Matura – Matematyka – Maj 2026 (stara matura) – Odpowiedzi

C

Korzystając z własności pierwiastków (iloczyn pierwiastków to pierwiastek z iloczynu) oraz z definicji potęgi o wykładniku ujemnym, otrzymamy:
$$\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}=\sqrt{\frac{25}{8}\cdot2}+\frac{1}{2}= \\
=\sqrt{\frac{25}{4}}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

B

Krok 1. Obliczenie kapitału końcowego.
Korzystamy ze wzoru na procent składany, gdzie kapitał początkowy to \(10000\), oprocentowanie to \(0,06\), a liczba lat to \(2\):
$$K_k=10000\cdot(1+0,06)^2=10000\cdot(1,06)^2=10000\cdot1,1236=11236$$

Krok 2. Obliczenie wartości doliczonych odsetek.
Odejmujemy kapitał początkowy od kapitału końcowego:
$$11236-10000=1236$$

C

Krok 1. Zapisanie pierwiastków w postaci potęg.
$$\sqrt{5\sqrt{5}}=(5\cdot5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$$

Krok 2. Wykonanie działań na potęgach.
$$(5^1\cdot5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=(5^{1+\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=(5^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{4}}$$

B

Krok 1. Zastosowanie wzoru na różnicę logarytmów.
Korzystając z własności działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$\log_{8}4-\log_{8}32=\log_{8}\left(\frac{4}{32}\right)=\log_{8}\left(\frac{1}{8}\right)$$

Krok 2. Obliczenie wartości logarytmu.
Musimy jeszcze obliczyć wartość otrzymanego logarytmu. Mówiąc bardziej obrazowo, szukamy potęgi, do której należy podnieść \(8\), aby otrzymać \(\frac{1}{8}\), a skoro \(8^{-1}=\frac{1}{8}\), to w takim razie \(\log_{8}(\frac{1}{8})=-1\)

A

Oczywiście możemy podstawić \(x=\sqrt{2}-5\) bezpośrednio do naszego wyrażenia (pamiętając oczywiście o tym by później poprawnie wykonać to potęgowanie), ale obliczenia staną się znacznie prostsze, gdy dostrzeżemy, że podane wyrażenie można zwinąć za pomocą wzoru na kwadrat sumy:
$$x^2+10x+25=(x+5)^2$$

I jeśli teraz podstawimy \(x=\sqrt{2}-5\) do uproszczonego wyrażenia, to otrzymamy:
$$(\sqrt{2}-5+5)^2=(\sqrt{2})^2=2$$

C

Krok 1. Wyznaczenie rozwiązań równania.
Mamy równanie w postaci iloczynowej. Aby iloczyn był równy zero, któryś z czynników musi być równy zero:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-m=0 \quad\lor\quad 2x+4=0 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=m \quad\lor\quad 2x=-4 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=m \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(m\).
Z treści zadania wiemy, że suma tych rozwiązań wynosi \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że:
$$-3+m+(-2)=0 \\
m-5=0 \\
m=5$$

D

Krok 1. Wyznaczenie dziedziny równania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to mianownik nie może być równy zero:
$$3x-1\neq0 \\
3x\neq1 \\
x\neq\frac{1}{3}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Do równania można podejść na różne sposoby, ale w tego typu przypadkach najlepiej sprawdzi się mnożenie na krzyż:
$$5(x+2)=2(3x-1) \\
5x+10=6x-2 \\
-x=-12 \\
x=12$$

Otrzymany wynik nie wyklucza się z założeniami, więc poszukiwanym rozwiązaniem jest \(x=12\).

A

Sprawdźmy poprawność każdej z podanych odpowiedzi:
· Odp A.: Szukamy argumentu \(x\), dla którego wartość funkcji wynosi \(3\). Z wykresu odczytujemy, że dzieje się tak dla \(x=1\), zatem to zdanie jest prawdziwe.
· Odp B.: W przedziale \(\langle2,3\rangle\) funkcja przyjmuje największą wartość równą \(4\) (dla \(x=2\)). Zdanie jest więc fałszywe.
· Odp C.: W przedziale \(\langle0,2\rangle\) funkcja rośnie, a dopiero potem maleje. Zdanie jest więc fałszywe.
· Odp D.: Funkcja przecina oś \(OX\) tylko w jednym punkcie (dla \(x=-2\)). W punkcie \(x=5\) znajduje się otwarte kółko, więc nie należy on do dziedziny. Zdanie jest więc fałszywe.

C

Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Widzimy, że najmniejszą wartość jaką przyjmuje nasza funkcja jest \(-2\), z kolei najwyższą jest \(4\), zatem zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(\langle-2,4\rangle\).

A

Argumenty odczytujemy z osi iksów. Chcemy się dowiedzieć kiedy wartości przyjmowane przez funkcję są ujemne, czyli mniejsze od \(0\). Wykres zaczyna się w punkcie \(x=-4\) (zamalowana kropka, więc należy do przedziału) i przecina oś \(OX\) w punkcie \(x=-2\) (wtedy wartość wynosi \(0\), więc tego argumentu już nie bierzemy pod uwagę, czyli damy tutaj nawias otwarty). Zatem wartości ujemne funkcja przyjmuje dla \(x\in\langle-4,-2)\).

D

Współczynnik kierunkowy \(a\) związany jest z monotonicznością funkcji. Widzimy, że funkcja jest malejąca, co oznacza, że \(a\lt0\).

Współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się wykresu z osią \(OY\). Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś \(OY\) poniżej osi \(OX\) (w punkcie \((0,-1)\)), co oznacza, że \(b\lt0\).

A

Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej.
Z wykresu możemy odczytać dwa punkty o współrzędnych całkowitych, przez które przechodzi prosta: \((-2,0)\) oraz \((0,-3)\). To pozwoli nam wyznaczyć wartość współczynnika kierunkowego \(a\):
$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\
a=\frac{-3-0}{0-(-2)} \\
a=-\frac{3}{2}$$

Krok 2. Związek tangensa z współczynnikiem kierunkowym.
Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi \(OX\), zatem \(tg\alpha=a=-\frac{3}{2}\).

D

Piłeczka uderza w ziemię, gdy jej wysokość wynosi \(0\). Musimy więc przyrównać wzór funkcji do zera, zatem:
$$-4,9t^2+14,7t=0$$

Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Możemy oczywiście zastosować niezawodną deltę, ale to jest jedno z tych równań, które damy radę rozwiązać nieco szybciej. Wystarczy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias, otrzymując postać iloczynową:
$$-4,9t(t-3)=0$$

Aby iloczyn był równy zero, któryś z czynników musi być równy zero, zatem:
$$-4,9t=0 \quad\lor\quad t-3=0 \\
t=0 \quad\lor\quad t=3$$

Chwila \(t=0\) to moment wyrzucenia piłeczki. W takim razie piłeczka uderzy w ziemię po raz pierwszy w chwili \(t=3\).

B

Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_n=a_1+(n-1)r\), otrzymamy:
$$a_5=a_1+4r \\
17=1+4r \\
16=4r \\
r=4$$

Krok 2. Obliczenie dziewiątego wyrazu ciągu.
Znając różnicę oraz wartość pierwszego wyrazu, obliczenie wartości dziewiątego wyrazu jest już tylko formalnością:
$$a_9=a_1+8r \\
a_9=1+8\cdot4 \\
a_9=1+32 \\
a_9=33$$

\(18\)

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najlepiej byłoby zauważyć, że \(a_{3}=a_{2}\cdot q\) oraz \(a_{6}=a_{7}:q\). Tym samym moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{3}\cdot a_{6}=18 \\
(a_{2}\cdot q)\cdot(a_{7}:q)=18 \\
a_{2}\cdot a_{7}=18$$

C

Krok 1. Obliczenie długości przyprostokątnej \(AB\).
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymamy:
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\
|AB|^2+2^2=(2\sqrt{10})^2 \\
|AB|^2+4=4\cdot10 \\
|AB|^2+4=40 \\
|AB|^2=36 \\
|AB|=6 \quad\lor\quad |AB|=-6$$

Długość odcinka musi być oczywiście dodania, zatem \(|AB|=6\).

Krok 2. Obliczenie sinusa kąta \(\gamma\).
Sinus kąta to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej, zatem::
$$\sin\gamma=\frac{|AB|}{|AC|} \\
\sin\gamma=\frac{6}{2\sqrt{10}} \\
\sin\gamma=\frac{3}{\sqrt{10}}$$

D

Kluczem do sukcesu będzie rozdzielenie zapisu na dwa oddzielne ułamki i wykorzystanie faktu, że \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6 \\
\frac{3\sin\alpha}{4\cos\alpha}+\frac{4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6 \\
\frac{3}{4} tg\alpha+1=6 \\
\frac{3}{4} tg\alpha=5 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \\
tg\alpha=5\cdot\frac{4}{3}=\frac{20}{3}$$

C

Krok 1. Wykorzystanie zależności między kątem wpisanym a środkowym.
Kąt wpisany \(CDA\) jest oparty na łuku \(AC\). Kąt środkowy oparty na tym samym łuku to kąt \(COA\). Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:
$$|\sphericalangle COA|=2\cdot50^{\circ}=100^{\circ}$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BOA\).
Z rysunku wynika, że kąt \(COA\) jest sumą kątów \(COB\) oraz \(BOA\), zatem:
$$|\sphericalangle BOA|=100^{\circ}-30^{\circ}=70^{\circ}$$

\(27\)

Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to \(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Podstawiając wartość promienia \(9\sqrt{3}\), otrzymamy:
$$\frac{a\sqrt{3}}{3}=9\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot3 \\
a\sqrt{3}=27\sqrt{3} \\
a=27$$

B

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Ponieważ proste \(k\) i \(l\) są równoległe, trójkąty \(AOD\) i \(COB\) są podobne (kąty wierzchołkowe przy wierzchołku \(O\) są równe, a kąty naprzemianległe są równe). Tp oznacza, że stosunek długości odpowiednich boków w tych trójkątach jest stały:
$$\frac{|OD|}{|OB|}=\frac{|OA|}{|OC|}$$

Podstawiając do tej zależności dane z treści zadania, otrzymamy:
$$\frac{|OD|}{6}=\frac{12}{8} \\
\frac{|OD|}{6}=\frac{3}{2} \quad\bigg/\cdot6 \\
|OD|=\frac{3\cdot6}{2}=9$$

D

Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(l\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy. To prowadzi nas do wniosku, że prosta \(l\) ma ten sam współczynnik kierunkowy co prosta \(k\), zatem prosta \(l\) ma równanie postaci:
$$y=-\frac{1}{3}x+b$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), podstawiamy współrzędne punktu \((2,-2)\) do wzoru, przez który przechodzi prosta \(l\):
$$-2=-\frac{1}{3}\cdot2+b \\
-2=-\frac{2}{3}+b \\
b=-2+\frac{2}{3} \\
b=-\frac{6}{3}+\frac{2}{3} \\
b=-\frac{4}{3}$$

Równanie prostej \(l\) to w takim razie \(y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}\).

Krok 3. Znalezienie punktu przecięcia z osią \(Oy\).
Punkt przecięcia z osią \(Oy\) ma współrzędną \(x=0\), a jego współrzędna \(y\) jest równa wyrazowi wolnemu \(b\). Zatem jest to punkt \((0,-\frac{4}{3})\).

D

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu \(a\).
Korzystając ze wzoru na pole całkowite sześcianu \(P_{c}=6a^{2}\) możemy obliczyć długość krawędzi naszej bryły:
$$6a^{2}=12 \quad\bigg/:6 \\
a^{2}=2 \\
a=\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej sześcianu \(d\).
Wzór na przekątną sześcianu to \(d=a\sqrt{3}\), zatem:
$$d=\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} \\
d=\sqrt{6}$$

D

Krok 1. Zapisanie wzorów na objętość obu brył.
Niech \(H\) oznacza wysokość obu brył, a \(x\) promień podstawy walca. Wtedy promień podstawy stożka to zgodnie z treścią zadania \(r_s=2x\).

Objętość stożka:
$$V_s=\frac{1}{3}\pi r_s^2H \\
V_s=\frac{1}{3}\pi\cdot(2x)^2\cdot H \\
V_s=\frac{1}{3}\pi\cdot 4x^2\cdot H \\
V_s=\frac{4}{3}\pi \cdot x^2\cdot H$$

Objętość walca:
$$V_w=\pi \cdot x^2\cdot H$$

Krok 2. Obliczenie stosunku objętości.
$$\frac{V_s}{V_w}=\frac{\frac{4}{3}\pi \cdot x^2\cdot H}{\pi \cdot x^2\cdot H} \\
\frac{V_s}{V_w}=\frac{4}{3}$$

A

Tworzymy liczbę trzycyfrową z dostępnego zbioru \(7\) cyfr: \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
· Cyfra setek: nie może być zerem, więc mamy do wyboru \(6\) cyfr.
· Cyfra dziesiątek: może być dowolną cyfrą ze zbioru, więc mamy \(7\) możliwości.
· Cyfra jedności: aby liczba była nieparzysta, na końcu musi stać cyfra nieparzysta. W naszym zbiorze są to cyfry \(\{1, 3, 5\}\), czyli mamy \(3\) możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich takich liczb jest zatem \(6\cdot7\cdot3\).

C

Średnia arytmetyczna liczb \(a, b, c\) jest równa \(2\), zatem:
$$\frac{a+b+c}{3}=2 \\
a+b+c=6$$

Średnia arytmetyczna liczb \(d, e, f, g\) jest równa \(5,5\), zatem:
$$\frac{d+e+f+g}{4}=5,5 \\
d+e+f+g=22$$

Tym samym średnia arytmetyczna wszystkich siedmiu liczb będzie równa:
$$śr=\frac{a+b+c+d+e+f+g}{7} \\
śr=\frac{6+22}{7} \\
śr=\frac{28}{7} \\
śr=4$$

\(x\in(-\infty,-\frac{4}{3}]\cup[2,\infty)\)

Krok 1. Przekształcenie nierówności do postaci ogólnej.
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i doprowadzamy całość do postaci ogólnej:
$$3x^2+4x-6x-8\ge0 \\
3x^2-2x-8\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-2,\;c=-8\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-8)=4+96=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-10}{2\cdot3}=\frac{2-10}{6}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+10}{2\cdot3}=\frac{2+10}{6}=\frac{12}{6}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości większych lub równych zero, zatem zerkamy na to co znajduje się nad osią. Rozwiązaniem jest więc suma przedziałów:
\(x\in(-\infty,-\frac{4}{3}]\cup[2,\infty)\)

Udowodniono wykorzystując wzory skróconego mnożenia.

Krok 1. Przekształcenie nierówności.
Na początku uporządkujmy cały zapis i przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$a^{2}-ab\ge ab-3b^{2} \\
a^{2}-ab-ab+3b^{2}\ge0 \\
a^{2}-2ab+3b^{2}\ge0$$

Krok 2. Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia.
Kluczem do sukcesu jest rozbicie \(3b^{2}\) na sumę \(b^{2}+2b^{2}\), aby móc za chwilę skorzystać ze wzoru na kwadrat różnicy:
$$a^{2}-2ab+b^{2}+2b^{2}\ge0 \\
(a-b)^{2}+2b^{2}\ge0$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc \((a-b)^{2}\) oraz \(b^{2}\) są większe od zera. To oznacza również, że większe od zera będzie \(2b^{2}\). Suma dwóch liczb nieujemnych jest zawsze większa lub równa zero. Nierówność jest zatem prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i \(b\), co należało udowodnić.

\(78\)

Krok 1. Obliczenie całkowitych wpływów ze sprzedaży biletów.
Niech \(W\) oznacza całkowite wpływy ze sprzedaży biletów. Skoro po odliczeniu \(25\%\) kosztów zostało \(4665\) \(zł\), to kwota ta stanowi \(75\%\) całkowitych wpływów:
$$0,75W=4665 \\
W=\frac{4665}{0,75}=6220$$

Całkowite wpływy wyniosły \(6220 zł\).

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Niech \(x\) oznacza liczbę biletów normalnych, a \(y\) liczbę biletów ulgowych. Wiemy, że łącznie sprzedano \(200\) biletów, zatem:
$$x+y=200$$

Równanie opisujące wpływy ze sprzedaży to:
$$35x+25y=6220$$

Te dwa równania tworzą teraz układ równań, który musimy rozwiązać:
\begin{cases}
x+y=200 \\
35x+25y=6220
\end{cases}

Metoda rozwiązywania jest dowolna, ale najłatwiej będzie chyba dostrzec, że z pierwszego równania otrzymamy \(x=200-y\) i tę wartość możemy od razu podstawić do drugiego równania:
$$35\cdot(200-y)+25y=6220 \\
7000-35y+25y=6220 \\
-10y=-780 \\
y=78$$

Udowodniono, korzystając ze wzoru na pole trójkąta z sinusem (lub korzystając z twierdzenia o dwusiecznej kąta).

I sposób - z wykorzystaniem wzorów na pole trójkąta (z sinuem)

Krok 1. Zapisanie pól trójkątów z wykorzystaniem wzoru z sinusem.
Oznaczmy miarę kąta \(KMN\) oraz \(NML\) jako \(α\), co wynika z faktu, że odcinek \(MN\) jest dwusieczną kąta \(LMK\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta z sinusem kąta między bokami, pole trójkąta \(KNM\) możemy zapisać jako:
$$P_{KNM}=\frac{1}{2}\cdot |KM|\cdot |MN|\cdot \sinα \\
P_{KNM}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot |MN|\cdot \sinα$$

Podobnie postępujemy dla trójkąta \(NLM\), jego pole wyznaczymy również ze wzoru z sinusem:
$$P_{NLM}=\frac{1}{2}\cdot |LM|\cdot |MN|\cdot \sinα \\
P_{NLM}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot |MN|\cdot \sinα$$

Krok 2. Wyznaczenie stosunku pól obydwu trójkątów.
Zgodnie z poleceniem musimy teraz obliczyć stosunek pól, czyli podzielić pole pierwszego trójkąta przez pole drugiego trójkąta. W wyniku tego dzielenia powtarzające się wyrażenia nam się po prostu skrócą:
$$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot a\cdot |MN|\cdot \sinα}{\frac{1}{2}\cdot b\cdot |MN|\cdot \sinα} \\
\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}$$

Otrzymaliśmy oczekiwany stosunek pól powierzchni, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.

II sposób - z wykorzystaniem twierdzenia o dwusiecznej kąta.

Krok 1. Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie.
Zgodnie z twierdzeniem o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie, dwusieczna dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do długości pozostałych boków. Zatem:
$$\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|LM|}=\frac{a}{b}$$

Krok 2. Analiza pól trójkątów.
Trójkąty \(KNM\) oraz \(NLM\) mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka \(M\) na prostą zawierającą podstawę \(KL\). Oznaczmy tę wysokość jako \(h\). W takim razie:
· pole trójkąta \(KNM\) to: \(P_{KNM}=\frac{1}{2}\cdot|KN|\cdot h\)
· pole trójkąta \(NLM\) to: \(P_{NLM}=\frac{1}{2}\cdot|NL|\cdot h\)

Krok 3. Obliczenie stosunku pól i zakończenie dowodzenia.
Stosunek pól powierzchni jest zatem równy:
$$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot|KN|\cdot h}{\frac{1}{2}\cdot|NL|\cdot h}=\frac{|KN|}{|NL|}$$

Z pierwszego kroku wiemy, że \(\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{a}{b}\), co kończy dowód.

\(V=128\)

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Pole kwadratu można obliczyć ze wzoru wykorzystującego długość przekątnej \(d\):
$$P_p=\frac{d^2}{2} \\
P_{p}=\frac{(8\sqrt{3})^2}{2} \\
P_{p}=\frac{64\cdot3}{2} \\
P_{p}=\frac{192}{2} \\
P_{p}=96$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy to kąt między krawędzią boczną a połową przekątnej podstawy. Tworzą one wraz z wysokością ostrosłupa (\(H\)) trójkąt prostokątny.


Połowa przekątnej podstawy jest równa:
$$\frac{d}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$$

Zerkamy zatem na nasz zaznaczony na rysunku trójkąt prostokątny z którego obliczymy teraz wysokość bryły. Korzystając z funkcji trygonometrycznych (albo z własności trójkąta o kątach \(30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}\)), możemy zapisać, że:
$$tg30^{\circ}=\frac{H}{\frac{d}{2}} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{4\sqrt{3}} \quad\bigg/\cdot4\sqrt{3} \\
H=\frac{\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}}{3} \\
H=\frac{4\cdot3}{3} \\
H=4$$

Krok 3. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne miary, zatem możemy przejść do obliczenia objętości bryły:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot96\cdot4 \\
V=32\cdot4 \\
V=128$$

\(P(A)=\frac{9}{25}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Zbiór \(X\) ma \(5\) elementów, zbiór \(Y\) ma \(5\) elementów. Zgodnie z regułą mnożenia, liczba wszystkich możliwych utworzonych liczb dwucyfrowych wynosi w takim razie \(|\Omega|=5\cdot5=25\).

Krok 2. Wyznaczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Liczba jest podzielna przez \(6\), jeśli jest podzielna przez \(2\) i przez \(3\).

Ponieważ cyfrą jedności jest zawsze cyfra ze zbioru \(Y\) (a wszystkie cyfry w \(Y\) są parzyste), każda utworzona liczba będzie parzysta (podzielna przez \(2\)). Musimy zatem sprawdzić tylko warunek podzielności przez \(3\). Liczba dzieli się przez \(3\), gdy suma jej cyfr dzieli się przez \(3\). Wypiszmy pary (cyfra dziesiątek z \(X\), cyfra jedności z \(Y\)), których suma dzieli się przez \(3\):
· dla \(1\): \(1+2=3\), \(1+8=9\) (liczby: \(12\), \(18\))
· dla \(3\): \(3+0=3\), \(3+6=9\) (liczby: \(30\), \(36\))
· dla \(5\): \(5+4=9\) (liczba: \(54\))
· dla \(7\): \(7+2=9\), \(7+8=15\) (liczby: \(72\), \(78\))
· dla \(9\): \(9+0=9\), \(9+6=15\) (liczby: \(90\), \(96\))

To oznacza, że wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy:
$$|A|=2+2+1+2+2=9$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{9}{25}$$

\(f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+2\frac{1}{2}\)

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka \(W=(3, -2)\), możemy zapisać wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q \\
f(x)=a(x-3)^2-2$$

Krok 2. Wykorzystanie własności funkcji \(g\) do wyznaczenia współczynnika \(a\).
Wiemy, że \(g(x)=f(x+1)\). Mówiąc bardzo obrazowo, jeżeli do wzoru funkcji \(f(x)\) podstawimy w miejsce \(x\) wyrażenie \(x+1\), to otrzymamy wzór funkcji \(g\):
$$g(x)=a(x+1-3)^2-2
g(x)=a(x-2)^2-2$$

Z treści zadania wynika, że miejscem zerowym funkcji \(g\) jest liczba \(0\). Skoro tak, to oznacza, że podstawiając \(x=0\) powinniśmy otrzymać wynik równy \(0\), zatem:
$$a\cdot(0-2)^2-2=0 \\
a\cdot(-2)^2-2=0 \\
4a-2=0 \\
4a=2 \\
a=\frac{1}{2}$$

Współczynnik \(a\) funkcji \(f(x)\) będzie taki sam jak funkcji \(g(x)\), a to prowadzi nas do wniosku, że:
$$f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2-2$$

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci ogólnej.
Na koniec musimy jeszcze zapisać wzór naszej funkcji w postaci ogólnej, zatem:
$$f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2-2 \\
f(x)=\frac{1}{2}(x^2-6x+9)-2 \\
f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+4\frac{1}{2}-2 \\
f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+2\frac{1}{2}$$

\(k=41\)

Krok 1. Obliczenie wyrazów \(a_1\) oraz \(a_9\).
Podstawiając odpowiednie wartości \(n\) do wzoru ciągu, otrzymamy:
$$a_1=3\cdot1+5=3+5=8$$
$$a_9=3\cdot9+5=27+5=32$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(a_k\).
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$$a_{2}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając znane informacje do tej zależności, otrzymamy:
$$32^2=8\cdot a_{k} \\
1024=8\cdot a_{k} \\
a_{k}=128$$

Krok 3. Obliczenie \(k\).
Wiemy już, że nasz trzeci wyraz określony jako \(a_{k}\) jest równy \(128\). Celem zadania jest obliczenie ile wynosi to \(k\), czyli tak obrazowo rzecz ujmując, musimy ustalić którym wyrazem ciągu \(a_{n}\) jest liczba \(128\). W tym celu musimy przyrównać \(128\) do wzoru \(a_{n}=3n+5\), otrzymując:
$$3n+5=128 \\
3n=123 \\
n=41$$

To oznacza, że jest to \(41.\) wyraz ciągu \(a_{n}\), czyli tym samym \(k=41\).

\(C=(21, 0)\) oraz \(P=148\)

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Skoro punkt \(C\) leży na osi \(OX\), to jego współrzędne mają postać \(C=(x, 0)\).

Z treści zadania wiemy, że \(|AC|=|BC|\), co oznacza również, że \(|AC|^{2}=|BC|^{2}\). Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, moglibyśmy teraz zapisać, że:
$$|AC|^{2}=(x-(-4))^{2}+(0-(-2))^{2} \\
|AC|^{2}=(x+4)^{2}+2^{2} \\
|AC|^{2}=(x+4)^{2}+4$$

$$|BC|^{2}=(x-(-2))^{2}+(0-10)^{2} \\
|BC|^{2}=(x+2)^{2}+(-10)^{2} \\
|BC|^{2}=(x+2)^{2}+100$$

Skoro te dwa wyrażenia mają być sobie równe, to:
$$(x+4)^{2}+4=(x+2)^{2}+100 \\
x^{2}+8x+16+4=x^{2}+4x+4+100 \\
x^{2}+8x+20=x^{2}+4x+104 \\
8x-4x=104-20 \\
4x=84 \\
x=21$$

Współrzędne punktu \(C\) to \((21, 0)\).

Krok 2. Obliczenie długości podstawy \(AB\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}} \\
|AB|=\sqrt{(-2-(-4))^{2}+(10-(-2))^{2}} \\
|AB|=\sqrt{2^{2}+12^{2}}=\sqrt{4+144} \\
|AB|=\sqrt{148} \\
|AB|=\sqrt{4\cdot37}=2\sqrt{37}$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta.
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części. Oznaczmy środek odcinka \(AB\) jako \(D\).
$$D=\left(\frac{-4+(-2)}{2}, \frac{-2+10}{2}\right) \\
D=\left(\frac{-6}{2}, \frac{8}{2}\right) \\
D=(-3, 4)$$

Wysokość \(h\) to długość odcinka \(CD\), zatem ponownie korzystając ze wzoru na długość odcinka, otrzymamy:
$$|CD|=\sqrt{(x_{D}-x_{C})^{2}+(y_{D}-y_{C})^{2}} \\
|CD|=\sqrt{(-3-21)^{2}+(4-0)^{2}} \\
|CD|=\sqrt{(-24)^{2}+4^{2}} \\
|CD|=\sqrt{576+16} \\
|CD|=\sqrt{592} \\
|CD|=\sqrt{16\cdot37} \\
|CD|=4\sqrt{37}$$

Tym samym \(h=4\sqrt{37}\).

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Mamy już komplet danych, zatem zostało nam już tylko formalne obliczenie pola trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{37}\cdot4\sqrt{37} \\
P=\sqrt{37}\cdot4\sqrt{37} \\
P=4\cdot37 \\
P=148$$