Matura – Matematyka – Maj 2024

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), możemy rozpisać naszą liczbę w następujący sposób:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2= \\
=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4= \\
=3n^2+6n+5$$

Teraz kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że liczbę \(5\) można rozbić na sumę \(3+2\), otrzymując:
$$3n^2+6n+3+2= \\
=3\cdot(n+2n+1)+2= \\
=3\cdot(n+1)^2+2$$

\((n+1)^2\) jest na pewno dodatnią liczbą całkowitą. Otrzymany wynik oznacza więc, że liczba jest podzielna przez \(3\), a stojące na końcu \(+2\) pokazuje nam, że reszta z tego dzielenia będzie równa właśnie \(2\), co należało udowodnić.

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$x^3-2x^2-3x+6=0 \\
x^2(x-2)-3(x-2)=0 \\
(x^2-3)(x-2)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-3=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x^2=3 \quad\lor\quad x=2 \\
x=\sqrt{3} \quad\lor\quad x=-\sqrt{3} \quad\lor\quad x=2$$

Rozwiązanie 1.
Zapis \(f(x)\ge0\) oznacza, że szukamy takich argumentów \(x\), dla których funkcja przyjmuje wartości większe lub równe \(0\). Z rysunku wynika, że w takim razie zbiorem rozwiązań tej nierówności będzie przedział \(x\in\langle-2;4\rangle\).

Rozwiązanie 2.
Z odpowiedzi wynika, że poszukujemy wzoru funkcji w postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Widzimy, że nasza parabola ma wierzchołek w punkcie \(W=(1;9)\), zatem naszą funkcję możemy zapisać jako \(f(x)=a(x-1)^2+9\).

Teoretycznie do policzenia zostałby nam jeszcze współczynnik \(a\) (na pewno będzie ujemny, bo parabola ma ramiona skierowane do dołu), ale zerkając na odpowiedzi widzimy, że nie ma takiej potrzeby, bo wszędzie \(a=-1\). W związku z tym poszukiwanym wzorem jest \(f(x)=-(x-1)^2+9\).

Rozwiązanie 3.
Zadanie polega tak naprawdę na ustaleniu, dla jakiego argumentu nasza funkcja przyjmuje tą samą wartość co dla \(x=-4\). Z rysunku wynika, że stanie się tak dla argumentu \(x=6\), stąd też \(f(-4)=f(6)\).

Rozwiązanie 4.
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Zapis \(g(x)=f(x+3)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(3\) jednostki w lewo. Taka sytuacja jest na rysunku A.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Zapis \(h(x)=f(-x)\) oznacza, że funkcja \(h(x)\) powstała w wyniku przekształcenia funkcji \(f(x)\) względem osi \(OY\) (takie odbicie lustrzane). Taka sytuacja jest na rysunku E.

Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Nas będzie interesować suma piętnastu wyrazów, więc podstawiamy \(n=15\):
$$S_{15}=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15$$

Wiemy, że \(S_{15}=-165\), zatem:
$$-165=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15 \quad\bigg/:15 \\
-11=\frac{2a_{1}+14r}{2} \\
-22=2a_{1}+14r \\
-11=a_{1}+7r$$

Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Zgodnie z własnościami ciągów arytmetycznych, moglibyśmy rozpisać trzeci wyraz jako:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$

Z treści zadania wynika, że trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(-1\), zatem:
$$-1=a_{1}+2r$$

Krok 3. Zapisanie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch otrzymanych wcześniej równań możemy zbudować układ, którego rozwiązaniem będzie poszukiwana różnica ciągu:
\begin{cases}
-1=a_{1}+2r \\
-11=a_{1}+7r
\end{cases}

Ten układ można rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie chyba po prostu odjąć te równania stronami, otrzymując:
$$10=-5r \\
r=-2$$

Pamiętając o tym, że dla kątów rozwartych sinus przyjmuje wartości dodatnie, a cosinus ujemne, możemy od razu odrzucić odpowiedzi A oraz D, a nawet możemy odrzucić odpowiedź C, ponieważ iloczyn liczby dodatniej i ujemnej da wynik ujemny. To prowadzi nas wprost do wniosku, że pierwszą poprawną zależnością będzie ta z odpowiedzi B.

Teraz trzeba ustalić, która z dwóch pozostałych zależności - E czy F, jest tą poszukiwaną. Tu z pomocą przyjdą nam wzory z tablic, które można zastosować w omawianej na rysunku sytuacji, czyli:
$$sin\alpha=\frac{y}{r} \\
cos\alpha=\frac{x}{r}$$

W powyższych wzorach \(x\) oraz \(y\) to współrzędne jakiegoś punktu na lewym ramieniu kąta. W naszym przypadku możemy wziąć punkt \(P=(-1;3)\), zatem \(x=-1\) oraz \(y=3\). Długość \(r\) obliczamy z kolei ze wzoru \(r=\sqrt{x^2+y^2}\), zatem w naszym przypadku \(r=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}\). Tym samym \(sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}\) oraz \(cos\alpha=\frac{-1}{\sqrt{10}}\), czyli \(sin\alpha=-3cos\alpha\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, więc punkt \(P\) jest tym samym środkiem przekątnej \(AC\). To pozwoli nam wyznaczyć współrzędne punktu \(C\).


Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(C\).
Środek odcinka \(AC\) możemy opisać wzorem:
$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości zapisu obliczmy każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{P}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
6=\frac{-2+x_{C}}{2} \\
12=-2+x_{C} \\
x_{C}=14 \\
\quad \\
y_{P}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
7=\frac{6+y_{C}}{2} \\
14=6+y_{C} \\
y_{C}=8$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Długość boku \(BC\) obliczymy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2} \\
|BC|=\sqrt{4^2+6^2} \\
|BC|=\sqrt{16+36} \\
|BC|=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}$$

Rozwiązanie 1.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Pole sześciokąta obliczamy ze wzoru \(P=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) (czyli jest to po prostu sześć trójkątów równobocznych). Skoro więc to pole jest równe \(15\sqrt{3}\), to:
$$6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=15\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot4 \\
6\cdot(a^2\sqrt{3})=60\sqrt{3} \quad\bigg/:6 \\
a^2\sqrt{3}=10\sqrt{3} \\
a^2=10 \\
a=\sqrt{10} \quad\lor\quad a=-\sqrt{10}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{10}\).

Krok 2. Obliczenie pola jednej ściany bocznej.
Interesująca nas ściana boczna jest prostokątem o bokach \(a=\sqrt{10}\) oraz \(h=6\), zatem:
$$P=\sqrt{10}\cdot6 \\
P=6\sqrt{10}$$

Rozwiązanie 2.
Poszukiwany kąt znajduje się na rysunku z czwartej odpowiedzi.

Krok 1. Wyznaczenie skali podobieństwa.
Z własności podobieństwa wiemy, że jeśli skala podobieństwa jest równa \(k\), to objętość ostrosłupa podobnego będzie \(k^3\) razy większa. Bazując na informacjach z treści zadania, możemy stwierdzić, że:
$$k^3=\frac{512}{64} \\
k^3=8 \\
k=2$$

Krok 2. Ustalenie stosunku pól powierzchni ostrosłupów.
Z własności podobieństwa wiemy, że jeśli skala podobieństwa jest równa \(k\), to pole figury podobnej (czyli także pole powierzchni całkowitej bryły) będzie \(k^2\) razy większe.

Skoro tak, to ostrosłup \(F2\) będzie miał to pole \(4\) razy większe, bo \(2^2=4\).

Celem zadania jest zapisanie stosunku pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F2\) względem \(F1\) (czyli tego większego względem mniejszego), zatem moglibyśmy zapisać, że ten stosunek wynosi \(4:1\).

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Nasz zbiór ma \(5\) liczb, a losowanie odbywa się ze zwracaniem (czyli możemy wylosować dwa razy ten sam wynik). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot5=25\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której wylosowana para liczb da parzystą sumę. Musimy najpierw ustalić, kiedy taka parzysta suma jest możliwa. Aby otrzymać parzystą sumę dwóch liczb, to te dwie liczby muszą być parzyste (np. \(6+8=14\)) lub też obydwie muszą być nieparzyste (np. \(5+7=12\)). Ustalmy zatem ile możemy stworzyć takich parzystych i nieparzystych par.

· Pary z parzystymi liczbami:
W zbiorze mamy dwie parzyste liczby, czyli \(6\) oraz \(8\). W związku z tym, zgodnie z regułą mnożenia, takich parzystych par możemy wylosować \(2\cdot2=4\).

· Pary z nieparzystymi liczbami:
W zbiorze mamy trzy nieparzyste liczby, czyli \(5\), \(7\) oraz \(9\). W związku z tym, zgodnie z regułą mnożenia, takich parzystych par możemy wylosować \(3\cdot3=9\).

Korzystając teraz z reguły dodawania, możemy stwierdzić, że wszystkich interesujących nas możliwości mamy \(|A|=4+9=13\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{13}{25}$$

Krok 1. Zapisanie równań.
Wiemy, że możemy zużyć \(36m\) siatki i z niej musimy zrobić wybieg, na który składają się cztery długości \(x\) (wliczając te wewnętrzne ściany) oraz sześć długości \(y\). Pierwszym równaniem jakie możemy ułożyć będzie zatem \(4x+6y=36\).

Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni obliczamy ze wzoru \(P=a\cdot b\), co po podstawianiu danych z rysunku możemy zapisać jako:
$$P=x\cdot3y$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, wyznaczmy wartość \(y\) z równania \(4x+6y=36\).
$$4x+6y=36 \\
6y=-4x+36 \\
y=-\frac{2}{3}x+6$$

Podstawiając teraz \(y=-\frac{2}{3}x+6\) do równania \(P=x\cdot3y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot3\cdot\left(-\frac{2}{3}x+6\right) \\
P=x\cdot(-2x+18) \\
P=-2x^2+18x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni działki można opisać wzorem \(-2x^2+18x\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)).

Od razu możemy też zapisać, że \(x\gt0\) oraz \(y\gt0\). Tym samym skoro \(y=-\frac{2}{3}x+6\), to otrzymamy założenie, że \(-\frac{2}{3}x+6\gt0\), co po rozwiązaniu tej nierówności da \(x\lt9\). Dzięki temu możemy stwierdzić, że dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0;9)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-2\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-18}{2\cdot(-2)} \\
x_{W}=\frac{-18}{-4} \\
x_{W}=4,5$$

Wiemy już, że największa wartość jest przyjmowana, gdy \(x=4,5\), a otrzymany wynik mieści się w naszej dziedzinie. Gdybyśmy chcieli obliczyć ile wynosi ta największa wartość, to moglibyśmy skorzystać ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale nas to nie interesuje. My musimy poznać wartość \(y\). Skoro tak, to wracamy do równania \(4x+6y=36\) i podstawiając teraz \(x=4,5\), otrzymamy:
$$4\cdot4,5+6y=36 \\
18+6y=36 \\
6y=18 \\
y=3$$

Tym samym powierzchnia naszych wybiegów będzie największa, gdy \(x=4,5\) metra oraz \(y=3\) metry.