\) i jednocześnie mniejsza lub równa \(12\). Zapisalibyśmy więc założenie, że \(x\in\langle0;12\rangle\) oraz \(y\in\langle0;12\rangle\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(f(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie wartości wyrażenia z użyciem jednej zmiennej, czyli zmiennej \(x\). Aby tego dokonać, wystarczy podstawić wyznaczone \(y=12-x\) do wyrażenia \(2x^2+y^2\), otrzymując:
$$2x^2+(12-x)^2= \\
=2x^2+144-24x+x^2= \\
=3x^2-24x+144$$

Teraz całość musimy potraktować jako funkcję kwadratową, więc moglibyśmy zapisać, że \(f(x)=3x^2-24x+144\).

Krok 3. Wyznaczenie wartości \(x\) oraz \(y\).
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik kierunkowy \(a=3\) jest większy od zera.


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) ta wartość będzie najmniejsza, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do góry osiągnie swoją najmniejszą wartość w wierzchołku. Aby obliczyć tę wartość, musimy skorzystać ze wzoru na współrzędną \(x_{W}\) (często oznaczaną też jako \(p\)):
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-(-24)}{2\cdot3} \\
x_{W}=\frac{24}{6} \\
x_{W}=4$$

To oznacza, że najmniejsza wartość będzie przyjmowana wtedy, gdy \(x=4\). Od razu możemy obliczyć jaka będzie wartość \(y\). W tym celu wystarczy skorzystać z równania zapisanego w pierwszym kroku, czyli:
$$y=12-4 \\
y=8$$

Krok 4. Wyznaczenie najmniejszej wartości.
Największą pułapką tego zadania jest to, że obliczona przed chwilą wartość \(y=8\) to nie jest najmniejsza wartość funkcji. Musimy zwrócić uwagę, że \(x\) oraz \(y\) to liczby, dla których ta najmniejsza wartość jest przyjmowana, więc trzeba byłoby teraz podstawić \(x=4\) oraz \(y=8\) do tego wyrażenia i sprawdzić jaki wynik otrzymamy:
$$2\cdot4^2+8^2=2\cdot16+64=32+64=96$$

Równie dobrze można byłoby skorzystać z naszej funkcji \(f(x)=3x^3-24x+144\) i obliczyć \(f(4)\), co wyglądałoby następująco:
$$f(4)=3\cdot4^2-24\cdot4+144 \\
f(4)=3\cdot16-96+144 \\
f(4)=48-96+144 \\
f(4)=96$$