Matura – Matematyka – Maj 2025

Krok 1. Rozpisanie podanej liczby.
W algebrze liczby parzyste możemy zapisać jako \(2k\), a liczby nieparzyste jako \(2k+1\) (gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą). Podstawiając zatem wyrażenie \(2k+1\) do naszej liczby, otrzymamy:
$$3\cdot(2k+1)^2+2\cdot(2k+1)+7= \\
=3\cdot(4k^2+4k+1)+4k+2+7= \\
=12k^2+12k+3+4k+2+7= \\
=12k^2+16k+12= \\
=4\cdot(3k^2+4k+3)$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Wartość wyrażenia \(3k^2+4k+3\) jest dodatnia, a tym samym wyłączona czwórka przed nawias oznacza, że liczba jest jak najbardziej podzielna przez \(4\), co należało udowodnić.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Aby się nie pogubić podczas rozwiązywania, rozpiszmy sobie wszystko bardzo dokładnie:
\(x\) - kwota przyznana zespołowi \(A\)
\(0,13x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(A\)

\(1200000-x\) - kwota przyznana zespołowi \(B\)
\(0,11\cdot(1200000-x)=132000-0,11x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(B\)

Krok 2. Obliczenie kwoty przyznanej zespołowej \(A\).
Z treści zadania wynika, że suma dotychczasowych wydatków zespołu \(A\) i \(B\) wynosi \(146\;700\) złotych. Na podstawie zapisanych wcześniej oznaczeń możemy zapisać, że w takim razie:
$$0,13x+132000-0,11x=146700 \\
0,02x+132000=146700 \\
0,02x=14700 \\
x=735000$$

To oznacza, że zespół \(A\) otrzymał na projekt badawczy kwotę \(735\;000\) złotych.

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, musimy uporządokować cały zapis, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$3(2x^2+1)\lt11x \\
6x^2+3\lt11x \\
6x^2-11x+3\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=6,\;b=-11,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot6\cdot3=121-72=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)-7}{2\cdot6}=\frac{11-7}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)+7}{2\cdot6}=\frac{11+7}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{1}{3}\) oraz \(x=\frac{3}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:
--rysunek dodam później---

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)$$

Krok 1. Wyznaczenie dziedziny funkcji \(f\).
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(Ox\). Z wykresu wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od argumentu \(x=-4\) aż do argumentu \(x=4\) (ale bez czwórki, bo kropka jest niezamalowana). Stąd też zapisalibyśmy, że dziedziną funkcji jest przedział \(\langle-4,4)\)

Krok 2. Wyznaczenie zbioru wartości funkcji \(f\).
Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Z wykresu wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od \(y=-3\) (ale bez minus trójki, bo kropka jest niezamalowana), aż do \(y=3\). W takim razie zbiorem wartości będzie przedział \((-3,3\rangle\)

Krok 3. Wyznaczenie zbioru argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie.
Wartości dodatnie są przyjmowane dla argumentów od \(-4\) aż do \(x=3\) (ale bez trójki, bo dla \(x=3\) mamy wartość równą \(0\)). Stąd też poszukiwanym przedziałem będzie \(\langle-4,3)\).

Krok 4. Wyznaczenie rozwiązań równania \(f(x)=3\).
Musimy ustalić dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(3\). Tu bardzo dużą pułapką jest fakt, że teoretycznie ze wzoru wynika, że ta wartość jest przyjmowana dla \(x\in(-2,2\rangle\) i to jest prawda, ale ta wartość jest także przyjmowana dla \(x=-2\), co też należałoby uwzględnić. Stąd też moglibyśmy zapisać, że zbiorem rozwiązań naszego równania będzie przedział \(\langle-2,2\rangle\).

Krok 1. Zapisanie równania.
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Ten ciąg będzie więc arytmetyczny wtedy, gdy spełni powyższą równość. Podstawiając zatem znane nam wyrazy, otrzymamy:
$$m^2+3=\frac{2m+11+5-m}{2} \\
m^2+3=\frac{m+16}{2} \\
2m^2+6=m+16 \\
2m^2-m-10=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Jest to równanie w postaci ogólnej, więc z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=2,\;b=-1,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-10)=1-(-80)=1+80=81 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$

$$m_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-9}{2\cdot2}=\frac{1-9}{4}=\frac{-8}{4}=-2 \\
m_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+9}{2\cdot2}=\frac{1+9}{4}=\frac{10}{4}=2,5$$

Krok 3. Ustalenie, kiedy ciąg będzie malejący.
Wiemy już, że ciąg będzie arytmetyczny, gdy \(m=-2\) oraz gdy \(m=2,5\). Musimy jeszcze ustalić, dla którego z tych przypadków, ciąg ten będzie malejący. Podstawmy zatem wyznaczone \(m\) do wyrażeń z treści zadania i zobaczmy co otrzymamy:
Gdy \(m=-2\):
\(a_{1}=2\cdot(-2)+11=-4+11=7 \\
a_{2}=(-2)^2+3=4+3=7 \\
a_{3}=5-(-2)=5+2=7\)

Gdy \(m=2,5\):
\(a_{1}=2\cdot2,5+11=5+11=16 \\
a_{2}=2,5^2+3=6,25+3=9,25 \\
a_{3}=5-2,5=2,5\)

Widzimy więc, że dla \(m=-2\) ciąg jest stały, a dla \(m=2,5\) ciąg jest rzeczywiście malejący (różnica tego ciągu będzie równa \(r=-6,75\)). Stąd też jedyną poprawną odpowiedzią do tego zadania będzie \(m=2,5\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\) to dorysowując wysokość stożka powstanie nam trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\) w którym tworząca stożka jest przeciwprostokątną. Całość będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie wysokości i promienia podstawy stożka.
Korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) wiemy, że wysokość stożka będzie dwa razy krótsza od tworzącej, zatem:
$$H=8:2 \\
H=4$$

I ponownie korzystając z własności tego trójkąta możemy stwierdzić, że promień podstawy stożka będzie \(\sqrt{3}\) razy większy od jego wysokości, zatem:
$$r=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie objętości stożka.
Korzystając ze wzoru na objętość stożka, możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot(4\sqrt{3})^2\cdot 4 \\
V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot3\cdot4\cdot\pi \\
V=64\pi$$

Krok 1. Obliczenie mediany.
Skoro jest parzysta liczba uczniów, to mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych ocen. W naszym przypadku oznacza to, że kiedy ułożymy oceny uczniów od najsłabszej do najlepszej, to medianą będzie średnia arytmetyczna wyniku dwunastego i trzynastego ucznia.

Z diagramu możemy wywnioskować, że wypisując po kolei oceny, dwunasty uczeń otrzymał czwórkę, a trzynasty otrzymał piątkę. Stąd też mediana będzie równa:
$$m=\frac{4+5}{2} \\
m=\frac{9}{2}=4,5$$

Krok 2. Wyznaczenie dominanty.
Dominanta to wynik, który był najczęściej otrzymywany. W naszym przypadku najczęściej otrzymywaną oceną była szóstka, więc dominanta jest tutaj równa \(6\).

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wiemy, że \(|BC|=4\). Dodatkowo przyjmijmy, że druga krawędź podstawy ma długość \(x\), a wysokość oznaczmy jako \(h\). Z treści zadania wynika, że suma trzech długości krawędzi jest równa \(15\), zatem:
$$4+x+h=15 \\
x+h=11 \\
h=11-x$$

Pole powierzchni całkowitej moglibyśmy obliczyć jako:
$$P=2\cdot(4\cdot x+4\cdot h+x\cdot h) \\
P=2\cdot(4x+4h+xh) \\
P=8x+8h+2xh \\
P=8x+2xh+8h$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, podstawmy wartość \(h\) z równania \(h=11-x\) do równania \(P=8x+2xh+8h\), zatem:
$$P=8x+2x\cdot(11-x)+8\cdot(11-x) \\
P=8x+22x-2x^2+88-8x \\
P=-2x^2+22x+88$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni całkowitej można opisać wyrażeniem \(-2x^2+22x+88\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)). Tym samym moglibyśmy zapisać, że \(P(x)=-2x^2+22x+88\).

Krok 3. Zapisanie założeń.
Wszystkie długości krawędzi muszą być większe od zera, zatem:
$$x\gt0 \quad\land\quad 11-x\gt0 \\
x\gt0 \quad\land\quad 11\gt x \\
x\gt0 \quad\land\quad x\lt11$$

Otrzymane wyniki oznaczają, że nasz \(x\) musi być większy od zera i mniejszy od \(11\), zatem dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0,11)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-2\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-22}{2\cdot(-2)} \\
x_{W}=\frac{-22}{-4} \\
x_{W}=5,5$$

Otrzymany wynik mieści się w wyznaczonej wcześniej dziedzinie funkcji, a to oznacza, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa będzie największe, gdy \(x=5,5\).