Matura - Matematyka - Maj 2024 (stara matura)

Poniżej znajduje się arkusz maturalny z matematyki (stara matura podstawowa w formule 2015 – maj 2024). Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2024 (stara matura - formuła 2015)

Łącznie do zdobycia jest 46 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 180 minut.

Zadanie 1. (1pkt) Na początku sezonu letniego cenę $x$ pary sandałów podwyższono o $20\%$. Po miesiącu nową cenę obniżono o $10\%$. Po obu tych zmianach ta para sandałów kosztowała $81 zł$. Początkowa cena $x$ pary sandałów była równa:

$45 zł$

$73,63 zł$

$75 zł$

$87,48 zł$

Zadanie 2. (1pkt) Liczba $\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot8^{16}$ jest równa:

$2^{24}$

$2^{16}$

$2^{12}$

$2^{8}$

Zadanie 3. (1pkt) Liczba $log_{\sqrt{3}}9$ jest równa:

$2$

$3$

$4$

$9$

Zadanie 4. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej liczby rzeczywistej $b$ wartość wyrażenia $(2a+b)^2-(2a-b)^2$ jest równa wartości wyrażenia:

$8a^2$

$8ab$

$-8ab$

$2b^2$

Zadanie 5. (1pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $1-\frac{3}{2}x\lt\frac{2}{3}-x$ jest przedział:

$\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)$

$\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)$

$\left(-\frac{2}{3};+\infty\right)$

$\left(\frac{2}{3};+\infty\right)$

Zadanie 6. (1pkt) Największą liczbą będącą rozwiązaniem rzeczywistym równania $x(x+2)(x^2+9)=0$ jest:

$-2$

$0$

$2$

$3$

Zadanie 7. (1pkt) Równanie $\dfrac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych:

nie ma rozwiązania

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $(-1)$

ma dokładnie dwa rozwiązania: $(-2)$ oraz $3$

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $(-1)$, $(-2)$ oraz $3$

Zadanie 8. (1pkt) W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie $1960$ drzew. Po roku stwierdzono, że uschło $5\%$ drzew w pierwszym sadzie i $10\%$ drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła $60\%$ liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech $x$ oraz $y$ oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby $y$ drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

$\begin{cases}
x+y=1960 \\
0,6\cdot0,95x=0,9y
\end{cases}$

$\begin{cases}
x+y=1960 \\
0,95x=0,6\cdot0,9y
\end{cases}$

$\begin{cases}
x+y=1960 \\
0,05x=0,6\cdot0,1y
\end{cases}$

$\begin{cases}
x+y=1960 \\
0,4\cdot0,95x=0,9y
\end{cases}$

Zadanie 9. (1pkt) Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a$, $b$ oraz $c$ jest równa $9$. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: $a, a, b, b, c, c$ jest równa:

$9$

$6$

$4,5$

$18$

Zadanie 10. (1pkt) Na rysunku w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.
matura z matematyki

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:

$\begin{cases}
y=-\frac{3}{2}x+3 \\
y=-\frac{3}{2}x-1
\end{cases}$

$\begin{cases}
y=\frac{3}{2}x+3 \\
y=-\frac{2}{3}x-1
\end{cases}$

$\begin{cases}
y=\frac{3}{2}x+3 \\
y=\frac{3}{2}x-1
\end{cases}$

$\begin{cases}
y=-\frac{3}{2}x-3 \\
y=\frac{3}{2}x+1
\end{cases}$

Zadanie 11. (1pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.
matura z matematyki

Zbiorem wartości tej funkcji jest:

$(-6,6\rangle$

$\langle1,4)$

$\langle1,4\rangle$

$\langle-6,6\rangle$

Zadanie 12. (1pkt) Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(-2k+3)x+k-1$, gdzie $k\in\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest malejąca dla każdej liczby $k$ należącej do przedziału:

$(-\infty,1)$

$(-\infty,-\frac{3}{2})$

$(1,+\infty)$

$(\frac{3}{2},+\infty)$

Zadanie 13. (1pkt) Funkcje liniowe $f$ oraz $g$, określone wzorami $f(x)=3x+6$ oraz $g(x)=ax+7$ mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $g$ jest równy:

$\left(-\frac{7}{2}\right)$

$\left(-\frac{2}{7}\right)$

$\frac{2}{7}$

$\frac{7}{2}$

Zadanie 14. (1pkt) Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
matura z matematyki

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem:

$f(x)=-(x+1)^2-9$

$f(x)=-(x-1)^2+9$

$f(x)=-(x-1)^2-9$

$f(x)=-(x+1)^2+9$

Zadanie 15. (1pkt) Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
matura z matematyki

Dla funkcji $f$ prawdziwa jest równość:

$f(-4)=f(6)$

$f(-4)=f(5)$

$f(-4)=f(4)$

$f(-4)=f(7)$

Zadanie 16. (1pkt) W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, dane są wyrazy $a_{4}=-2$ oraz $a_{6}=16$. Piąty wyraz tego ciągu jest równy:

$\frac{7}{2}$

$\frac{9}{2}$

$7$

$9$

Zadanie 17. (1pkt) Ciąg geometryczny $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=2^{n-1}$, dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Iloraz tego ciągu jest równy:

$\frac{1}{2}$

$(-2)$

$2$

$1$

Zadanie 18. (1pkt) Ciąg $(b_{n})$ jest określony wzorem $b_{n}=(n+2)(7-n)$, dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Liczba dodatnich wyrazów ciągu $(b_{n})$ jest równa:

$6$

$7$

$8$

$9$

Zadanie 19. (1pkt) Liczba $sin^3 20°+cos^2 20°\cdot sin20°$ jest równa:

$cos20°$

$sin20°$

$tg20°$

$sin20°\cdot cos20°$

Zadanie 20. (1pkt) Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $cos\alpha=\frac{5}{13}$. Wtedy:

$tg\alpha=\frac{12}{13}$

$tg\alpha=\frac{12}{5}$

$tg\alpha=\frac{5}{12}$

$tg\alpha=\frac{13}{12}$

Zadanie 21. (1pkt) Dany jest równoległobok o bokach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między tymi ramionami $120°$. Pole tego równoległoboku jest równe:

$6$

$6\sqrt{3}$

$12$

$12\sqrt{3}$

Zadanie 22. (1pkt) W trójkącie $MKC$ bok $MK$ ma długość $24$. Prosta równoległa do boku $MK$ przecina boki $MC$ i $KC$ – odpowiednio – w punktach $A$ oraz $B$ takich, że $|AB|=6$ i $|AC|=3$ (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Długość odcinka $MA$ jest równa:

$18$

$15$

$9$

$12$

Zadanie 23. (1pkt) W trójkącie $ABC$, wpisanym w okrąg o środku w punkcie $S$, kąt $ACB$ ma miarę $42°$ (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Miara kąta ostrego $BAS$ jest równa:

$42°$

$45°$

$48°$

$69°$

Zadanie 24. (1pkt) Proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami:
$$k:\; y=(m+1)x+7 \\
l:\; y=-2x+7$$

Proste $k$ oraz $l$ są prostopadłe, gdy liczba $m$ jest równa:

$\left(-\frac{1}{2}\right)$

$\frac{1}{2}$

$(-3)$

$1$

Zadanie 25. (1pkt) Na prostej $l$ o współczynniku kierunkowym $\frac{1}{2}$ leżą punkty $A=(2,-4)$ oraz $B=(0,b)$. Wtedy liczba $b$ jest równa:

$(-5)$

$10$

$(-2)$

$0$

Zadanie 26. (1pkt) Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $6$ (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $15\sqrt{3}$.
matura z matematyki

Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe:

$36\sqrt{10}$

$60$

$6\sqrt{10}$

$360$

Zadanie 27. (1pkt) Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku:

Zadanie 28. (1pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $64$. Wysokość tego ostrosłupa jest równa $12$. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa:

$2$

$4$

$6$

$8$

Zadanie 29. (1pkt) Rozważmy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr $1, 3, 6, 8$, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa:

$4$

$10$

$24$

$16$

Zadanie 30. (2pkt) Rozwiąż nierówność $x^2-4\le3x$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$x^2-4\le3x \\
x^2-3x-4\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: $a=1,\;b=-3,\;c=-4$
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=9-(-16)=9+16=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-5}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+5}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy $a$ jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy teraz na osi wyznaczone miejsca zerowe $x=-1$ oraz $x=4$ (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak $\le$) i rysujemy parabolę:
matura z matematyki

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze lub równe zero, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią (wraz z zamalowanymi kropkami). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\langle-1;4\rangle$$

Zadanie 31. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x\neq y$, prawdziwa jest nierówność $(3x+y)(x+3y)\gt16xy$.

Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Wymnażając nawiasy i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy następującą sytuację:
$$(3x+y)(x+3y)\gt16xy \\
3x^2+9xy+xy+3y^2\gt16xy \\
3x^2+10xy+3y^2\gt16xy \\
3x^2-6xy+3y^2\gt0 \\
3\cdot(x^2-2xy+y^2)\gt0 \\
3\cdot(x-y)^2\gt0 \quad\bigg/\:3 \\
(x-y)^2\gt0$$

Skoro $x\neq y$, to $x-y$ jest liczbą różną od zera. Jakakolwiek liczba rzeczywista, różna od zera, podniesiona do kwadratu, da wynik większy od zera, co należało udowodnić.

Zadanie 32. (2pkt) Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f(x)=x^2+bx+c$ jest prosta o równaniu $x=-2$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $1$. Oblicz współczynniki $b$ oraz $c$.

Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.
Miejsca zerowe to argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość równą $0$. Z własności parabol wiemy, że miejsca zerowe są oddalone w jednakowej odległości od osi symetrii. Mówiąc bardziej obrazowo, od prostej o równaniu $x=-2$ do miejsca zerowego $x_{1}=1$ mamy $3$ jednostki, więc od drugiego miejsca do osi symetrii też musimy mieć $3$ jednostki. To prowadzi nas do wniosku, że drugim miejscem zerowym będzie $x_{2}=-5$, bo $-5+3=-2$.
matura z matematyki

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znając dwa miejsca zerowe, możemy przystąpić do zapisania wzoru w postaci iloczynowej typu $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$. Dodatkowo musimy zauważyć, że ze wzoru w postaci ogólnej (zapisanego w treści zadania) wynika, że $a=1$, zatem:
$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\
f(x)=1(x-1)(x-(-5)) \\
f(x)=(x-1)(x+5)$$

Krok 3. Obliczenie współczynników $b$ oraz $c$.
Znając wzór w postaci iloczynowej, możemy w prosty sposób przekształcić go do postaci ogólnej, co pozwoli nam odczytać współczynniki $b$ oraz $c$. Wymnażając przez siebie dwa nawiasy, otrzymamy:
$$f(x)=(x-1)(x+5) \\
f(x)=x^2+5x-x-5 \\
f(x)=x^2+4x-5$$

To oznacza, że współczynnik $b=4$ oraz $c=-5$.

Zadanie 33. (2pkt) Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $(-1)$, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa $(-165)$.

Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Nas będzie interesować suma piętnastu wyrazów, więc podstawiamy $n=15$:
$$S_{15}=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15$$

Wiemy, że $S_{15}=-165$, zatem:
$$-165=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15 \quad\bigg/:15 \\
-11=\frac{2a_{1}+14r}{2} \\
-22=2a_{1}+14r \\
-11=a_{1}+7r$$

Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Zgodnie z własnościami ciągów arytmetycznych, moglibyśmy rozpisać trzeci wyraz jako:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$

Z treści zadania wynika, że trzeci wyraz tego ciągu jest równy $-1$, zatem:
$$-1=a_{1}+2r$$

Krok 3. Zapisanie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch otrzymanych wcześniej równań możemy zbudować układ, którego rozwiązaniem będzie poszukiwana różnica ciągu:
\begin{cases}
-1=a_{1}+2r \\
-11=a_{1}+7r
\end{cases}

Ten układ można rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie chyba po prostu odjąć te równania stronami, otrzymując:
$$10=-5r \\
r=-2$$

Zadanie 34. (2pkt) Dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $A=(-2,6)$ oraz $B=(10,2)$. Przekątne $AC$ oraz $BD$ tego równoległoboku przecinają się w punkcie $P=(6,7)$.

Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, więc punkt $P$ jest tym samym środkiem przekątnej $AC$. To pozwoli nam wyznaczyć współrzędne punktu $C$.
matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu $C$.
Środek odcinka $AC$ możemy opisać wzorem:
$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości zapisu obliczmy każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{P}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
6=\frac{-2+x_{C}}{2} \\
12=-2+x_{C} \\
x_{C}=14 \\
\quad \\
y_{P}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
7=\frac{6+y_{C}}{2} \\
14=6+y_{C} \\
y_{C}=8$$

Krok 3. Obliczenie długości boku $BC$.
Długość boku $BC$ obliczymy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2} \\
|BC|=\sqrt{4^2+6^2} \\
|BC|=\sqrt{16+36} \\
|BC|=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}$$

Zadanie 35. (2pkt) Dany jest pięcioelementowy zbiór $K=\{5,6,7,8,9\}$. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru $K$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Nasz zbiór ma $5$ liczb, a losowanie odbywa się ze zwracaniem (czyli możemy wylosować dwa razy ten sam wynik). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć $|Ω|=5\cdot5=25$.

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której wylosowana para liczb da parzystą sumę. Musimy najpierw ustalić, kiedy taka parzysta suma jest możliwa. Aby otrzymać parzystą sumę dwóch liczb, to te dwie liczby muszą być parzyste (np. $6+8=14$) lub też obydwie muszą być nieparzyste (np. $5+7=12$). Ustalmy zatem ile możemy stworzyć takich parzystych i nieparzystych par.

· Pary z parzystymi liczbami:
W zbiorze mamy dwie parzyste liczby, czyli $6$ oraz $8$. W związku z tym, zgodnie z regułą mnożenia, takich parzystych par możemy wylosować $2\cdot2=4$.

· Pary z nieparzystymi liczbami:
W zbiorze mamy trzy nieparzyste liczby, czyli $5$, $7$ oraz $9$. W związku z tym, zgodnie z regułą mnożenia, takich parzystych par możemy wylosować $3\cdot3=9$.

Korzystając teraz z reguły dodawania, możemy stwierdzić, że wszystkich interesujących nas możliwości mamy $|A|=4+9=13$.

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{13}{25}$$

Zadanie 36. (5pkt) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej $108$ stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy $\frac{1}{4}$. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem $\alpha$ (zobacz rysunek).
Oblicz cosinus kąta $\alpha$ oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
matura z matematyki
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

5pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy oraz wysokości graniastosłupa.
Jeżeli stosunek krawędzi podstawy do wysokości wynosi $\frac{1}{4}$, to możemy przyjąć, że krawędź podstawy ma długość $a$, natomiast $H=4a$. Wiedząc, że objętość tej bryły wynosi $108$, możemy zapisać, że:
$$V=a\cdot b\cdot c \\
108=a\cdot a\cdot4a \\
108=4a^3 \\
a^3=27 \\
a=3$$

Tym samym krawędź podstawy ma długość $a=3$, natomiast wysokość to $H=4\cdot3=12$.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Znając wszystkie wymiary, możemy od razu obliczyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa. Mamy dwie podstawy, które są kwadratami o boku $3$ oraz cztery ściany boczne, które są prostokątami o wymiarach $3\times12$, zatem:
$$P_{c}=2\cdot3^2+4\cdot3\cdot12 \\
P_{c}=2\cdot9+144 \\
P_{c}=18+144 \\
P_{c}=162$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Do obliczenia cosinusa podanego kąta, potrzebujemy poznać długość przekątnej graniastosłupa. Kluczowy będzie tutaj trójkąt prostokątny, który tworzą przekątna podstawy, wysokość bryły oraz właśnie przekątna graniastosłupa.
matura z matematyki

Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku $3$, to jego przekątna ma długość $3\sqrt{2}$. Wysokość to jak już ustaliśmy $H=12$, zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$(3\sqrt{2})^2+12^2=s^2 \\
9\cdot2+144=s^2 \\
s^2=162 \\
s=\sqrt{162} \quad\lor\quad s=-\sqrt{162}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo przekątna bryły musi być dodatnia, stąd też zostaje nam $s=\sqrt{162}$, co możemy jeszcze rozpisać jako $s=\sqrt{81\cdot2}=9\sqrt{2}$.

Krok 4. Obliczenie cosinusa kąta $\alpha$.
Cosinus opisuje stosunek długości przyprostokątnej przy kącie względem przeciwprostokątnej, zatem w naszym przypadku będzie to:
$$cos\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}} \\
cos\alpha=\frac{1}{3}$$

Zdobyłeś/aś: 0/46pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Matura podstawowa z matematyki – Maj 2024 (stara matura) – Odpowiedzi

Matura podstawowa z matematyki – Maj 2024 (stara matura) – PDF