Matura – Matematyka – Maj 2025 (stara matura)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, musimy uporządokować cały zapis, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$3(2x^2+1)\lt11x \\
6x^2+3\lt11x \\
6x^2-11x+3\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=6,\;b=-11,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot6\cdot3=121-72=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)-7}{2\cdot6}=\frac{11-7}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)+7}{2\cdot6}=\frac{11+7}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{1}{3}\) oraz \(x=\frac{3}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)$$

$$5x^2+2y^2\gt2xy \\
5x^2-2xy+2y^2\gt0$$

I teraz najtrudniejsza część tego zadania. Powinniśmy dostrzec, że naszą nierówność da się rozbić w następujący sposób:
$$4x^2-4xy+y^2+x^2+2xy+y^2\gt0 \\
(2x-y)^2+(x+y)^2\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Wiedząc, że \(x\neq0\) mamy pewność, że w przynajmniej jednym nawiasie otrzymamy liczbę różną od zera. Podniesienie dowolnej liczby (różnej od zera) do kwadratu daje wynik dodatni. Mamy więc sumę dwóch liczb nieujemnych, órych przynajmniej jedna będzie dodatnia, to pozwala stwierdzić, że wynik będzie na pewno większy od zera, co należało udowodnić.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Aby się nie pogubić podczas rozwiązywania, rozpiszmy sobie wszystko bardzo dokładnie:
\(x\) - kwota przyznana zespołowi \(A\)
\(0,13x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(A\)

\(1200000-x\) - kwota przyznana zespołowi \(B\)
\(0,11\cdot(1200000-x)=132000-0,11x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(B\)

Krok 2. Obliczenie kwoty przyznanej zespołowej \(A\).
Z treści zadania wynika, że suma dotychczasowych wydatków zespołu \(A\) i \(B\) wynosi \(146\;700\) złotych. Na podstawie zapisanych wcześniej oznaczeń możemy zapisać, że w takim razie:
$$0,13x+132000-0,11x=146700 \\
0,02x+132000=146700 \\
0,02x=14700 \\
x=735000$$

To oznacza, że zespół \(A\) otrzymał na projekt badawczy kwotę \(735\;000\) złotych.

Krok 1. Zapisanie równania.
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Ten ciąg będzie więc arytmetyczny wtedy, gdy spełni powyższą równość. Podstawiając zatem znane nam wyrazy, otrzymamy:
$$m^2+3=\frac{2m+11+5-m}{2} \\
m^2+3=\frac{m+16}{2} \\
2m^2+6=m+16 \\
2m^2-m-10=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Jest to równanie w postaci ogólnej, więc z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=2,\;b=-1,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-10)=1-(-80)=1+80=81 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$

$$m_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-9}{2\cdot2}=\frac{1-9}{4}=\frac{-8}{4}=-2 \\
m_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+9}{2\cdot2}=\frac{1+9}{4}=\frac{10}{4}=2,5$$

To oznacza, że ciąg będzie arytmetyczny, gdy \(m=-2\) oraz gdy \(m=2,5\).

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Na podstawie danych z wykresu możemy stwierdzić, że średnia arytmetyczna otrzymanych ocen wyniesie:
$$śr=\frac{1\cdot1+3\cdot2+4\cdot3+4\cdot4+5\cdot+7\cdot6}{24} \\
śr=\frac{1+6+12+16+25+42}{24} \\
śr=\frac{102}{24} \\
śr=4,25$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Skoro jest parzysta liczba uczniów, to mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych ocen. W naszym przypadku oznacza to, że kiedy ułożymy oceny uczniów od najsłabszej do najlepszej, to medianą będzie średnia arytmetyczna wyniku dwunastego i trzynastego ucznia.

Z diagramu możemy wywnioskować, że wypisując po kolei oceny, dwunasty uczeń otrzymał czwórkę, a trzynasty otrzymał piątkę. Stąd też mediana będzie równa:
$$m=\frac{4+5}{2} \\
m=\frac{9}{2}=4,5$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym zbiorze mamy pięć liczb, w drugim są cztery, zatem zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa: \(|Ω|=5\cdot4=20\)

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są takie pary, których suma da wynik podzielny przez \(3\). Wypiszmy zatem interesujące nas pary:
$$(1;2), (1;8) \\
(3;6) \\
(5;4) \\
(7;2), (7;8) \\
(9;6)$$

W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=7\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{7}{20}$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Jeżeli zbiorem wartości funkcji jest przedział \((-\infty, 6\rangle\) to jest to dla nas informacja, że ramiona paraboli będą skierowane w dół, a najwyższa wartość funkcji (która zawsze jest przyjmowana w wierzchołku) jest równa \(6\). To prowadzi nas do wniosku, że \(q=6\).

Brakuje nam jeszcze znajomości pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli. Wyznaczymy ją z informacji na temat punktów \(A\) oraz \(B\). Tu trzeba zauważyć, że nasza funkcja przyjmuje wartość równą \(3\) zarówno dla argumentu \(x=-1\) oraz \(x=5\). Z własności parabol wynika, że współrzędna \(p\) wierzchołka będzie średnią arytmetyczną dwóch argumentów, dla których jest przyjmowana jednakowa wartość. Stąd też możemy zapisać, że:
$$p=\frac{-1+5}{2} \\
p=\frac{4}{2} \\
p=2$$

Tym samym możemy wywnioskować, że \(W=(2,6)\).

Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka, możemy przystąpić do zapisania wzoru funkcji w postaci kanonicznej. Podstawiając znane dane, otrzymamy:
$$f(x)=a(x-2)^2+6$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Poznamy go podstawiając współrzędne np. punktu \(A\) do wyznaczonej przed chwilą postaci, zatem:
$$a\cdot(-1-2)^2+6=3 \\
a\cdot(-3)^2=-3 \\
9a-3 \\
a=-\frac{1}{3}$$

Tym samym wiemy już, że naszą funkcję da się opisać wzorem \(f(x)=-\frac{1}{3}(x-2)^2+6\).

Krok 3. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Celem zadania jest zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej i wskazanie jaka jest wartość współczynnika \(c\). Musimy zatem przekształcić naszą postać kanoniczną na postać ogólną, co wyglądać będzie w następujący sposób:
$$f(x)=-\frac{1}{3}(x-2)^2+6 \\
f(x)=-\frac{1}{3}\cdot(x^2-4x+4)+6 \\
f(x)=-\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}+6 \\
f(x)=-\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{14}{3}$$

Tym samym \(c=\frac{14}{3}\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\) to dorysowując wysokość stożka powstanie nam trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\) w którym tworząca stożka jest przeciwprostokątną. Całość będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie wysokości i promienia podstawy stożka.
Korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) wiemy, że wysokość stożka będzie dwa razy krótsza od tworzącej, zatem:
$$H=8:2 \\
H=4$$

I ponownie korzystając z własności tego trójkąta możemy stwierdzić, że promień podstawy stożka będzie \(\sqrt{3}\) razy większy od jego wysokości, zatem:
$$r=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie objętości stożka.
Korzystając ze wzoru na objętość stożka, możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot(4\sqrt{3})^2\cdot 4 \\
V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot3\cdot4\cdot\pi \\
V=64\pi$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na koniec zostało nam do obliczenia pole powierzchni całkowitej, zatem:
$$P_{c}=\pi r^2+\pi rl \\
P_{c}=\pi\cdot(4\sqrt{3})^2+\pi\cdot4\sqrt{3}\cdot8 \\
P_{c}=\pi\cdot16\cdot3+32\sqrt{3}\pi \\
P_{c}=48\pi+32\sqrt{3}\pi$$

Krok 1. Wyznaczenie równania prostej \(AB\)
Skoro znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) to możemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty. Możemy to zrobić budując układ równań (podstawiając współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\) do postaci \(y=ax+b\) uzyskamy dwa równania tworzące układ równań), albo też możemy skorzystać ze wzoru dostępnego w tablicach, czyli:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$

W tym konkretnym przypadku warto zauważyć, że z punktu \(B\) wynika wprost, że współczynnik \(b\) naszej prostej jest równy \(0\). A skoro tak, to już wiemy, że ta prosta wyraża się równaniem \(y=ax+0\), czyli po prostu \(y=ax\). Brakujący współczynnik \(a\) poznamy w momencie, gdy podstawimy teraz do tej postaci współrzędne punktu \(A\), zatem:
$$-1=-2a \\
a=\frac{1}{2}$$

Tym samym wiemy, że prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+0\), czyli po prostu \(y=\frac{1}{2}x\).

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AD\).
Prosta \(AD\) będzie prostą prostopadłą do prostej \(AB\). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to tym samym prosta \(AD\) będzie mieć współczynnik \(a=-2\), bo \(\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\). Możemy więc zapisać, że prosta \(AD\) będzie wyrażać się równaniem \(y=-2x+b\).

Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\) tej prostej, a poznamy go podstawiając do wyznaczonej postaci współrzędne punktu \(A\), zatem:
$$-1=-2\cdot(-2)+b \\
-1=4+b \\
b=-5$$

Tym samym prosta \(AD\) wyraża się równaniem \(y=-2x-5\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(CD\).
Prosta \(CD\) jest równoległa do prostej \(AB\). Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). To prowadzi nas do wniosku, że w prostej \(CD\) współczynnik \(a=\frac{1}{2}\). Moglibyśmy więc zapisać, że prosta \(CD\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+b\).

Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), a poznamy go podstawiając do powyższego równania współrzędne punktu \(D\), zatem:
$$8=\frac{1}{2}\cdot4+b \\
8=2+b \\
b=6$$

Tym samym możemy stwierdzić, że prosta \(CD\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+6\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest miejscem przecięcia się prostych \(AD\) oraz \(CD\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że współrzędne punktu \(D\) tego punktu poznamy rozwiązując następujący układ równań:
\begin{cases}
y=-2x-5 \\
y=\frac{1}{2}x+6
\end{cases}

Korzystając teraz z metody podstawiania, możemy zapisać, że:
$$-2x-5=\frac{1}{2}x+6 \\
-2\frac{1}{2}x=11 \\
-\frac{5}{2}x=11 \\
x=-\frac{22}{5}$$

Podstawiając teraz wyznaczoną wartość współrzędnej \(x\) do jednego z równań (np. pierwszego), obliczymy brakującą współrzędną \(y\), zatem:
$$y=-2\cdot\left(-\frac{22}{5}\right)-5 \\
y=\frac{44}{5}-5 \\
y=\frac{19}{5}$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(D=\left(-\frac{22}{5}, \frac{19}{5}\right)\).

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Na koniec musimy obliczyć jeszcze długość odcinka \(BD\), a pomoże nam w tym ten oto wzór z tablic
$$|BD|=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(y_{D}-y_{B})^2}$$

Podstawiając teraz do tego wzoru współrzędne punktu \(B\) oraz \(D\), otrzymamy:
$$|BD|=\sqrt{\left(-\frac{22}{5}-0\right)^2+\left(\frac{19}{5}-0\right)^2} \\
|BD|=\sqrt{\frac{484}{25}+\frac{361}{25}} \\
|BD|=\sqrt{\frac{845}{25}} \\
|BD|=\frac{\sqrt{845}}{5} \\
|BD|=\frac{\sqrt{169\cdot5}}{5} \\
|BD|=\frac{13\sqrt{5}}{5}$$