Matura – Matematyka – Maj 2026 (stara matura)

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najlepiej byłoby zauważyć, że \(a_{3}=a_{2}\cdot q\) oraz \(a_{6}=a_{7}:q\). Tym samym moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{3}\cdot a_{6}=18 \\
(a_{2}\cdot q)\cdot(a_{7}:q)=18 \\
a_{2}\cdot a_{7}=18$$

Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to \(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Podstawiając wartość promienia \(9\sqrt{3}\), otrzymamy:
$$\frac{a\sqrt{3}}{3}=9\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot3 \\
a\sqrt{3}=27\sqrt{3} \\
a=27$$

Krok 1. Przekształcenie nierówności do postaci ogólnej.
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i doprowadzamy całość do postaci ogólnej:
$$3x^2+4x-6x-8\ge0 \\
3x^2-2x-8\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-2,\;c=-8\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-8)=4+96=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-10}{2\cdot3}=\frac{2-10}{6}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+10}{2\cdot3}=\frac{2+10}{6}=\frac{12}{6}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości większych lub równych zero, zatem zerkamy na to co znajduje się nad osią. Rozwiązaniem jest więc suma przedziałów:
\(x\in(-\infty,-\frac{4}{3}]\cup[2,\infty)\)

Krok 1. Przekształcenie nierówności.
Na początku uporządkujmy cały zapis i przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$a^{2}-ab\ge ab-3b^{2} \\
a^{2}-ab-ab+3b^{2}\ge0 \\
a^{2}-2ab+3b^{2}\ge0$$

Krok 2. Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia.
Kluczem do sukcesu jest rozbicie \(3b^{2}\) na sumę \(b^{2}+2b^{2}\), aby móc za chwilę skorzystać ze wzoru na kwadrat różnicy:
$$a^{2}-2ab+b^{2}+2b^{2}\ge0 \\
(a-b)^{2}+2b^{2}\ge0$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc \((a-b)^{2}\) oraz \(b^{2}\) są większe od zera. To oznacza również, że większe od zera będzie \(2b^{2}\). Suma dwóch liczb nieujemnych jest zawsze większa lub równa zero. Nierówność jest zatem prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i \(b\), co należało udowodnić.

Krok 1. Obliczenie całkowitych wpływów ze sprzedaży biletów.
Niech \(W\) oznacza całkowite wpływy ze sprzedaży biletów. Skoro po odliczeniu \(25\%\) kosztów zostało \(4665\) \(zł\), to kwota ta stanowi \(75\%\) całkowitych wpływów:
$$0,75W=4665 \\
W=\frac{4665}{0,75}=6220$$

Całkowite wpływy wyniosły \(6220 zł\).

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Niech \(x\) oznacza liczbę biletów normalnych, a \(y\) liczbę biletów ulgowych. Wiemy, że łącznie sprzedano \(200\) biletów, zatem:
$$x+y=200$$

Równanie opisujące wpływy ze sprzedaży to:
$$35x+25y=6220$$

Te dwa równania tworzą teraz układ równań, który musimy rozwiązać:
\begin{cases}
x+y=200 \\
35x+25y=6220
\end{cases}

Metoda rozwiązywania jest dowolna, ale najłatwiej będzie chyba dostrzec, że z pierwszego równania otrzymamy \(x=200-y\) i tę wartość możemy od razu podstawić do drugiego równania:
$$35\cdot(200-y)+25y=6220 \\
7000-35y+25y=6220 \\
-10y=-780 \\
y=78$$

I sposób - z wykorzystaniem wzorów na pole trójkąta (z sinuem)

Krok 1. Zapisanie pól trójkątów z wykorzystaniem wzoru z sinusem.
Oznaczmy miarę kąta \(KMN\) oraz \(NML\) jako \(α\), co wynika z faktu, że odcinek \(MN\) jest dwusieczną kąta \(LMK\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta z sinusem kąta między bokami, pole trójkąta \(KNM\) możemy zapisać jako:
$$P_{KNM}=\frac{1}{2}\cdot |KM|\cdot |MN|\cdot \sinα \\
P_{KNM}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot |MN|\cdot \sinα$$

Podobnie postępujemy dla trójkąta \(NLM\), jego pole wyznaczymy również ze wzoru z sinusem:
$$P_{NLM}=\frac{1}{2}\cdot |LM|\cdot |MN|\cdot \sinα \\
P_{NLM}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot |MN|\cdot \sinα$$

Krok 2. Wyznaczenie stosunku pól obydwu trójkątów.
Zgodnie z poleceniem musimy teraz obliczyć stosunek pól, czyli podzielić pole pierwszego trójkąta przez pole drugiego trójkąta. W wyniku tego dzielenia powtarzające się wyrażenia nam się po prostu skrócą:
$$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot a\cdot |MN|\cdot \sinα}{\frac{1}{2}\cdot b\cdot |MN|\cdot \sinα} \\
\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}$$

Otrzymaliśmy oczekiwany stosunek pól powierzchni, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.

II sposób - z wykorzystaniem twierdzenia o dwusiecznej kąta.

Krok 1. Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie.
Zgodnie z twierdzeniem o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie, dwusieczna dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do długości pozostałych boków. Zatem:
$$\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|LM|}=\frac{a}{b}$$

Krok 2. Analiza pól trójkątów.
Trójkąty \(KNM\) oraz \(NLM\) mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka \(M\) na prostą zawierającą podstawę \(KL\). Oznaczmy tę wysokość jako \(h\). W takim razie:
· pole trójkąta \(KNM\) to: \(P_{KNM}=\frac{1}{2}\cdot|KN|\cdot h\)
· pole trójkąta \(NLM\) to: \(P_{NLM}=\frac{1}{2}\cdot|NL|\cdot h\)

Krok 3. Obliczenie stosunku pól i zakończenie dowodzenia.
Stosunek pól powierzchni jest zatem równy:
$$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot|KN|\cdot h}{\frac{1}{2}\cdot|NL|\cdot h}=\frac{|KN|}{|NL|}$$

Z pierwszego kroku wiemy, że \(\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{a}{b}\), co kończy dowód.

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Pole kwadratu można obliczyć ze wzoru wykorzystującego długość przekątnej \(d\):
$$P_p=\frac{d^2}{2} \\
P_{p}=\frac{(8\sqrt{3})^2}{2} \\
P_{p}=\frac{64\cdot3}{2} \\
P_{p}=\frac{192}{2} \\
P_{p}=96$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy to kąt między krawędzią boczną a połową przekątnej podstawy. Tworzą one wraz z wysokością ostrosłupa (\(H\)) trójkąt prostokątny.


Połowa przekątnej podstawy jest równa:
$$\frac{d}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$$

Zerkamy zatem na nasz zaznaczony na rysunku trójkąt prostokątny z którego obliczymy teraz wysokość bryły. Korzystając z funkcji trygonometrycznych (albo z własności trójkąta o kątach \(30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}\)), możemy zapisać, że:
$$tg30^{\circ}=\frac{H}{\frac{d}{2}} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{4\sqrt{3}} \quad\bigg/\cdot4\sqrt{3} \\
H=\frac{\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}}{3} \\
H=\frac{4\cdot3}{3} \\
H=4$$

Krok 3. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne miary, zatem możemy przejść do obliczenia objętości bryły:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot96\cdot4 \\
V=32\cdot4 \\
V=128$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Zbiór \(X\) ma \(5\) elementów, zbiór \(Y\) ma \(5\) elementów. Zgodnie z regułą mnożenia, liczba wszystkich możliwych utworzonych liczb dwucyfrowych wynosi w takim razie \(|\Omega|=5\cdot5=25\).

Krok 2. Wyznaczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Liczba jest podzielna przez \(6\), jeśli jest podzielna przez \(2\) i przez \(3\).

Ponieważ cyfrą jedności jest zawsze cyfra ze zbioru \(Y\) (a wszystkie cyfry w \(Y\) są parzyste), każda utworzona liczba będzie parzysta (podzielna przez \(2\)). Musimy zatem sprawdzić tylko warunek podzielności przez \(3\). Liczba dzieli się przez \(3\), gdy suma jej cyfr dzieli się przez \(3\). Wypiszmy pary (cyfra dziesiątek z \(X\), cyfra jedności z \(Y\)), których suma dzieli się przez \(3\):
· dla \(1\): \(1+2=3\), \(1+8=9\) (liczby: \(12\), \(18\))
· dla \(3\): \(3+0=3\), \(3+6=9\) (liczby: \(30\), \(36\))
· dla \(5\): \(5+4=9\) (liczba: \(54\))
· dla \(7\): \(7+2=9\), \(7+8=15\) (liczby: \(72\), \(78\))
· dla \(9\): \(9+0=9\), \(9+6=15\) (liczby: \(90\), \(96\))

To oznacza, że wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy:
$$|A|=2+2+1+2+2=9$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{9}{25}$$

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka \(W=(3, -2)\), możemy zapisać wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q \\
f(x)=a(x-3)^2-2$$

Krok 2. Wykorzystanie własności funkcji \(g\) do wyznaczenia współczynnika \(a\).
Wiemy, że \(g(x)=f(x+1)\). Mówiąc bardzo obrazowo, jeżeli do wzoru funkcji \(f(x)\) podstawimy w miejsce \(x\) wyrażenie \(x+1\), to otrzymamy wzór funkcji \(g\):
$$g(x)=a(x+1-3)^2-2
g(x)=a(x-2)^2-2$$

Z treści zadania wynika, że miejscem zerowym funkcji \(g\) jest liczba \(0\). Skoro tak, to oznacza, że podstawiając \(x=0\) powinniśmy otrzymać wynik równy \(0\), zatem:
$$a\cdot(0-2)^2-2=0 \\
a\cdot(-2)^2-2=0 \\
4a-2=0 \\
4a=2 \\
a=\frac{1}{2}$$

Współczynnik \(a\) funkcji \(f(x)\) będzie taki sam jak funkcji \(g(x)\), a to prowadzi nas do wniosku, że:
$$f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2-2$$

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci ogólnej.
Na koniec musimy jeszcze zapisać wzór naszej funkcji w postaci ogólnej, zatem:
$$f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2-2 \\
f(x)=\frac{1}{2}(x^2-6x+9)-2 \\
f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+4\frac{1}{2}-2 \\
f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+2\frac{1}{2}$$

Krok 1. Obliczenie wyrazów \(a_1\) oraz \(a_9\).
Podstawiając odpowiednie wartości \(n\) do wzoru ciągu, otrzymamy:
$$a_1=3\cdot1+5=3+5=8$$
$$a_9=3\cdot9+5=27+5=32$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(a_k\).
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$$a_{2}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając znane informacje do tej zależności, otrzymamy:
$$32^2=8\cdot a_{k} \\
1024=8\cdot a_{k} \\
a_{k}=128$$

Krok 3. Obliczenie \(k\).
Wiemy już, że nasz trzeci wyraz określony jako \(a_{k}\) jest równy \(128\). Celem zadania jest obliczenie ile wynosi to \(k\), czyli tak obrazowo rzecz ujmując, musimy ustalić którym wyrazem ciągu \(a_{n}\) jest liczba \(128\). W tym celu musimy przyrównać \(128\) do wzoru \(a_{n}=3n+5\), otrzymując:
$$3n+5=128 \\
3n=123 \\
n=41$$

To oznacza, że jest to \(41.\) wyraz ciągu \(a_{n}\), czyli tym samym \(k=41\).

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Skoro punkt \(C\) leży na osi \(OX\), to jego współrzędne mają postać \(C=(x, 0)\).

Z treści zadania wiemy, że \(|AC|=|BC|\), co oznacza również, że \(|AC|^{2}=|BC|^{2}\). Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, moglibyśmy teraz zapisać, że:
$$|AC|^{2}=(x-(-4))^{2}+(0-(-2))^{2} \\
|AC|^{2}=(x+4)^{2}+2^{2} \\
|AC|^{2}=(x+4)^{2}+4$$

$$|BC|^{2}=(x-(-2))^{2}+(0-10)^{2} \\
|BC|^{2}=(x+2)^{2}+(-10)^{2} \\
|BC|^{2}=(x+2)^{2}+100$$

Skoro te dwa wyrażenia mają być sobie równe, to:
$$(x+4)^{2}+4=(x+2)^{2}+100 \\
x^{2}+8x+16+4=x^{2}+4x+4+100 \\
x^{2}+8x+20=x^{2}+4x+104 \\
8x-4x=104-20 \\
4x=84 \\
x=21$$

Współrzędne punktu \(C\) to \((21, 0)\).

Krok 2. Obliczenie długości podstawy \(AB\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}} \\
|AB|=\sqrt{(-2-(-4))^{2}+(10-(-2))^{2}} \\
|AB|=\sqrt{2^{2}+12^{2}}=\sqrt{4+144} \\
|AB|=\sqrt{148} \\
|AB|=\sqrt{4\cdot37}=2\sqrt{37}$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta.
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części. Oznaczmy środek odcinka \(AB\) jako \(D\).
$$D=\left(\frac{-4+(-2)}{2}, \frac{-2+10}{2}\right) \\
D=\left(\frac{-6}{2}, \frac{8}{2}\right) \\
D=(-3, 4)$$

Wysokość \(h\) to długość odcinka \(CD\), zatem ponownie korzystając ze wzoru na długość odcinka, otrzymamy:
$$|CD|=\sqrt{(x_{D}-x_{C})^{2}+(y_{D}-y_{C})^{2}} \\
|CD|=\sqrt{(-3-21)^{2}+(4-0)^{2}} \\
|CD|=\sqrt{(-24)^{2}+4^{2}} \\
|CD|=\sqrt{576+16} \\
|CD|=\sqrt{592} \\
|CD|=\sqrt{16\cdot37} \\
|CD|=4\sqrt{37}$$

Tym samym \(h=4\sqrt{37}\).

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Mamy już komplet danych, zatem zostało nam już tylko formalne obliczenie pola trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{37}\cdot4\sqrt{37} \\
P=\sqrt{37}\cdot4\sqrt{37} \\
P=4\cdot37 \\
P=148$$