Matura – Matematyka – Maj 2025 (stara matura) – Odpowiedzi

A

Z treści zadania wynika, że:
$$a=0,8b$$

Teraz bardzo łatwo o pomyłkę, dlatego rozpiszmy to dokładnie. Dzieląc obydwie strony równania przez \(0,8\), otrzymamy:
$$b=\frac{a}{0,8} \\
b=a:\frac{8}{10} \\
b=a\cdot\frac{10}{8} \\
b=1,25a$$

To oznacza, że liczba \(b\) stanowi \(125\%\) liczby \(a\).

B

Do zadania można podejść na różne sposoby, nawet moglibyśmy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Jednak najprościej byłoby zauważyć, że \(\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}\). Tym samym nasze obliczenia wyglądałyby następująco:
$$(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2=(4\sqrt{2}-\sqrt{2})^2= \\
=(3\sqrt{2})^2=9\cdot2=18$$

B

Z własności działań na potęgach wynika, że \(5^{13}\) oraz \(5^{14}\) możemy rozpisać w następujący sposób:
\(5^{13}=5^{12}\cdot5 \\
5^{14}=5^{12}\cdot5^2=5^{12}\cdot25\)

W takim razie naszą liczbę możemy rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}=\frac{5^{12}+5^{12}\cdot5+5^{12}\cdot25}{5^{12}}= \\
=\frac{5^{12}}{5^{12}}+\frac{5^{12}\cdot5}{5^{12}}+\frac{5^{12}\cdot25}{5^{12}}= \\
=1+5+25=31$$

A

Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$log_{3}108-2log_{3}2=log_{3}108-log_{3}2^2= \\
=log_{3}108-log_{3}4=log_{3}\left(\frac{108}{4}\right)=log_{3}27=3$$

C

W tym zadaniu musimy skorzystać z dwóch wzorów skróconego mnożenia, czyli \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całe wyrażenie możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$(3x+2)^2-(2x-3)^2=9x^2+12x+4-(4x^2-12x+9)= \\
=9x^2+12x+4-4x^2+12x-9=5x^2+24x-5$$

D

Rozpisując naszą nierówność, otrzymamy:
$$3-2(1-2x)\ge2x-17 \\
3-(2-4x)\ge2x-17 \\
3-2+4x\ge2x-17 \\
4x+1\ge2x-17 \\
2x\ge-18 \\
x\ge-9$$

Zbiór rozwiązań tej nierówności znalazł się na rysunku z ostatniej odpowiedzi.

A

Aby wyrażenie po lewej stronie było równe \(0\), to albo to co jest przed nawiasami jest równe \(0\), albo to co w nawiasach musi być równe \(0\). Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$2x=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x^2+25=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x^2=-25$$

Równanie \(x^2=-25\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby wynik ujemny. Stąd też jedynymi rozwiązaniami całego równania będą \(-3\) oraz \(0\).

B

Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(Ox\). Z wykresu wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od argumentu \(x=-4\) aż do argumentu \(x=4\) (ale bez czwórki, bo kropka jest niezamalowana). Stąd też zapisalibyśmy, że dziedziną funkcji jest przedział \(\langle-4,4)\)

A

Z wykresu wynika wprost, że funkcja rośnie od argumentu \(x=-4\) aż do argumentu \(x=-2\). Stąd też funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale \(\langle-4,-2\rangle\)

C

Funkcja nie będzie mieć miejsc zerowych wtedy, gdy współczynnik \(a\) będzie równy 0. To oznacza, że stanie się tak dla \(m\) równego:
$$3-m=0 \\
m=3$$

A

Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności kwadratowej.
Chcąc sprawdzić kiedy wyrazy ciągu będą ujemne, wystarczy rozwiązać następującą nierówność:
$$(n+3)(n-5)\lt0$$

Jest to standardowa nierówność kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej, czyli takiej z której w prosty sposób możemy odczytać miejsca zerowe. Przyrównując nawiasy do zera, otrzymamy:
$$n+3=0 \quad\lor\quad n-5=0 \\
n=-3 \quad\lor\quad n=5$$

Znając miejsca zerowe, możemy przystąpić do rysowania paraboli. Jej ramiona będą skierowane do góry (bo współczynnik \(a=1\)), zatem całość będzie wyglądać następująco:


Z wykresu możemy odczytać, że rozwiązaniem naszej nierówności będzie przedział \(n\in(-3,5)\).

Krok 2. Analiza otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie nierówności nie kończy zadania. W ciągach \(n\) musi być dodatnią liczbą naturalną, zatem takimi liczbami, które mieszczą się w naszym przedziale będą \(n=\{1,2,3,4\}\). Obrazowo rzecz ujmując, ujemnymi wyrazami będą: pierwszy, drugi, trzeci oraz czwarty, zatem mamy \(4\) takie wyrazy.

B

Krok 1. Obliczenie ilorazu \(q\).
Znając wartości dwóch pierwszych wyrazów naszego ciągu, możemy bez problemu obliczyć iloraz \(q\), zatem:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{9}{27} \\
q=\frac{1}{3}$$

Krok 2. Obliczenie wartości czwartego wyrazu ciągu.
Do wartości czwartego wyrazu możemy dojść na różne sposoby. Przykładowo korzystając z własności ciągów geometrycznych moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{2}\cdot q^2 \\
a_{4}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2 \\
a_{4}=9\cdot\frac{1}{9} \\
a_{4}=1$$

C

Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\). Moglibyśmy zatem zapisać, że:
$$\sqrt{3}tg\alpha=2sin\alpha \\
\sqrt{3}\cdot\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=2sin\alpha \\
\sqrt{3}sin\alpha=2sin\alpha\cdot cos\alpha \\
cos\alpha=\frac{\sqrt{3}sin\alpha}{2sin\alpha} \\
cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

D

Z treści zadania wynika, że punkt \(D\) dzieli nam bok \(AB\) na dwie równe części. To prowadzi nas do wniosku, że \(|AD|=6:2=3\).

Spójrzmy teraz na trójkąt \(ADC\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym dolna przyprostokątna ma długość \(3\), natomiast przeciwprostokątna ma długość \(5\). Widzimy więc, że jest to klasyczny trójkąt pitagorejski o bokach \(3\), \(4\) oraz \(5\). Jeśli tego nie widzimy, to zawsze możemy długość drugiej przyprostokątnej obliczyć z twierdzenia Pitagorasa.

Tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko naszego kąta, względem przyprostokątnej, która leży przy tym kącie. W naszym przypadku tangens będzie zatem równy:
$$tg\alpha=\frac{4}{3}$$

A

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej \(BC\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Wiemy, że przyprostokątne tego trójkąta mają długość \(4\) oraz \(6\). Do obliczenia sinusa będziemy potrzebować jeszcze przeciwprostokątnej, którą możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
$$4^2+6^2=c^2 \\
16+36=c^2 \\
c^2=52 \\
c=\sqrt{52} \quad\lor\quad c=-\sqrt{52}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku trójkąta musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(c=\sqrt{52}\), co możemy jeszcze rozpisać jako:
$$c=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}$$

Krok 2. Obliczenie sinusa kąta \(\beta\).
Sinus opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta, względem przeciwprostokątnej. W naszym przypadku moglibyśmy więc zapisać, że:
$$sin\beta=\frac{4}{2\sqrt{13}} \\
sin\beta=\frac{2}{\sqrt{13}}$$

C

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(AOB\).
Kąt \(AOB\) jest kątem środkowym, opartym na tym samym łuku co kąt wpisany \(ACB\). Z własności kątów środkowych i wpisanych wynika, że miara tego kąta środkowego będzie dwa razy większa od miary kąta wpisanego \(ACB\), zatem:
$$|\sphericalangle AOB|=2\cdot50°=100°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABO\).
Spójrzmy na trójkąt \(AOB\). Jest to trójkąt równoramienny. Skąd to wiemy? Ramiona \(AO\) oraz \(BO\) mają długość taką jak promień okręgu, stąd też mamy pewność, że są one równej długości. Zwłasności kątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę. Skoro więc kąt między ramionami na \(100°\), to na dwa kąty przy podstawie zostaje nam \(180°-100°=80°\).

Tym samym kąt \(ABO\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle ABO|=80°:2=40°$$

B

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Z treści zadania wiemy, że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne. Ważne jest teraz to, aby dobrze ustalić które boki są sobie odpowiadające. W małym trójkącie \(BDA\) ramiona mają długość równa \(3\), natomiast w dużym trójkącie \(ABC\) ramiona mają długość \(4\). Jeżeli przyjmiemy, że duży trójkąt jest umownym trójkątem podstawowym, a mały trójkąt jest trójkątem podobnym, to skala podobieństwa tych trójkątów będzie równa:
$$k=\frac{3}{4}$$



Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Odcinek \(BD\) jest podstawą trójkąta równoramiennego \(BDA\). Skoro w dużym trójkącie \(ABC\) podstawa miała długość \(3\), to tym samym:
$$|BD|=k\cdot |AB| \\
|BD|=\frac{3}{4}\cdot3 \\
|BD|=2,25$$

B

Chcąc obliczyć pole tego trójkąta, możemy skorzystać z następującego wzoru:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha$$

Podstawiając znane miary do tego wzoru, otrzymamy:
$$P=\frac{1}{2}\cdot11\cdot12\cdot sin60° \\
P=66\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
P=33\sqrt{3}$$

B

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(m-2\), a druga ma równy \(-4\). Skoro te współczynniki muszą być równe to:
$$m-2=-4 \\
m=-2$$

C

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AS\).
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, ponieważ znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(S\).
$$|AS|=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2} \\
|AS|=\sqrt{(1-4)^2+(3-(-1))^2} \\
|AS|=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\
|AS|=\sqrt{9+16} \\
|AS|=\sqrt{25} \\
|AS|=5$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości, więc odcinek \(AS\) jest połową naszej przekątnej. To oznacza, że przekątna tego kwadratu ma długość:
$$d=2\cdot5 \\
d=10$$

A

Krok 1. Obliczenie długości boku sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu, możemy zapisać, że:
$$V=a^3 \\
729=a^3 \\
a=9$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Sześcian o boku \(a\) ma zawsze przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). Stąd też przekątna naszego sześcianu ma długość \(d=9\sqrt{3}\).

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wynika, że w podstawie bryły mamy kwadrat (bo jest to ostrosłup prawidłowy) o boku \(a=10\), a tym samym wysokość tego ostrosłupa wynosi \(H=30\). Sytuacja z treści zadania wygląda więc następująco:


Krok 2. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$5^2+30^2=x^2 \\
25+900=x^2 \\
x^2=925 \\
x=\sqrt{925} \quad\lor\quad x=-\sqrt{925}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ wysokość ściany bocznej musi być dodatnią wartością. Zostaje nam więc \(x=\sqrt{925}\), co możemy jeszcze rozpisać jako:
$$x=\sqrt{925}=\sqrt{25\cdot37}=5\sqrt{37}$$

A

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie to sobie zobrazować w ten oto sposób:
· W rzędzie setek może znaleźć się dowolna z cyfr od \(1\) do \(9\), zatem mamy \(9\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· W rzędzie dziesiątek musi pojawić się \(0\) (bo nie pojawi się ani w rzędzie setek, bo nie ma takiej liczby jak np. \(013\), ani w rzędzie jedności, bo liczba ma być nieparzysta). Mamy zatem tutaj \(1\) możliwość uzupełnienia tej cyfry.
· W rzędzie jedności musimy mieć cyfrę nieparzystą, czyli \(1, 3, 5, 7\) albo \(9\). Mamy zatem \(5\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.

Zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$9\cdot1\cdot5=45$$

A

Skoro stosunek liczby kul białych do czerwonych wynosi \(3:5\), to możemy przyjąć, że kul białych jest \(3x\), natomiast kul czerwonych mamy \(5x\). Łącznie wszystkich kul jest zatem:
$$3x+5x=8x$$

Skoro białych kul mamy \(3x\), a wszystkich kul jest \(8x\), to prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi:
$$p=\frac{3x}{8x}=\frac{3}{8}$$

C

$$\frac{1+2+3+4+5+x+y}{7}=3 \\
1+2+3+4+5+x+y=21 \\
15+x+y=21 \\
x+y=6$$

\(x\in\left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, musimy uporządokować cały zapis, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$3(2x^2+1)\lt11x \\
6x^2+3\lt11x \\
6x^2-11x+3\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=6,\;b=-11,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot6\cdot3=121-72=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)-7}{2\cdot6}=\frac{11-7}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)+7}{2\cdot6}=\frac{11+7}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{1}{3}\) oraz \(x=\frac{3}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)$$

Udowodniono wykorzystując wzory skróconego mnożenia.

$$5x^2+2y^2\gt2xy \\
5x^2-2xy+2y^2\gt0$$

I teraz najtrudniejsza część tego zadania. Powinniśmy dostrzec, że naszą nierówność da się rozbić w następujący sposób:
$$4x^2-4xy+y^2+x^2+2xy+y^2\gt0 \\
(2x-y)^2+(x+y)^2\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Wiedząc, że \(x\neq0\) mamy pewność, że w przynajmniej jednym nawiasie otrzymamy liczbę różną od zera. Podniesienie dowolnej liczby (różnej od zera) do kwadratu daje wynik dodatni. Mamy więc sumę dwóch liczb nieujemnych, órych przynajmniej jedna będzie dodatnia, to pozwala stwierdzić, że wynik będzie na pewno większy od zera, co należało udowodnić.

\(735\;000\) złotych

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Aby się nie pogubić podczas rozwiązywania, rozpiszmy sobie wszystko bardzo dokładnie:
\(x\) - kwota przyznana zespołowi \(A\)
\(0,13x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(A\)

\(1200000-x\) - kwota przyznana zespołowi \(B\)
\(0,11\cdot(1200000-x)=132000-0,11x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(B\)

Krok 2. Obliczenie kwoty przyznanej zespołowej \(A\).
Z treści zadania wynika, że suma dotychczasowych wydatków zespołu \(A\) i \(B\) wynosi \(146\;700\) złotych. Na podstawie zapisanych wcześniej oznaczeń możemy zapisać, że w takim razie:
$$0,13x+132000-0,11x=146700 \\
0,02x+132000=146700 \\
0,02x=14700 \\
x=735000$$

To oznacza, że zespół \(A\) otrzymał na projekt badawczy kwotę \(735\;000\) złotych.

\(m=-2\) oraz gdy \(m=2,5\)

Krok 1. Zapisanie równania.
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Ten ciąg będzie więc arytmetyczny wtedy, gdy spełni powyższą równość. Podstawiając zatem znane nam wyrazy, otrzymamy:
$$m^2+3=\frac{2m+11+5-m}{2} \\
m^2+3=\frac{m+16}{2} \\
2m^2+6=m+16 \\
2m^2-m-10=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Jest to równanie w postaci ogólnej, więc z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=2,\;b=-1,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-10)=1-(-80)=1+80=81 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$

$$m_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-9}{2\cdot2}=\frac{1-9}{4}=\frac{-8}{4}=-2 \\
m_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+9}{2\cdot2}=\frac{1+9}{4}=\frac{10}{4}=2,5$$

To oznacza, że ciąg będzie arytmetyczny, gdy \(m=-2\) oraz gdy \(m=2,5\).

Średnia: \(4,25\)
Mediana: \(4,5\)

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Na podstawie danych z wykresu możemy stwierdzić, że średnia arytmetyczna otrzymanych ocen wyniesie:
$$śr=\frac{1\cdot1+3\cdot2+4\cdot3+4\cdot4+5\cdot+7\cdot6}{24} \\
śr=\frac{1+6+12+16+25+42}{24} \\
śr=\frac{102}{24} \\
śr=4,25$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Skoro jest parzysta liczba uczniów, to mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych ocen. W naszym przypadku oznacza to, że kiedy ułożymy oceny uczniów od najsłabszej do najlepszej, to medianą będzie średnia arytmetyczna wyniku dwunastego i trzynastego ucznia.

Z diagramu możemy wywnioskować, że wypisując po kolei oceny, dwunasty uczeń otrzymał czwórkę, a trzynasty otrzymał piątkę. Stąd też mediana będzie równa:
$$m=\frac{4+5}{2} \\
m=\frac{9}{2}=4,5$$

\(p=\frac{7}{20}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym zbiorze mamy pięć liczb, w drugim są cztery, zatem zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa: \(|Ω|=5\cdot4=20\)

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są takie pary, których suma da wynik podzielny przez \(3\). Wypiszmy zatem interesujące nas pary:
$$(1;2), (1;8) \\
(3;6) \\
(5;4) \\
(7;2), (7;8) \\
(9;6)$$

W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=7\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{7}{20}$$

\(c=\frac{14}{3}\)

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Jeżeli zbiorem wartości funkcji jest przedział \((-\infty, 6\rangle\) to jest to dla nas informacja, że ramiona paraboli będą skierowane w dół, a najwyższa wartość funkcji (która zawsze jest przyjmowana w wierzchołku) jest równa \(6\). To prowadzi nas do wniosku, że \(q=6\).

Brakuje nam jeszcze znajomości pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli. Wyznaczymy ją z informacji na temat punktów \(A\) oraz \(B\). Tu trzeba zauważyć, że nasza funkcja przyjmuje wartość równą \(3\) zarówno dla argumentu \(x=-1\) oraz \(x=5\). Z własności parabol wynika, że współrzędna \(p\) wierzchołka będzie średnią arytmetyczną dwóch argumentów, dla których jest przyjmowana jednakowa wartość. Stąd też możemy zapisać, że:
$$p=\frac{-1+5}{2} \\
p=\frac{4}{2} \\
p=2$$

Tym samym możemy wywnioskować, że \(W=(2,6)\).

Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka, możemy przystąpić do zapisania wzoru funkcji w postaci kanonicznej. Podstawiając znane dane, otrzymamy:
$$f(x)=a(x-2)^2+6$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Poznamy go podstawiając współrzędne np. punktu \(A\) do wyznaczonej przed chwilą postaci, zatem:
$$a\cdot(-1-2)^2+6=3 \\
a\cdot(-3)^2=-3 \\
9a-3 \\
a=-\frac{1}{3}$$

Tym samym wiemy już, że naszą funkcję da się opisać wzorem \(f(x)=-\frac{1}{3}(x-2)^2+6\).

Krok 3. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Celem zadania jest zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej i wskazanie jaka jest wartość współczynnika \(c\). Musimy zatem przekształcić naszą postać kanoniczną na postać ogólną, co wyglądać będzie w następujący sposób:
$$f(x)=-\frac{1}{3}(x-2)^2+6 \\
f(x)=-\frac{1}{3}\cdot(x^2-4x+4)+6 \\
f(x)=-\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}+6 \\
f(x)=-\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{14}{3}$$

Tym samym \(c=\frac{14}{3}\).

\(V=64\pi\) oraz \(P_{c}=48\pi+32\sqrt{3}\pi\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\) to dorysowując wysokość stożka powstanie nam trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\) w którym tworząca stożka jest przeciwprostokątną. Całość będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie wysokości i promienia podstawy stożka.
Korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) wiemy, że wysokość stożka będzie dwa razy krótsza od tworzącej, zatem:
$$H=8:2 \\
H=4$$

I ponownie korzystając z własności tego trójkąta możemy stwierdzić, że promień podstawy stożka będzie \(\sqrt{3}\) razy większy od jego wysokości, zatem:
$$r=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie objętości stożka.
Korzystając ze wzoru na objętość stożka, możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot(4\sqrt{3})^2\cdot 4 \\
V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot3\cdot4\cdot\pi \\
V=64\pi$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na koniec zostało nam do obliczenia pole powierzchni całkowitej, zatem:
$$P_{c}=\pi r^2+\pi rl \\
P_{c}=\pi\cdot(4\sqrt{3})^2+\pi\cdot4\sqrt{3}\cdot8 \\
P_{c}=\pi\cdot16\cdot3+32\sqrt{3}\pi \\
P_{c}=48\pi+32\sqrt{3}\pi$$

\(D=(-\frac{22}{5};\frac{19}{5})\) oraz \(|BD|=\frac{13\sqrt{5}}{5}\)

Krok 1. Wyznaczenie równania prostej \(AB\)
Skoro znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) to możemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty. Możemy to zrobić budując układ równań (podstawiając współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\) do postaci \(y=ax+b\) uzyskamy dwa równania tworzące układ równań), albo też możemy skorzystać ze wzoru dostępnego w tablicach, czyli:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$

W tym konkretnym przypadku warto zauważyć, że z punktu \(B\) wynika wprost, że współczynnik \(b\) naszej prostej jest równy \(0\). A skoro tak, to już wiemy, że ta prosta wyraża się równaniem \(y=ax+0\), czyli po prostu \(y=ax\). Brakujący współczynnik \(a\) poznamy w momencie, gdy podstawimy teraz do tej postaci współrzędne punktu \(A\), zatem:
$$-1=-2a \\
a=\frac{1}{2}$$

Tym samym wiemy, że prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+0\), czyli po prostu \(y=\frac{1}{2}x\).

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AD\).
Prosta \(AD\) będzie prostą prostopadłą do prostej \(AB\). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to tym samym prosta \(AD\) będzie mieć współczynnik \(a=-2\), bo \(\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\). Możemy więc zapisać, że prosta \(AD\) będzie wyrażać się równaniem \(y=-2x+b\).

Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\) tej prostej, a poznamy go podstawiając do wyznaczonej postaci współrzędne punktu \(A\), zatem:
$$-1=-2\cdot(-2)+b \\
-1=4+b \\
b=-5$$

Tym samym prosta \(AD\) wyraża się równaniem \(y=-2x-5\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(CD\).
Prosta \(CD\) jest równoległa do prostej \(AB\). Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). To prowadzi nas do wniosku, że w prostej \(CD\) współczynnik \(a=\frac{1}{2}\). Moglibyśmy więc zapisać, że prosta \(CD\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+b\).

Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), a poznamy go podstawiając do powyższego równania współrzędne punktu \(D\), zatem:
$$8=\frac{1}{2}\cdot4+b \\
8=2+b \\
b=6$$

Tym samym możemy stwierdzić, że prosta \(CD\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+6\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest miejscem przecięcia się prostych \(AD\) oraz \(CD\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że współrzędne punktu \(D\) tego punktu poznamy rozwiązując następujący układ równań:
\begin{cases}
y=-2x-5 \\
y=\frac{1}{2}x+6
\end{cases}

Korzystając teraz z metody podstawiania, możemy zapisać, że:
$$-2x-5=\frac{1}{2}x+6 \\
-2\frac{1}{2}x=11 \\
-\frac{5}{2}x=11 \\
x=-\frac{22}{5}$$

Podstawiając teraz wyznaczoną wartość współrzędnej \(x\) do jednego z równań (np. pierwszego), obliczymy brakującą współrzędną \(y\), zatem:
$$y=-2\cdot\left(-\frac{22}{5}\right)-5 \\
y=\frac{44}{5}-5 \\
y=\frac{19}{5}$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(D=\left(-\frac{22}{5}, \frac{19}{5}\right)\).

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Na koniec musimy obliczyć jeszcze długość odcinka \(BD\), a pomoże nam w tym ten oto wzór z tablic
$$|BD|=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(y_{D}-y_{B})^2}$$

Podstawiając teraz do tego wzoru współrzędne punktu \(B\) oraz \(D\), otrzymamy:
$$|BD|=\sqrt{\left(-\frac{22}{5}-0\right)^2+\left(\frac{19}{5}-0\right)^2} \\
|BD|=\sqrt{\frac{484}{25}+\frac{361}{25}} \\
|BD|=\sqrt{\frac{845}{25}} \\
|BD|=\frac{\sqrt{845}}{5} \\
|BD|=\frac{\sqrt{169\cdot5}}{5} \\
|BD|=\frac{13\sqrt{5}}{5}$$